關于剛體定點轉動的力學基礎第1頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三§1.1剛體的角位置與角速度描述方法

剛體剛體坐標系與參考坐標系剛體的運動自由度自由剛體位置和運動的描述定軸轉動剛體

定點轉動剛體基本概念2023/6/282第2頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三一質點的位置向量及其表示方法§1.1剛體的角位置與角速度描述方法

廣義坐標

列向量

方向余弦

空間自由質點的位置，可用三個獨立參數(shù)表示，也可用多于三個的參數(shù)來表示，而后者必須滿足約束條件。

2023/6/283第3頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三二定點轉動剛體角位置的廣義坐標表示§1.1剛體的角位置與角速度描述方法

三個非共線向量自由剛體六個參數(shù)獨立

定點剛體三個參數(shù)獨立2023/6/284第4頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三§1.1剛體的角位置與角速度描述方法三定點轉動剛體角位置的方向余弦描述采用三個正交向量作為剛體坐標系，其方向余弦表示為：確定剛體坐標系三根軸的九個方向余弦（一個3×3的矩陣），可以確定剛體的角位置。2023/6/285第5頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三三定點轉動剛體角位置的方向余弦描述對于剛體的一個角位置，有唯一的一個方向余弦矩陣，反之亦然。

§1.1剛體的角位置與角速度描述方法2023/6/286第6頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三方向余弦矩陣的應用：坐標變換基本公式討論：2023/6/287第7頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三討論：方向余弦矩陣的性質（1）兩個方向余弦矩陣互為轉置矩陣

（2）兩個方向余弦矩陣互為逆矩陣

（3）方向余弦矩陣是正交矩陣

約束方程2023/6/288第8頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三方向余弦矩陣的約束方程討論：2023/6/289第9頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三四定點轉動剛體角位置的歐拉角描述§1.1剛體的角位置與角速度描述方法選用三個獨立的角度來表示定點轉動剛體的方位。依次的三次轉動，轉動軸的選取產生兩類歐拉角。2023/6/2810第10頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三第一類歐拉角(轉動順序為：Z-X-Z)四定點轉動剛體角位置的歐拉角描述2023/6/2811第11頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三第一類歐拉角的線性化四定點轉動剛體角位置的歐拉角描述2023/6/2812第12頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三第二類歐拉角（轉動順序為：X-Y-Z）四定點轉動剛體角位置的歐拉角描述2023/6/2813第13頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三第二類歐拉角的線性化四定點轉動剛體角位置的歐拉角描述2023/6/2814第14頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三五定點轉動剛體角速度的歐拉角描述§1.1剛體的角位置與角速度描述方法2023/6/2815第15頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三為了表示旋轉質量陀螺儀動力學方程的方便，求出剛體轉動角速度在中間坐標系中的投影：

2023/6/2816第16頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三§1.1剛體的角位置與角速度描述方法五定點轉動剛體角速度的歐拉角描述2023/6/2817第17頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三自學內容：方向余弦矩陣的導數(shù)2023/6/2818第18頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三§1.2常用參考坐標系一慣性坐標系1.日心慣性坐標系2.地心慣性坐標系

日心坐標系的原點取在太陽的中心，三根軸指向確定的恒星。地心坐標系的原點設在地球中心處，x和y軸位于地球赤道平面并分別指向確定的恒星，z軸與地球自轉軸（地球極軸）重合，并指向北極星。2023/6/2819第19頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三§1.2常用參考坐標系二地球坐標系及其旋轉角速度坐標系原點設在地球中心,三根軸與地球相固結。

2023/6/2820第20頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三§1.2常用參考坐標系三地理坐標系1.地固地理坐標系

坐標系的原點選在地球上任一點，三根軸與地球固結。2023/6/2821第21頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三§1.2常用參考坐標系三地理坐標系2.當?shù)氐乩碜鴺讼?/p>

原點設在沿地球表面運動的物體上，三根軸和地固地理坐標系的指向相同，不與地球固結。隨載體線運動而運動。KVNE2023/6/2822第22頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三§1.2常用參考坐標系三地理坐標系2.當?shù)氐乩碜鴺讼?/p>

2023/6/2823第23頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三§1.2常用參考坐標系四地平坐標系原點設在運載體質心，y軸水平并沿載體運動方向，z軸鉛直向上。

2023/6/2824第24頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三§1.2常用參考坐標系五載體坐標系坐標原點設在載體質心，三個坐標軸與載體相固結。xyzxyz2023/6/2825第25頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三§1.2常用參考坐標系六陀螺坐標系xyz

O2023/6/2826第26頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三哥氏定理描述的是一般的空間自由質點相對于不同參考系的速度和加速度。

§1.3剛體定點轉動的一般原理一哥氏定理與哥氏加速度兩個參考系之間存在相對轉動時，質點的速度和加速度與兩坐標系相對靜止時有所差別。2023/6/2827第27頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三兩個參考系之間相對靜止時，質點的速度和加速度沒有差別n系b系一哥氏定理與哥氏加速度2023/6/2828第28頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三兩個參考系之間相對轉動時大小變化b系的方位變化一哥氏定理與哥氏加速度2023/6/2829第29頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三兩個參考系之間相對轉動時于是：一哥氏定理與哥氏加速度2023/6/2830第30頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三哥氏定理的向量表示

哥氏定理說明：同一個向量相對兩個不同參考坐標系對時間取導數(shù)之間的關系，只有在兩個參考系之間無相對轉動時，二者才相等。有時稱左邊為絕對導數(shù)，右邊第一項為相對導數(shù)。

一哥氏定理與哥氏加速度2023/6/2831第31頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三由哥氏定理可得到速度合成公式質點相對于參考系的速度。坐標系b相對于參考系的速度質點相對于坐標系b的速度附加速度牽連速度一哥氏定理與哥氏加速度2023/6/2832第32頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三對速度合成公式再取一次時間導數(shù)，可得到加速度之間的向量合成關系：

一哥氏定理與哥氏加速度2023/6/2833第33頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三一哥氏定理與哥氏加速度動點在參考坐標系中的視加速度

動點在動坐標系中的相對加速度

動點的哥氏加速度

2023/6/2834第34頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三一哥氏定理與哥氏加速度動點的向心加速度

動點的歐拉加速度

牽連加速度

動點的愛因斯坦加速度2023/6/2835第35頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三討論：用哥氏定理研究近地表面運動物體

e

系：地球坐標系（b

）i系地心慣性系（n）2023/6/2836第36頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三討論：用哥氏定理研究近地表面運動物體

e

系：地球坐標系i系地心慣性系2023/6/2837第37頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三二非慣性系中的牛頓定律慣性系中的牛頓第二定律：

根據(jù)哥氏定理：

：牽連慣性力

：哥氏慣性力

：相對慣性力

2023/6/2838第38頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三二非慣性系中的牛頓定律達朗貝爾原理的一般形式

2023/6/2839第39頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三三轉動慣量、慣量橢球與慣性主軸（自學）剛體對任意軸轉動慣量的表達式

剛體對任意軸的轉動慣量在直角坐標系中的表達式

2023/6/2840第40頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三討論：轉動慣量的求解

求下圖裝置對不同坐標系的轉動慣量2023/6/2841第41頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三求圓環(huán)與勻質圓盤的轉動慣量圓環(huán)勻質圓盤2023/6/2842第42頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三慣量橢球三轉動慣量、慣量橢球與慣性主軸

過坐標原點到橢球面上的任意點的距離，反映了剛體對該任意軸的轉動慣量。該橢球可用來描述剛體對所有過原點的軸的轉動慣量的情況，稱之為剛體的慣量橢球或慣性橢球。

2023/6/2843第43頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三

慣性主軸三轉動慣量、慣量橢球與慣性主軸如果剛體對某根軸的慣量積為零，則稱該軸為剛體的慣性主軸，對于慣量橢球的三根對稱軸，剛體的慣量積是為零，所以這三根對稱軸是剛體的慣性主軸。

2023/6/2844第44頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三定點轉動剛體的慣量矩陣

三轉動慣量、慣量橢球與慣性主軸2023/6/2845第45頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三四角動量、角動量定理與歐拉動力學方程質點的角動量及角動量定理

2023/6/2846第46頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三定點轉動剛體的角動量

四角動量、角動量定理與歐拉動力學方程2023/6/2847第47頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三四角動量、角動量定理與歐拉動力學方程慣性主軸定點轉動剛體的角動量

2023/6/2848第48