關(guān)于向量的數(shù)量積和向量積第1頁(yè)，講稿共16頁(yè)，2023年5月2日，星期三一、兩向量的數(shù)量積1定義兩個(gè)向量a和b的模與它們之間夾角的余弦之積，稱為向量a與b的數(shù)量積，記作a·b,即數(shù)量積也稱點(diǎn)積。力學(xué)意義：一物體在力F的作用下，沿直線AB移動(dòng)了S，F(xiàn)與AB的夾角為α,如右圖，則力對(duì)物體做的功為BSAθF第2頁(yè)，講稿共16頁(yè)，2023年5月2日，星期三2性質(zhì)：

（1）a·a=|a|2（2）（3）θ表示兩非零向量a和b的夾角，則有第3頁(yè)，講稿共16頁(yè)，2023年5月2日，星期三3運(yùn)算律（1）交換律（2）分配律（3）結(jié)合律其中λ為常數(shù)。4數(shù)量積的計(jì)算公式設(shè)向量則有第4頁(yè)，講稿共16頁(yè)，2023年5月2日，星期三證明：則有兩非零向量a和b的夾角θ的余弦坐標(biāo)表示為

第5頁(yè)，講稿共16頁(yè)，2023年5月2日，星期三此時(shí)，對(duì)于非零向量a，b，有5向量在軸上的投影設(shè)A為空間一點(diǎn)，u軸已知，如圖。Au過(guò)點(diǎn)A作與軸垂直的平面，平面與軸的交點(diǎn)A‘稱為A在軸上的投影。A'對(duì)于已知向量，u軸上的有向線段

的模稱為向量在軸u上的投影，它是一個(gè)數(shù)量，記作BB'第6頁(yè)，講稿共16頁(yè)，2023年5月2日，星期三那么θ為向量與軸u的夾角。用e表示u軸上的單位向量，則a·e為向量a在e方向上的投影，那么有例1已知a={1，1，-4}，b={1，-2，2}，求：（1）a·b；（2）a與b的夾角；（3）a在b上的投影。第7頁(yè)，講稿共16頁(yè)，2023年5月2日，星期三解：（1）（2）所以（3）因?yàn)樗缘?頁(yè)，講稿共16頁(yè)，2023年5月2日，星期三例2求證余弦定理θ為邊CA，CB的夾角。證明：如圖所示的△ABC，令A(yù)BCθ可得那么所以證畢第9頁(yè)，講稿共16頁(yè)，2023年5月2日，星期三二、兩向量的向量積1定義設(shè)向量c由兩個(gè)向量a和b按下列規(guī)定給出：（1）|c|=|a||b|sinθ，θ為向量a和b的夾角；（2）

，且向量a，b，c的方向滿足右手定則，如圖；那么向量c稱為向量a和b的向量積，記作a×b，即C=a×b向量積又稱為叉積。★向量積模的幾何意義是：以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積。abcθ第10頁(yè)，講稿共16頁(yè)，2023年5月2日，星期三O為一根杠桿L的支點(diǎn)，LOPF有一個(gè)力F作用于其上點(diǎn)P處，F(xiàn)與的夾角為θ，θ由力學(xué)規(guī)定，

力F對(duì)支點(diǎn)O的力矩是一個(gè)向量M，Q它的模而M的方向垂直于與F所決定的平面，M的指向是是按右手規(guī)則從以不超過(guò)π的角的轉(zhuǎn)向F來(lái)確定，因而實(shí)際上★力學(xué)意義：力矩，如下圖所示。第11頁(yè)，講稿共16頁(yè)，2023年5月2日，星期三2兩向量積的性質(zhì)（1）a×a=o；（2）（3）若a≠o，b≠o，a，b的夾角為θ，則3兩向量的向量積的運(yùn)算律（1）a×b=-b×a；（2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b（λ為常數(shù)）（3）（a+b）×c=a×c+b×c第12頁(yè)，講稿共16頁(yè)，2023年5月2日，星期三4兩向量的向量積的坐標(biāo)表示設(shè)向量則有此時(shí)，對(duì)于非零向量a，b，有約定：若分母中有零，相應(yīng)地，分子也為零。第13頁(yè)，講稿共16頁(yè)，2023年5月2日，星期三例3設(shè)向量解：例4設(shè)向量問(wèn)a×b與c是否平行？解：顯然故a×b//c.第14頁(yè)，講稿共16頁(yè)，2023年5月2日，星期三例5問(wèn)向量是否共面？解：判斷三個(gè)向量是否共面，只要判斷其中的兩個(gè)向量的向量及與第三個(gè)向量是否垂直