橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（人教A版）《數(shù)學(xué)》選修1-1學(xué)習(xí)目標(biāo)1.數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)：（1）從實(shí)驗(yàn)中抽象出橢圓的定義。（2）能用橢圓的定義解決一些簡(jiǎn)單的問題。2.數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析能力的培養(yǎng)：（1）通過對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)規(guī)律、認(rèn)識(shí)規(guī)律并利用規(guī)律解決實(shí)際問題的能力。（2）通過標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生求簡(jiǎn)意識(shí)并懂得欣賞數(shù)學(xué)的“簡(jiǎn)潔美”。3.直觀想象和數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)：（1）通過橢圓定義的獲得培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣。（2）通過定義獲得和其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合的思想。（3）通過師生、生生的合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力的培養(yǎng)，增強(qiáng)主動(dòng)與他人合作交流的意識(shí)。

問題1.什么是圓？

問題2.取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端固定在平面內(nèi)的同一點(diǎn)F上，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在平面內(nèi)慢慢移動(dòng)，問筆尖畫出的圖形是什么？問題的提出：

問題3.若將細(xì)繩兩端分開并且固定在平面內(nèi)的F1、F2兩點(diǎn)，當(dāng)繩長(zhǎng)大于F1和F2的距離時(shí)，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在平面內(nèi)慢慢移動(dòng)，問筆尖畫出的圖形又是什么呢？實(shí)驗(yàn)探究

[1]取一條細(xì)繩,長(zhǎng)度記為2a，

[2]把它的兩端固定在畫板上的兩點(diǎn)F1、F2處，讓繩長(zhǎng)大于F1和F2的距離，[3]用鉛筆尖（M）把細(xì)繩拉緊，在板上慢慢移動(dòng)看看畫出的圖形?

F1F2MF1F2思考探究

在形成橢圓的過程中，哪些量是變化的？哪些量是不變的？不論點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到何處，繩長(zhǎng)(2a)是不變的!即軌跡上任一點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為同一常數(shù)2a，即：注意:

（1）必須在平面內(nèi);

（2）兩個(gè)定點(diǎn)——兩點(diǎn)間距離確定;(常記作2c)

（3）常數(shù)——軌跡上任意點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和確定.(常記作2a,且2a>2c)1.橢圓定義：

平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距

．若2a=F1F2軌跡是什么呢？若2a<F1F2軌跡是什么呢？若2a=F1F2軌跡是什么呢？若2a<F1F2軌跡是什么呢？軌跡是一條線段軌跡不存在合作探究分析判斷:1.到兩定點(diǎn)距離和是10，為常數(shù);2.這個(gè)常數(shù)10大于兩個(gè)定點(diǎn)的距離8,滿足橢圓的定義，故點(diǎn)P的軌跡是橢圓.典例分析A典例分析分析判斷:1.到兩定點(diǎn)距離和是10，為常數(shù);2.這個(gè)常數(shù)10大于兩個(gè)定點(diǎn)的距離8,滿足橢圓的定義，故點(diǎn)P的軌跡是橢圓.變式1.若點(diǎn)P到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和是8呢？變式2.若點(diǎn)P到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和是6呢？典例分析變式1.若點(diǎn)P到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和是8呢？答案：C變式2.若點(diǎn)P到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和是6呢？典例分析變式1.若點(diǎn)P到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和是8呢？答案：C變式2.若點(diǎn)P到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和是6呢？答案：D典例分析二、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)1、建系(一般利用對(duì)稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸.即“對(duì)稱”、“簡(jiǎn)潔”）

|MF1|＋|MF2|=(-c,0)(c,0)|MF1|=|MF2|=2、設(shè)點(diǎn)3、列方程4、化簡(jiǎn)方程>2c2a兩邊再平方得：由橢圓定義知：兩邊同除以得：這個(gè)方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上。

移項(xiàng)得：兩邊平方得：cab12yoFFxM

如果橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，用類似的方法，可得出它的方程為：它也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在y軸上。

yxoF1F2M焦點(diǎn)位置的判斷：與的分母哪一個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上。例1.平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)(-4,0),(4,0),平面上一點(diǎn)P到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和是10,求P點(diǎn)的軌跡方程.分析判斷:1.和是常數(shù);2常數(shù)大于兩個(gè)定點(diǎn)的距離,故點(diǎn)的軌跡是橢圓.3.焦點(diǎn)在x軸上,過兩個(gè)定點(diǎn)的直線是x軸,它的線段垂直平分線是y軸.從而保證方程是標(biāo)準(zhǔn)方程.4.根據(jù)已知求出a、c,再推出a、b寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.典例分析例1.平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)(-4,0),(4,0),平面上一點(diǎn)P到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和是10,求P點(diǎn)的軌跡方程.解：由題意可知：因此，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：定義法變式一:將例1中兩個(gè)定點(diǎn)改為(0，-4)、(0，4)，結(jié)果如何？變式二:將例1改為兩個(gè)定點(diǎn)的距離為8，平面上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離和等于10，結(jié)果如何？當(dāng)焦點(diǎn)在X軸時(shí)，方程為：當(dāng)焦點(diǎn)在Y軸時(shí)，方程為：例1.平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)(-4,0),(4,0),平面上一點(diǎn)P到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和是10,求P點(diǎn)的軌跡方程.跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)橢圓的方程填空2.寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（3）滿足a=4,c=

，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____

_______

例2.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，-2）和（0，2），并且經(jīng)過點(diǎn)P，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：（法1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為

又∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)P聯(lián)立①②可求得：∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

xyF1F2P待定系數(shù)法(法二)

因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為

由橢圓的定義知，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：（1）首先要判斷焦點(diǎn)位置，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程（定型）（2）根據(jù)橢圓定義或待定系數(shù)法求a,b

（定量）xyF1F2P定義法跟蹤訓(xùn)練：

yO(1,0)x(0,2)小結(jié)一個(gè)定義橢圓定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a(大于│F