關(guān)于巖土工程結(jié)構(gòu)可靠度第1頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三巖土工程結(jié)構(gòu)可靠度與可靠性理論的區(qū)別與共同點

可靠度是“產(chǎn)品或系統(tǒng)在規(guī)定條件下和規(guī)定時間內(nèi)完成規(guī)定功能的概率”。

可靠性理論側(cè)重于產(chǎn)品或一個系統(tǒng)的可靠度，主要是一些基礎(chǔ)理論；巖土工程結(jié)構(gòu)可靠度側(cè)重于工程領(lǐng)域應(yīng)用。巖土工程自身也是一系統(tǒng)，其可靠度的計算遠比單個或一批產(chǎn)品的可靠度計算復(fù)雜。1.1引言第2頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三巖土工程結(jié)構(gòu)可靠度與可靠性理論的區(qū)別與共同點

產(chǎn)品失效率有浴盆曲線特征；巖土工程結(jié)構(gòu)失效也有浴盆曲線特征，只不過其中間段一般比較長，特征不明顯而已。第3頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三巖土工程結(jié)構(gòu)可靠度與可靠性理論的區(qū)別與共同點彩色電視機的平均壽命為15000小時，假設(shè)其服從指數(shù)分布，如果我們每天使用2小時，5年的可靠度和10年的可靠度各為多少？解產(chǎn)品可靠度計算一土坡工程，得出狀態(tài)函數(shù)：已知正壓力均值為100KPa，標(biāo)準(zhǔn)差20KPa，土的磨擦角均值為35度，標(biāo)準(zhǔn)差5度，土的粘結(jié)力均值50KPa，標(biāo)準(zhǔn)差10KPa。求該土坡的安全度。巖土工程可靠度計算第4頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三傳統(tǒng)工程結(jié)構(gòu)設(shè)計

早期的工程結(jié)構(gòu)設(shè)計一般采用容許應(yīng)力法。容許應(yīng)力法是按照結(jié)構(gòu)構(gòu)件的截面計算應(yīng)力不大于規(guī)定的材料容許應(yīng)力的原則，它要求在荷載作用下，結(jié)構(gòu)或構(gòu)件某截面應(yīng)力不超過材料的容許應(yīng)力。

隨著工程結(jié)構(gòu)分析方法的發(fā)展，出現(xiàn)了破損(或破壞)階段設(shè)計法。破損階段設(shè)計法與容許應(yīng)力法的主要區(qū)別在于考慮材料的塑性性質(zhì)，計算截面或構(gòu)件在塑性狀態(tài)下的承載能力。安全系數(shù)法第5頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三工程結(jié)構(gòu)設(shè)計容許應(yīng)力法破損階段設(shè)計法

(a)應(yīng)力-應(yīng)變模型(b)損傷模型Mazars損傷模型(a)應(yīng)力-應(yīng)變模型(b)損傷模型Loland損傷模型安全系數(shù)法第6頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三安全系數(shù)法優(yōu)缺點

通常認(rèn)為安全系數(shù)大于1，結(jié)構(gòu)安全；安全系數(shù)小于1，結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生失穩(wěn)。安全系數(shù)法由于使用方便，應(yīng)用時間較長、應(yīng)用范圍也比較廣。

但長時間的實踐也證明，安全系數(shù)法具有局限性，表現(xiàn)在：

(1)由于安全系數(shù)是根據(jù)經(jīng)驗確定的數(shù)值，使結(jié)構(gòu)設(shè)計非常粗糙。

(2)安全系數(shù)法不能作為度量結(jié)構(gòu)可靠度的統(tǒng)一尺度。例如：強度均值相同，方差不同的材料，計算的安全系數(shù)一樣，但安全度不會一樣。

(3)加大結(jié)構(gòu)的安全系數(shù)，不一定能按比例地增加結(jié)構(gòu)的安全度。第7頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三安全系數(shù)法固有缺限

傳統(tǒng)的安全系數(shù)法設(shè)計沒有考慮到如下的事實：材料性能、構(gòu)件尺寸以及結(jié)構(gòu)的荷載都是隨機的幾何量或物理量，而不是確定的單值量。如巖土的強度測試離散性很大(如果正態(tài)分布，方差很大)，結(jié)構(gòu)構(gòu)件尺寸測量，各次測量的結(jié)果肯定有誤差。安全系數(shù)法只是把這些不確定量用一個籠統(tǒng)的安全系數(shù)掩蓋起來。

為克服這些缺點，人們發(fā)展一門新的學(xué)科——工程結(jié)構(gòu)可靠度。第8頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三工程結(jié)構(gòu)可靠度定義

工程結(jié)構(gòu)可靠度是在規(guī)定的時間內(nèi)、在規(guī)定的條件下，工程結(jié)構(gòu)完成預(yù)定功能能力?？煽慷仁菑母怕实慕嵌葘煽啃缘亩棵枋??？煽慷仍O(shè)計是以承認(rèn)結(jié)構(gòu)有失效(或破壞)的可能性為前提的。(1)半經(jīng)驗半概率法--對影響結(jié)構(gòu)可靠度的某些參數(shù)進行數(shù)理統(tǒng)計分析，并與經(jīng)驗相結(jié)合，然后引入某些經(jīng)驗系數(shù)。該法對結(jié)構(gòu)可靠度還不能作出定量的估計。(2)近似概率法--一次二階矩法，它采用概率論的方法對結(jié)構(gòu)可靠度進行計算，不過不是采用精確的計算方法，而是采用近似的方法計算結(jié)構(gòu)的可靠度，是目前結(jié)構(gòu)可靠度實際計算中應(yīng)用最多的方法。(3)全概率法--是完全基于概率論的結(jié)構(gòu)可靠度精確分析法。計算比較復(fù)雜，目前還很少直接使用該方法。工程結(jié)構(gòu)設(shè)計方法第9頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三1.2巖土工程中的不確定性

巖土工程的介質(zhì)很復(fù)雜。以巖體為例，巖體是地質(zhì)體的一部分，這種地質(zhì)體中存在著大量的結(jié)構(gòu)面，如節(jié)理，裂隙，斷層等，具有非常復(fù)雜的力學(xué)特性；以土介質(zhì)為例，土體的含水率不同，內(nèi)部孔隙及結(jié)構(gòu)各異，所表現(xiàn)的力學(xué)性質(zhì)(如強度)千差萬別。巖土工程地質(zhì)條件及巖體性質(zhì)參數(shù)具有不確定性，巖土工程中的不確定性主要表現(xiàn)在三個方面：

(1)巖土本身固有的不均勻性；

(2)統(tǒng)計所帶來的不確定性；

(3)模型不準(zhǔn)確引起的不確定性。第10頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三(1)巖土自身固有的不均勻性

巖土介質(zhì)與其它材料介質(zhì)的最根本區(qū)別是它的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)的不均勻性。

a、巖體中裂隙分布的不確定性：巖體中存在著大量結(jié)構(gòu)面(斷層和節(jié)理)。

b、巖體力學(xué)性質(zhì)的不確定性：巖體是非均質(zhì)的各向異性體，各點間的性質(zhì)往往有較大差異，同一試樣在相同試驗條件下測定其強度，結(jié)果也表現(xiàn)出一定的離散性。c、所受載荷的不確定性：地下巖體工程的結(jié)構(gòu)所受的載荷是多種多樣的，同時也具有不確定性，如巖石容重、地應(yīng)力、地下水、地震、爆破震動、降雨等，這些載荷很難用確定性指標(biāo)描述，它們都是隨機變量第11頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三(2)統(tǒng)計所帶來的不確定性

目前人們對巖體性質(zhì)參數(shù)的掌握主要方法是通過現(xiàn)場取樣，實驗室測試，然后統(tǒng)計推斷而得到，使得結(jié)果不可避免地帶有不確定性。具體表現(xiàn)在：

(a)巖體本身固有的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)的不均勻性，使得少量的試驗難以得出巖體力學(xué)參數(shù)，由此產(chǎn)生不確定性；

(b)取樣和測試過程中，測試環(huán)境條件的變化以及測試方法的不一致等，都使結(jié)果有差異；

(c)從實驗室試驗的力學(xué)參數(shù)，推斷巖體力學(xué)參數(shù)，這就使結(jié)果具有很大的不確定性。不同的人，不同的單位對同一工程進行力學(xué)計算，所計算的結(jié)果有很大的差異，這完全不奇怪。第12頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三(3)模型不準(zhǔn)確引起的不確定性

巖土工程的設(shè)計和分析是通過數(shù)學(xué)模型或模擬(例如公式、方程、算法、計算模擬程序等)來實現(xiàn)一組輸入變量或基本變量與所要求的輸出量之間的聯(lián)系。巖體力學(xué)模型可以采用彈性力學(xué)模型；損傷力學(xué)模型；彈塑性力學(xué)模型；流變力學(xué)模型等。采用有限元進行力學(xué)計算是通過輸入巖體的彈性模型參數(shù)、體重、粘結(jié)力參數(shù)、內(nèi)摩擦角參數(shù)、抗壓強度等，得出工程巖體的變形量，應(yīng)力分布，工程中各點的安全系數(shù)等結(jié)果。采用不同的模型進行計算，結(jié)果肯定不同。第13頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三(4)巖土工程可靠度研究的必要性

巖土工程中存在的不確定性，使人們對用安全系數(shù)來表示安全程度產(chǎn)生了疑問。巖土工程中的不確定性導(dǎo)致了目前巖土力學(xué)分析難以滿足工程實際要求。鑒于復(fù)雜巖土具有不確定性，以往沿用的“確定”參數(shù)和安全系數(shù)概念已不完全適用，確定性模型不足以概括復(fù)雜的巖石力學(xué)特性，可靠性理論有可能為巖石力學(xué)提供更合適的分析手段?？煽慷确治龇椒▽ΜF(xiàn)有數(shù)據(jù)資料進行概率統(tǒng)計分析，使許多不確定性因素定量化。

以上分析說明：采用可靠性理論研究巖土工程無疑具有重要的意義。以隨機可靠性理論為基礎(chǔ)對工程結(jié)構(gòu)進行極限狀態(tài)設(shè)計是工程結(jié)構(gòu)設(shè)計理論的一個重大發(fā)展。第14頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三1.3可靠度理論及可靠度標(biāo)準(zhǔn)的發(fā)展

可靠度的研究早在1930年代就開始，當(dāng)時主要是圍繞飛機失效進行研究?？煽慷仍诠こ探Y(jié)構(gòu)設(shè)計中的應(yīng)用大概從1940年代開始。在我國，結(jié)構(gòu)可靠性問題的研究始于1950年代中期。于1984年提出的《建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》采用國際上正在發(fā)展和推行的以概率統(tǒng)計理論為基礎(chǔ)的極限狀態(tài)設(shè)計方法。1985年建筑科學(xué)研究院會同建工、鐵道、公路、港工、水工等五大部門，開始編制全國的“工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)”。同時，鐵路工程結(jié)構(gòu)、公路工程結(jié)構(gòu)、港口工程結(jié)構(gòu)、水利水電工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)陸續(xù)開始編制?！督ㄖY(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》(GB50068-2001)、《公路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》(GB/T50283-1999)、《港口工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》(GB50158-92)、《水利水電工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》(GB50199-94)和《鐵路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》(CB50216-94)相繼建立，使工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計有據(jù)可依。第15頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三巖土工程可靠度理論與實踐的發(fā)展巖土工程的可靠性問題研究明顯落后于結(jié)構(gòu)工程。巖土工程可靠度分析有許多應(yīng)用領(lǐng)域，如邊坡、采礦、隧道、擋土墻、地基、樁基、大壩等。我國巖土工程可靠性研究開始于70年代末80年代初，主要集中在土坡、地基、樁基、隧道等工程。第16頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三1.4工程結(jié)構(gòu)可靠度研究目的及研究步驟

工程結(jié)構(gòu)可靠度分析的目的大概可分為三類：(1)已知結(jié)構(gòu)尺寸、荷載、材料特性以及目標(biāo)可靠指標(biāo)，校核結(jié)構(gòu)的可靠度；(2)校核現(xiàn)行規(guī)范，給出規(guī)范中有關(guān)系數(shù)所對應(yīng)的安全水準(zhǔn)；(3)在給定目標(biāo)可靠指標(biāo)下，計算現(xiàn)行規(guī)范設(shè)計式中的系數(shù)，得出具有新的分項系數(shù)下的設(shè)計表達式，以供設(shè)計使用。工程結(jié)構(gòu)可靠度分析步驟具體包括：(1)確定工程的可靠度分析模式；(2)基本變量數(shù)據(jù)的搜集；(3)基本變量的概率模型及統(tǒng)計參數(shù)；(4)建立工程極限狀態(tài)方程；(5)計算可靠度與可靠指標(biāo)，并進行決策。第17頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三第18頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三第三章：工程結(jié)構(gòu)可靠度分析方法

3.1可靠度基本概念

3.1.1極限狀態(tài)

1、工程結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)無論是房屋、橋梁、隧道等工程結(jié)構(gòu)設(shè)計時，應(yīng)使其在使用期內(nèi)，力求在經(jīng)濟合理前提下滿足下列各項要求：

(1)能承受正常施工和正常使用期間可能出現(xiàn)的各種作用(包括荷載及外加變形或約束變形)—結(jié)構(gòu)的安全性；

(2)在正常使用時具有良好的性能—結(jié)構(gòu)的適用性；

(3)在正常使用時具有足夠的耐久性—結(jié)構(gòu)的耐久性；

(4)在偶然事件發(fā)生時或發(fā)生后，能保證必要的整體穩(wěn)定性—結(jié)構(gòu)的安全性。結(jié)構(gòu)的安全性、適用性和耐久性三者總稱為結(jié)構(gòu)的可靠性?？煽啃缘臄?shù)量描述一般用可靠度。安全性的數(shù)量描述則用安全度?？煽慷缺劝踩鹊暮x更廣泛，更能反映結(jié)構(gòu)的可靠程度。第19頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.1.1極限狀態(tài)

1、工程結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)工程的可靠性通常受各種荷載、介質(zhì)強度、幾何尺寸、計算公式準(zhǔn)確性等因素的影響，這些因素均具有隨機不確定性，稱影響工程可靠度的隨機因素為基本變量。設(shè)X1,X2,…,Xn表示影響工程結(jié)構(gòu)某一功能的基本變量，則與此功能對應(yīng)的功能函數(shù)可表為：3.1可靠度基本概念

考慮結(jié)構(gòu)功能僅與荷載效應(yīng)S(荷載引起的內(nèi)力)和結(jié)構(gòu)抗力R(結(jié)構(gòu)承受荷載效應(yīng)的能力，如強度、剛度、抗裂度等)兩個基本變量有關(guān)的最簡單情況，結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)為：第20頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.1.1極限狀態(tài)

2、工程結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)

工程結(jié)構(gòu)的可靠狀態(tài)：工程結(jié)構(gòu)處于滿足其功能要求的狀態(tài)。用功能函數(shù)來描述：3.1可靠度基本概念

工程結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)狀態(tài)：工程結(jié)構(gòu)處于未能滿足其功能要求的狀態(tài)。用功能函數(shù)來描述：

工程結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)：介于可靠狀態(tài)與失穩(wěn)狀態(tài)之間的狀態(tài)，即為工程結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)。用功能函數(shù)表示為：第21頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.1.1極限狀態(tài)

2、工程結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)

3.1可靠度基本概念

用荷載效應(yīng)S和抗力R表示的結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)方程為：

結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)是結(jié)構(gòu)由可靠狀態(tài)轉(zhuǎn)向失穩(wěn)狀態(tài)的一個臨界狀態(tài)，是判別結(jié)構(gòu)是否滿足預(yù)定功能要求的標(biāo)志。第22頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.1.1極限狀態(tài)

3、工程結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)分類

3.1可靠度基本概念

根據(jù)結(jié)構(gòu)的不同功能要求，極限狀態(tài)可劃分為三類：

(1)承載能力極限狀態(tài)若結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)構(gòu)件達到最大承載能力或達到不適于繼續(xù)承載的變形，則認(rèn)為其達到承載能力極限狀態(tài)。如：結(jié)構(gòu)失去平衡(傾覆)；結(jié)構(gòu)受力超過材料強度或過度變形而不適于繼續(xù)承載；結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)構(gòu)件喪失穩(wěn)定。

(2)正常使用極限狀態(tài)若結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)構(gòu)件達到正常使用或耐久性能的某項規(guī)定限值，則認(rèn)為其達到正常使用極限狀態(tài)。如：影響正常使用或外觀的變形；影響正常使用或耐久性能的局部損壞。

(3)整體性極限狀態(tài)(抗連續(xù)破壞極限狀態(tài))

結(jié)構(gòu)由于局部損壞而達到其余部分將發(fā)生連續(xù)破壞(或連續(xù)倒塌)狀態(tài)限值。第23頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.1.1極限狀態(tài)

3、工程結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)分類

3.1可靠度基本概念

根據(jù)結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)被超越后結(jié)構(gòu)的狀況，結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)可劃分為兩類：

(1)不可逆極限狀態(tài)當(dāng)產(chǎn)生超越極限狀態(tài)的作用被移掉后，仍將永久地保持超越效應(yīng)的極限狀態(tài)。即因超越極限狀態(tài)而產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)的損壞或功能失常將一直保持，除非結(jié)構(gòu)被重新修復(fù)。承載能力極限狀態(tài)一般可認(rèn)為是不可逆極限狀態(tài)。

(2)可逆極限狀態(tài)產(chǎn)生超越極限狀態(tài)的作用被移掉后將不再保持超越效應(yīng)的極限狀態(tài)。即產(chǎn)生超越的原因消失結(jié)構(gòu)將從不期望狀態(tài)(g(x)<0)轉(zhuǎn)化到期望狀態(tài)(g(z)>0)?？赡鏄O限狀態(tài)的概率設(shè)計法尚處于研究中，尚未能進入工程實踐。第24頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.1.2可靠度3.1可靠度基本概念

可靠度是在規(guī)定的時間內(nèi)、規(guī)定的條件下，完成預(yù)定功能的概率。工程結(jié)構(gòu)的可靠性是在規(guī)定的時間內(nèi)，工程結(jié)構(gòu)在規(guī)定的條件下，完成預(yù)定功能能力?？煽慷仁菑母怕实慕嵌葘煽啃缘亩棵枋?。

“規(guī)定的時間”一般是指結(jié)構(gòu)設(shè)計基本準(zhǔn)期，不同的工程結(jié)構(gòu)，規(guī)定的時間要求不同。普通建筑結(jié)構(gòu)的設(shè)計基準(zhǔn)期為50年。由于荷載效應(yīng)一般隨設(shè)計基準(zhǔn)期增長而增大，而影響結(jié)構(gòu)抗力的材料性能指標(biāo)則隨設(shè)計基準(zhǔn)期的增大而減小，因此“規(guī)定的時間”越長，結(jié)構(gòu)的可靠度越低。

“規(guī)定的條件”指正常設(shè)計、正常施工、正常使用。不考慮人為錯誤或過失因素。

“預(yù)定功能”是指結(jié)構(gòu)在經(jīng)濟合理的前提下，在安全性、適用性與耐久性方面的要求。第25頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.1.2可靠度3.1可靠度基本概念

設(shè)工程結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)為：

結(jié)構(gòu)破壞的概率Pf為：X1,X2,…,Xn表示影響工程結(jié)構(gòu)某一功能的隨機變量，Z函數(shù)也為隨機變量，則可靠度可Ps表示為：

有下列關(guān)系式：第26頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.1.2可靠度3.1可靠度基本概念

若已知結(jié)構(gòu)荷載效應(yīng)S和抗力R的概率密度函數(shù)分別為fs(x)及fR(y)，由于S與R相互獨立：第27頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.1.2可靠度3.1可靠度基本概念上面兩式是由分布函數(shù)和密度函數(shù)計算系統(tǒng)可靠度。第28頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.1.2可靠度3.1可靠度基本概念

由結(jié)構(gòu)失效率可知結(jié)構(gòu)的可靠度。由于結(jié)構(gòu)失效一般為小概率事件，工程結(jié)構(gòu)可靠度分析一般計算結(jié)構(gòu)失效概率。無論功能函數(shù)是線性的還是非線性的，理論上均可求取結(jié)構(gòu)失效概率Pf或可靠度Ps。這必須要求功能函數(shù)中的隨機變量為獨立變量，且關(guān)于各隨機變量的概率分布密度函數(shù)可以獲得的前提下，用精確表達式計算可靠度才可能。但在實際工程中，這些要求常常難以滿足。通常計算結(jié)構(gòu)可靠度的方法是近似法，常用的近似法有一次可靠度分析法、蒙特卡羅模擬、統(tǒng)計矩法等．

由于：第29頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.1.3可靠指標(biāo)3.1可靠度基本概念

1、R和S服從正態(tài)分布假設(shè)R和S分別服從正態(tài)分布N(μR，σR)，N(μS，σS)，則功能函數(shù)Z也服從正態(tài)分布，有：

考慮工程結(jié)構(gòu)功能函數(shù)僅由荷載效應(yīng)S和結(jié)構(gòu)抗力R組成的簡單情況。第30頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.1.3可靠指標(biāo)3.1可靠度基本概念計算出β后，查正態(tài)分布表，得可靠度Ps，Pf=1-Ps第31頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.1.3可靠指標(biāo)3.1可靠度基本概念2、R和S服從對數(shù)正態(tài)分布

考慮工程結(jié)構(gòu)功能函數(shù)僅由荷載效應(yīng)S和結(jié)構(gòu)抗力R組成的簡單情況。第32頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.1.3可靠指標(biāo)3.1可靠度基本概念2、R和S服從對數(shù)正態(tài)分布

第33頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.1.3可靠指標(biāo)3.1可靠度基本概念3、可靠指標(biāo)與安全系數(shù)之間的關(guān)系

傳統(tǒng)的設(shè)計原則是抗力不小于荷載效應(yīng)，其可靠性用安全系數(shù)來表示。中值安全系數(shù)為：

當(dāng)功能函數(shù)為Z=R-S，R和S分別服從正態(tài)分布時，中值安全系數(shù)k0與可靠指標(biāo)的關(guān)系為：第34頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.1.3可靠指標(biāo)3.1可靠度基本概念3、可靠指標(biāo)與安全系數(shù)之間的關(guān)系

當(dāng)功能函數(shù)為Z=R-S，R和S分別服從對數(shù)正態(tài)分布時，中值安全系數(shù)k0與可靠指標(biāo)的關(guān)系為：

中值安全系數(shù)只與基本變量的平均值有關(guān)，而可靠指標(biāo)不但與基本變量的平均值有關(guān)，而且與基本變量的標(biāo)準(zhǔn)差或變異系數(shù)相關(guān)，即與基本變量跟均值的離散程度相關(guān)。安全系數(shù)沒有概率意義。第35頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三3.2一次可靠度分析法

一次可靠度分析法(FirstOrderReliabilityMethod,FORM)計算結(jié)構(gòu)構(gòu)件可靠度的基本思路是：首先將結(jié)構(gòu)構(gòu)件功能函數(shù)Z=g(Xl，X2，…，Xn)展開成Taylor級數(shù)，忽略高階項，僅保留線性項，再利用基本隨機變量X=(Xl,X2,…,Xn)的一階矩、二階矩求取Z的均值μz與標(biāo)準(zhǔn)差σz，從而確定結(jié)構(gòu)構(gòu)件可靠指標(biāo)。根據(jù)功能函數(shù)線性化點的取法不同以及是否考慮基本隨機變量的分布類型，一次可靠度分析法分為：均值一次二階矩法(中心點法)，改進的一次二階矩法(驗算點法)和JC法。第36頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三3.2一次可靠度分析法

泰勒(Taylor)中值定理(一元):

如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個開區(qū)間(a，b)內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x在(a，b)時，f(x)可表示為(x-x0)的一個n次多項式與一個余項Rn(x)之和：一元函數(shù)第37頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三3.2一次可靠度分析法

泰勒公式(二元):

設(shè)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù)，有：一次可靠度分析常取前面兩項。即線性項?？梢酝茝V至有n元情況第38頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.2.1均值一次二階矩法3.2一次可靠度分析法1、均值一次二階矩法(中心點法)

當(dāng)功能函數(shù)包含有多個相互獨立的正態(tài)隨機變量

X=(Xl,X2,…,Xn)，狀態(tài)函數(shù)為：Z=g(Xl，X2，…，Xn)。隨機變量標(biāo)準(zhǔn)差與其函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的近似表達。第39頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.2.1均值一次二階矩法3.2一次可靠度分析法1、均值一次二階矩法(中心點法)

計算步驟：

當(dāng)功能函數(shù)包含有多個相互獨立的正態(tài)隨機變量

X=(Xl,X2,…,Xn)，狀態(tài)函數(shù)為：Z=g(Xl，X2，…，Xn)。

(1)用各隨機變量的均值代入功能函數(shù)，得出功能函數(shù)的均值μZ；

(2)求功能函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差σZ；

(3)求β和Pf。將隨機變量的均值代入

第40頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三例1：如圖所示，土體沿著圓弧滑裂面繞o點發(fā)生滑動破壞，W為滑動土體自重，破內(nèi)土層分兩層，F(xiàn)1F2分為第一二層土體提供的抗滑阻力，T為載荷。隨機變量服從獨立正態(tài)分布，功能函數(shù)表示為：

求土坡沿著圓弧滑裂面滑動破壞的概率第41頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三滑動破壞的可靠度指標(biāo)為：其中代入求得第42頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三例2：功能函數(shù)為非線性函數(shù)，對于上述土體滑動問題也可以定義安全系數(shù)如下：

若安全系數(shù)小于1，則土體發(fā)生滑動破壞。

可得功能函數(shù)為

首先計算功能函數(shù)在中心點的導(dǎo)數(shù)：得到β=2.187，土體滑動破壞的失效概率第43頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三3.2

設(shè)計驗算點法-(改進一次二階矩法)

針對均值一次二階矩法將功能函數(shù)線性化點取作基本隨機變量均值點帶來的問題，改進的一次二階矩法將功能函數(shù)線性化點取在設(shè)計驗算點，從而提高了計算β的精度，并保證了對同一結(jié)構(gòu)問題β的唯一性。改進的一次二階矩法也稱為驗算點法。當(dāng)極限狀態(tài)方程中包含有多個相互獨立的正態(tài)隨機變量X=(Xl,X2,…,Xn)，假設(shè)方程為：Z=g(Xl，X2，…，Xn)=0，則此超曲面Z=0上距離中心點M=(μX1，μX2，…，μXn)最近的點P＊=(x1＊，x2＊，…，xn＊)為設(shè)計驗算點，簡稱驗算點。顯然，xi＊(i=1，2，…，n)滿足極限狀態(tài)方程：第44頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.2.2改進的一次二階矩法3.2一次可靠度分析法偏導(dǎo)數(shù)在驗算點的值第45頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三令為的標(biāo)準(zhǔn)化隨機變量，即β則有：即：定義變量Xi靈敏度系數(shù)如下則有：第46頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三在原X空間中的x*對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量Y空間中的點y*稱為驗算點。上式表明在Y空間內(nèi)極限狀態(tài)面在y*點處線性近似平面。以二維隨機變量空間為例，如圖所示?？梢宰C明從原點o做極限狀態(tài)平面的法線，剛好通過點y*。法線方向余弦為cosθYi等于靈敏度系數(shù)。即cosθYi=αXi計算可得y*到原點的距離為β。因此可靠度指標(biāo)就是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化空間中原點到極限狀態(tài)面的最短距離。驗算點在Y空間的坐標(biāo)為則在原始X空間的坐標(biāo)為第47頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三計算步驟：

(1)假定初始驗算點x*，一般可設(shè)x*=μX

(2)計算靈敏度系數(shù)αXi

(3)計算β

(4)計算新的x*

(5)以新的x*重復(fù)上述步驟，直至前后兩次β值之差小于允許誤差（一般為±0.01）

第48頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

例3：功能函數(shù)為非線性函數(shù)，獨立正態(tài)變量，對于上述土體滑動問題也可以定義安全系數(shù)如下：

若安全系數(shù)小于1，則土體發(fā)生滑動破壞。

可得功能函數(shù)為

采用驗算點法迭代計算結(jié)果如下

第49頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法-JC法

1、當(dāng)量正態(tài)化一次二階矩法適用于結(jié)構(gòu)功能函數(shù)所含隨機變量為獨立、正態(tài)變量情況。但在可靠性分析中，極限狀態(tài)方程常常包含非正態(tài)分布的隨機變量。

JC法的基本思路是：對非正態(tài)變量當(dāng)量正態(tài)化，將其轉(zhuǎn)換為等效正態(tài)隨機變量，即可利用一次二階矩法求結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)。

“當(dāng)量正態(tài)化”的條件是：

(1)在設(shè)計驗算點xi＊處，非正態(tài)變量Xi(其均值為μXi，標(biāo)準(zhǔn)差為σXi)的分布函數(shù)值FXi(xi＊)與當(dāng)量正態(tài)變量X’i(其均值為μXi’，標(biāo)準(zhǔn)差為σXi’)的分布函數(shù)值Fxi’(xi＊)相等；

(2)在設(shè)計驗算點xi＊處，非正態(tài)變量Xi的概率密度函數(shù)值fXi(xi＊)與當(dāng)量正態(tài)變量X’i的概率密度函數(shù)值fXi’(xi＊)相等。根據(jù)以上兩個條件可以計算出當(dāng)量正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。第50頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

1、當(dāng)量正態(tài)化

非正態(tài)分布函數(shù)當(dāng)量正態(tài)分布函數(shù)第一個條件：分布函數(shù)相等。第51頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

1、當(dāng)量正態(tài)化

非正態(tài)分布密度函數(shù)當(dāng)量正態(tài)分布密度函數(shù)第二個條件：分布密度函數(shù)相等。第52頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

1、當(dāng)量正態(tài)化

非正態(tài)分布密度函數(shù)當(dāng)量正態(tài)分布密度函數(shù)第二個條件：分布密度函數(shù)相等。第53頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三JC法迭代計算步驟：

（1）假定初始驗算點xi*，一般取xi*=μXi

（2）對于非正態(tài)分布變量，分別計算出和

（3）計算出靈敏度系數(shù)，式中用代替，用代替

（4）計算β

（5）計算新的xi*，重復(fù)上述步驟，直到前后兩次β之差小于允許誤差值。

第54頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

1、當(dāng)量正態(tài)化

對于對數(shù)正態(tài)分布變量Xi，其分布函數(shù)和分布密度函數(shù)為：分布密度函數(shù)：在正態(tài)分布公式中令z=(t-μ)/σ，可將隨機變量X標(biāo)準(zhǔn)化，標(biāo)準(zhǔn)化后的隨機變量z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)為：正態(tài)分布的密度函數(shù)為：第55頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

1、當(dāng)量正態(tài)化

對于對數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)和分布密度函數(shù)：由公式，當(dāng)量標(biāo)準(zhǔn)差為：由公式，當(dāng)量均值為：關(guān)鍵的兩個公式：第56頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三例4：功能函數(shù)為非線性函數(shù)，獨立非正態(tài)變量，對于上述土體滑動問題也可以定義安全系數(shù)如下：

若安全系數(shù)小于1，則土體發(fā)生滑動破壞。

可得功能函數(shù)為：

假設(shè)F1,F2服從對數(shù)正態(tài)分布，W服從正態(tài)分布，T服從極值I型分布（極大值），采用JC法計算可靠度指標(biāo)及驗算點的值。解：對于F1對數(shù)正態(tài)分布的參數(shù)為對于F2對數(shù)正態(tài)分布的參數(shù)為對于極值I型（極大值）的參數(shù)為：第57頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三第58頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

2、相關(guān)隨機變量的處理

對于隨機變量相關(guān)的情形，需將它們先變換為相互獨立的變量，然后再運用一次二階矩法或改進的一次二階矩法求可靠指標(biāo)和失效概率。將相關(guān)變量變換為不相關(guān)變量的方法是：通過正交變換。

(1)相關(guān)正態(tài)隨機變量的情況假設(shè)相關(guān)正態(tài)基本隨機變量Xi=(X1,X2,…,Xn)，其協(xié)方差矩陣為：第59頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

2、相關(guān)隨機變量的處理

相關(guān)正態(tài)基本隨機變量Xi=(X1,X2,…,Xn)，其協(xié)方差矩陣為：如果Xi=(X1,X2,…,Xn)是不相關(guān)正態(tài)基本隨機變量，其協(xié)方差矩陣為：第60頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

2、相關(guān)隨機變量的處理

若Xi=(X1,X2,…,Xn)轉(zhuǎn)換為不相關(guān)隨機變量Yi=(Y1,Y2,…,Yn)，令：將{X}值代入極限狀態(tài)方程Z=g(X1,X2,…,Xn)=0，得:Z=f(Y1,Y2,…,Yn)=0式中：[A]是正交矩陣，表示[D]=[A]T[CX][A][D]矩陣為特征向量構(gòu)成的矩陣，其對角上的值為對應(yīng)不相關(guān)隨機變量的方差。[D]即為不相關(guān)隨機變量的協(xié)方差矩陣。Matlab求解式為：[V,D]=eig(C)C=[361;640;102][A,D]=eig(C)第61頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

2、相關(guān)隨機變量的處理

由Xi=(X1,X2,…,Xn)相關(guān)隨機變量轉(zhuǎn)換為不相關(guān)隨機變量Yi=(Y1,Y2,…,Yn)的方法與步驟：(1)根據(jù)相關(guān)隨機變量Xi的協(xié)方差矩陣[CX]，求得特征值矩陣[D](即不相關(guān)隨機變量方差矩陣)和正交矩陣[A]，由[D]可求得不相關(guān)隨機變量的方差。由