數學5第一章解三角形

章節(jié)總體設計

(一)課標要求

本章的中心內容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實在解

三角形的應用上。通過本章學習，學生應當達到以下學習目標：

(1)通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一

些簡單的三角形度量問題。

(2)能夠熟練運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的

生活實際問題。

(二)編寫意圖與特色

1.數學思想方法的重要性

數學思想方法的教學是中學數學教學中的重要組成部分，有利于學生加深數學知識的理解

和掌握。

本章重視與內容密切相關的數學思想方法的教學，并且在提出問題、思考解決問題的策略

等方面對學生進行具體示范、引導。本章的兩個主要數學結論是正弦定理和余弦定理，它們都

是關于三角形的邊角關系的結論。在初中，學生已經學習了相關邊角關系的定性的知識，就是

“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角”，“如果已知兩個三角形的兩條對應邊及其所夾

的角相等,那么這兩個三角形全”等。

教科書在引入正弦定理內容時，讓學生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題：”在任

意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系.我們是否能得到這個邊、角的關系準確量

化的表示呢？"，在引入余弦定理內容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾

的角，根據三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們仍然從量

化的角度來研究這個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊

和兩個角的問題?！痹O置這些問題，都是為了加強數學思想方法的教學。

2.注意加強前后知識的聯(lián)系

加強與前后各章教學內容的聯(lián)系，注意復習和應用已學內容，并為后續(xù)章節(jié)教學內容做好

準備，能使整套教科書成為一個有機整體，提高教學效益，并有利于學生對于數學知識的學習

和鞏固。

本章內容處理三角形中的邊角關系，與初中學習的三角形的邊與角的基本關系，已知三角

形的邊和角相等判定三角形全等的知識有著密切聯(lián)系。教科書在引入正弦定理內容時，讓學生

從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題”在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角

關系.我們是否能得到這個邊、角的關系準確量化的表示呢？"，在引入余弦定理內容時，提出

探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角，根據三角形全等的判定方法，這個三角

形是大小、形狀完全確定的三角形.我們仍然從量化的角度來研究這個問題，也就是研究如何

從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題。”這樣，從聯(lián)系的觀點，

從新的角度看過去的問題，使學生對于過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知

識的堅實基礎上，形成良好的知識結構。

《課程標準》和教科書把''解三角形”這部分內容安排在數學五的第一部分內容，位置相

對靠后，在此內容之前學生已經學習了三角函數、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識聯(lián)

系密切的內容，這使這部分內容的處理有了比較多的工具，某些內容可以處理得更加簡潔。比

如對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對于三角形進行討論，方法不

夠簡潔，教科書則用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力。

在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個思

考問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中

三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？"，并進而指出，“從余弦定理以及余弦

函數的性質可知，如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直

角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三

邊所對的角是銳角.從上可知，余弦定理是勾股定理的推廣.”

3.重視加強意識和數學實踐能力

學數學的最終目的是應用數學，而如今比較突出的兩個問題是，學生應用數學的意識不強,

創(chuàng)造能力較弱。學生往往不能把實際問題抽象成數學問題，不能把所學的數學知識應用到實際

問題中去，對所學數學知識的實際背景了解不多，雖然學生機械地模仿一些常見數學問題解法

的能力較強，但當面臨一種新的問題時卻辦法不多，對于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、

概括、猜想等發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的科學思維方法了解不夠。針對這些實際情況，本章重視從

實際問題出發(fā)，引入數學課題，最后把數學知識應用于實際問題。

（三）教學內容及課時安排建議

1.1正弦定理和余弦定理（約3課時）

1.2應用舉例（約4課時）

L3實習作業(yè)（約1課時）

（四）評價建議

1.要在本章的教學中，應該根據教學實際，啟發(fā)學生不斷提出問題，研究問題。在對于

正弦定理和余弦定理的證明的探究過程中，應該因勢利導，根據具體教學過程中學生思考問題

的方向來啟發(fā)學生得到自己對于定理的證明。如對于正弦定理，可以啟發(fā)得到有應用向量方法

的證明，對于余弦定理則可以啟發(fā)得到三角方法和解析的方法。在應用兩個定理解決有關的解

三角形和測量問題的過程中，一個問題也常常有多種不同的解決方案，應該鼓勵學生提出自己

的解決辦法，并對于不同的方法進行必要的分析和比較。對于一些常見的測量問題甚至可以鼓

勵學生設計應用的程序，得到在實際中可以直接應用的算法。

2.適當安排一些實習作業(yè)，目的是讓學生進一步鞏固所學的知識，提高學生分析問題的

解決實際問題的能力、動手操作的能力以及用數學語言表達實習過程和實習結果能力，增強學

生應用數學的意識和數學實踐能力。教師要注意對于學生實習作業(yè)的指導，包括對于實際測量

問題的選擇，及時糾正實際操作中的錯誤，解決測量中出現(xiàn)的一些問題。

§1.1.1正弦定理

授課類型：新授課

?教學目標

知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；

會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

過程與方法：讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，

引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐

作0

情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學生合情

推理探索數學規(guī)律的數學思思想能力，通過三角形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的

聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

?教學重點

正弦定理的探索和證明及其基本應用。

?教學難點

已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數。

?教學過程

I.課題導入

如圖1.1-1,固定AABC的邊CB及NB,使邊AC繞著頂點C轉動。/A

思考：NC的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數量關系？/\

顯然，邊AB的長度隨著其對角NC的大小的增大而增大。能否//\

用一個等式把這種關系精確地表示出來？-----C----B

n.講授新課

［探索研究］（圖1.1-D

在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式

關系。如圖1.1-2,在RtAABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,根據銳角三角函數中正弦函數的定

義，W—=sinv4,—=sinB,Xsinf=1=—,A

ccc

則二_二°

sinJsingsinC

a_b_c

從而在直角三角形ABC中,

sin/sinBsinC'

思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？

（由學生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖1.1-3,當AABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD,根據任意角三角函數的定

義，有CD=asin5=Z?sin/,貝lj---=—:—

sinJsinO

同理可得，

sinesmz>

從而號=3=等

sin力sinnsine

思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這

個問題。

（證法二）：過點A作7，萬，

由向量的加法可得AB=AC+CB

則J-AB=J-（AC+CB）

：.J-AB=J-AC+J-CB

|）||/W|cos（90°-A）=0+|J||CB|cos（900-C）

二?csinA=asinC,即

sinAsinC

同理，過點c作〃配，可得號=芻

sin/1sin/?sin。

類似可推出，當AABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。(由學生課后自己推導)

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

a_b_c

sinZsir\BsinC

［理解定理］

(1)正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正數，即存

在正數k使z=4sin4,b=ksinB,c=ksinC;

cbac

(2)a=b=c等價于a=b，=,=

sinJsin8sinCsinJsin4sin。sin笈sin/1sinC

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a=

sm5

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sin/=^sin6。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

［例題分析］

例1.在AABC中，已知4=32.0°,8=81.8°,a=42.9cm,解三角形。

解：根據三角形內角和定理，

C=180°-(A+B)

=180°-(32.0°+81.8°)

=66.2°；

根據正弦定理，

.as\nB42.9sin81.8°

b=―—―?80.1(c/n)

sinAsin32.0°

根據正弦定理,

_asinC_42.9sin66.2°

C?74.1(CAH).

~sinA~sin32.0°

評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。

例2.在AABC中，已知〃=20cm,fe=28cm,A=40°,解三角形(角度精確到1°,邊長精確

到1cm)。

解：根據正弦定理，

.「加inA28sin40°八“八八

smB=------=—————亡0.8999.

a20

因為0°V3V180°,所以屈64°,或公116°.

⑴當以64。時，

C=180°-(A+8)B180°-(40°+64°)=76°,

_asinC_20sin76°

JsinA-sin40°?30(cm).

⑵當BE16°時,

C=180°-(A+B)?180°-(40°+1160)=24°，

asinC20sin24"

C?13(c/n).

~sinAsin40"

評述：應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。

m.課堂練習

第5頁練習第1(1)、2(1)題。

［補充練習］已知AABC中,sin/:sin夕:sinC=l:2:3,求a:6:c

(答案：1：2：3)

IV.課時小結(由學生歸納總結)

ba+b+c

(1)定理的表示形式:=A(A>0)；

sin/1sin6sinCsin/+sin6+sinC

或a=4sin/,b=ksinB,c=AsinC(4>0)

(2)正弦定理的應用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

V.課后作業(yè)

第10頁［習題L1］A組第1(1)、2(1)題。

?板書設計

?授后記

§1.1.2余弦定理

授課類型：新授課

?教學目標

知識與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本

的解三角形問題。

過程與方法：利用向量的數量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本

的解三角形問題

情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數、余弦定理、

向量的數量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

?教學重點

余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應用；

?教學難點

勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。

?教學過程

I.課題導入

如圖1.1-4,在△如C中,設BC=a,AOb,AB=c,

已知a,b和NC,求邊c

（圖1.1-4)

n.講授新課

［探索研究］

聯(lián)系已經學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？

用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。

如圖1.1-5,設C?=a,CA=i,AB=c,那么c=a—5,則c

付七.工

=a-a+b-b~2a-bCaB

=0+件一2￡5

從而c2=/+Z)2_238cosc(圖1.1-5)

同理可證a2=+cz-2bccosA

〃=a2+c2-2accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的

兩倍。即a2=b2+c2-2bccosA

32=/+/_2accosB

c2=+Z72-2abcosC

思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？

（由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

從+。2一〃

2bc

q2+c，2-62

cosB=

2ac

h2+a2-c2

cosC=

-2ba-

［理解定理］

從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方

之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？

（由學生總結）若AABC中，C=90°,則cosC=0,這時

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

［例題分析］

例1.在AABC中，己知a=26,c=娓+五,3=60°,求b及A

⑴解：Vb2=a2+c2-2accosB

=(2何+(遙+何一2-2"函+&)cos450

=12+(灰+夜尸-46(6+1)

=8

:*b=2叵.

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:

.b2+c2-a2(2貶)?+(#+/)2-(273)21

⑵解法一:cosA=F-=-2x2岳函+西一立

A=60°.

解法二：?.?sinA=?sin8=2^gsin45°,

b2V2

XVS/6+42>2.4+14=3.8,

2百<2x1.8=3.6,

：.a<c,即0°<A<90°,

A=60°.

評述：解法二應注意確定A的取值范圍。

例2.在AABC中，己知”=134&加，6=87.&也，c=16l.7cm,解三角形

（見課本第8頁例4,可由學生通過閱讀進行理解）

解：由余弦定理的推論得:

。2+。2—42

cosA=

222

=87.8+161.7-134.6

=-2x87.8x161.7

?0.5543,

Aa56°20'；

i

c2~+a~2-b~2

cosB=

2ca

_134.62+161.72-87.82

=~2x134.6x161.7-

*0.8398,

以32°53'；

C=180°-(A+B)?l80o-(56°20,+32053,)

m.課堂練習

第8頁練習第1(1)、2(1)題。

［補充練習］在AABC中，^a2^b2+c2+bc,求角A(答案:A=120°)

IV.課時小結

(1)余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

(2)余弦定理的應用范圍：①.已知三邊求三角；②.已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

V.課后作業(yè)

①課后閱讀：課本第9頁［探究與發(fā)現(xiàn)］

②課時作業(yè)：第11頁［習題1.1］A組第3(1),4(1)題。

?板書設計

?授后記

§1.1.3解三角形的進一步討論

授課類型：新授課

?教學目標

知識與技能：掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角

形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用。

過程與方法：通過引導學生分析，解答三個典型例子，使學生學會綜合運用正、余弦定理，三角函數公式

及三角形有關性質求解三角形問題。

情感態(tài)度與價值觀：通過正、余弦定理，在解三角形問題時溝通了三角形的有關性質和三角函數的關系，

反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉化的可能，從而從本質上反映了事物之間的內在聯(lián)系。

?教學重點

在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；

三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用。

?教學難點

正、余弦定理與三角形的有關性質的綜合運用。

?教學過程

I.課題導入

［創(chuàng)設情景］

思考：在AABC中，已知a=22cwz,b=25cm,4=1330,解三角形。

(由學生閱讀課本第9頁解答過程)

從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出現(xiàn)無

解的情形。下面進一步來研究這種情形下解三角形的問題。

n.講授新課

［探索研究］

例1.在AABC中，已知。,方,力，討論三角形解的情況

分析：先由sin5="電且可進一步求出B；

a

貝J|C=18O°-(4+8)

,,—asmC

從而c=------

A

1.當A為鈍角或直角時，必須a>6才能有且只有一解；否則無解。

2.當A為銳角時，

如果那么只有一解；

如果a<6,那么可以分下面三種情況來討論：

(1)若a>6sin/,則有兩解；

(2)若a=6sin/,則只有一解；

(3)若avbsinZ,則無解。

(以上解答過程詳見課本第9~10頁)

評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當A為銳角且

6sin/<a<6時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。

［隨堂練習1］

(1)在AABC中，已知a=80,6=100,N/=45°,試判斷此三角形的解的情況。

(2)在AABC中，若a=l,c=1,NC=40°,則符合題意的b的值有個。

(3)在AABC中，a=xcm,b=2cm,N6=45°,如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。

(答案：(1)有兩解；(2)0；(3)2Vx<20)

例2.在AABC中，已知a=7,8=5,c=3,判斷AABC的類型。

分析：由余弦定理可知

a?=〃+/0/是直角=AABC是直角三角形

/>〃+c2=4是鈍角=AABC是鈍角三角形

a2<b2+c2^>力是銳角戚AABC是銳角三角形

(注意：2是銳角WSBC是銳角三角形)

W：V72>52+32,即—>力2+02,

???AABC是鈍角三角形。

[隨堂練習2]

(1)在4ABC中，已知sin4:sin8:sinC=l:2:3,判斷AABC的類型。

(2)已知AABC滿足條件acosZ=6cos夕，判斷AABC的類型。

(答案：(1)AABC是鈍角三角形；(2)AABC是等腰或直角三角形)

a+b+c

例3.在AABC中，4=60°,6=1,面積為成-,求的值

sinH+sin夕+sinC

分析：可利用三角形面積定理S=；aZ;sin。=；acsin6=；8csin/以及正弦定理

a_b_c_a+b+c

sinJsinBsinCsin/+sin笈+sinC

1A

解：由S=iBcsinZ=5-得。=2,

貝ija2=Z?24-c2-2bccosA=3,BP5=>/3,

從而.」+b+；=2

sin/+sin〃+sin。sin/

m.課堂練習

(1)在AABC中，若a=55,6=16,且此三角形的面積S=220向，求角C

^2A2_2

⑵在AABC中，其三邊分別為a、b、c,且三角形的面積S=一^,求角C

(答案:(1)60°或120°；(2)45°)

IV.課時小結

(1)在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形;

(2)三角形各種類型的判定方法；

(3)三角形面積定理的應用。

V.課后作業(yè)

(1)在AABC中，已知6=4,c=10,6=30°,試判斷此三角形的解的情況。

(2)設x、x+1、x+2是鈍角三角形的三邊長，求實數x的取值范圍。

(3)在AABC中，1=60°,a=l,b+c=2,判斷AABC的形狀。

(4)三角形的兩邊分別為3cm,5cm,它們所夾的角的余弦為方程5V—7x-6=0的根，

求這個三角形的面積。

?板書設計

?授后記

第一課時

授課類型：新授課

?教學目標

知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離的實際問題，了解常用的

測量相關術語

過程與方法：首先通過巧妙的設疑，順利地引導新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其次結合學生的實際

情況，采用“提出問題一一引發(fā)思考一一探索猜想一一總結規(guī)律一一反饋訓練”的教學過程，根據大綱要

求以及教學內容之間的內在關系，鋪開例題，設計變式，同時通過多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學

生掌握解法，能夠類比解決實際問題。對于例2這樣的開放性題目要鼓勵學生討論，開放多種思路，引導

學生發(fā)現(xiàn)問題并進行適當的指點和矯正

情感態(tài)度與價值觀：激發(fā)學生學習數學的興趣，并體會數學的應用價值；同時培養(yǎng)學生運用圖形、數學符號

表達題意和應用轉化思想解決數學問題的能力

?教學重點

實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解

?教學難點

根據題意建立數學模型，畫出示意圖

?教學過程

I.課題導入

1、［復習舊知］

復習提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？

2、［設置情境］

請學生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，''遙不可及的月亮

離我們地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經估算出了兩者的距離，是什么神奇

的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比

如可以應用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問

題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，

有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學習正弦定理、

余弦定理在科學實踐中的重要應用，首先研究如何測量距離。

n.講授新課

(1)解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求

轉換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數學模型來求解

［例題講解］

(2)例1、如圖，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側，在所在的河

岸邊選定一點C,測出AC的距離是55nbZBAC=51°,ZACB=75°o求A、B兩點的距離(精確到0.Im)

啟發(fā)提問1：AABC中，根據已知的邊和對應角，運用哪個定理比較適當？

啟發(fā)提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學生回答。

分析：這是一道關于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB

的對角，AC為已知邊，再根據三角形的內角和定理很容易根據兩個已知角算出AC的對角，應用正弦定理算

出AB邊。

解：根據正弦定理，得

A8二AC

sinZ.ACBsinZABC

AB=ACsinZACB

sinzSABC

二55sinZACB

sinZABC

-55sin75°

sin(180°-51°-75°)

=55sin75°

sin54°

Q65.7(m)

答:A、B兩點間的距離為65.7米

變式練習：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東30°,燈塔B在觀

察站C南偏東60°,則A、B之間的距離為多少？

老師指導學生畫圖，建立數學模型。

解略：V2akm

例2、如圖，A、B兩點都在河的對岸(不可到達)，設計一種測量A、B兩點間距離的方法。

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構造三角形，所以

需要確定C、D兩點。根據正弦定理中已知三角形的任意兩個內角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出

AC和BC,再利用余弦定理可以計算出AB的距離。

圖1.2-2

解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D,測得CD二a,并且在C、D兩點分別測得/BCA二a,

ZACD=p,ZCDB=z,/BDA二b,在AADC和ABDC中，應用正弦定理得

AC=6?sin(7+6)—〃sin(y+b)

sin[180°-(/7+/+^)]sin(夕+y+b)

BC="sin,二?siny

sin[180°-(a+^+/)]sin(a+4+7)

計算出AC和BC后，再在AABC中，應用余弦定理計算出AB兩點間的距離

AB=VAC2+BC2-2ACxBCcosa

分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分析。

變式訓練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得NBCA=60°,ZACD=30°,ZCDB=45°,ZBDA=60"

略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20而

評注：可見，在研究三角形時，靈活根據兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復，

如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結合題目條件來選擇最佳的計算方式。

學生閱讀課本4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應例子。

m.課堂練習

課本第14頁練習第1、2題

IV.課時小結

解斜三角形應用題的一般步驟：

(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖

(2)建模：根據已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角

形的數學模型

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數學模型的解

(4)檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解

V.課后作業(yè)

課本第22頁第1、2、3題

?板書設計

?授后記

§2.2解三角形應用舉例

第二課時

授課類型：新授課

?教學目標

知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關底部不可到達的物體高度測量的問

題

過程與方法：本節(jié)課是解三角形應用舉例的延伸。采用啟發(fā)與嘗試的方法，讓學生在溫故知新中學會正確

識圖、畫圖、想圖，幫助學生逐步構建知識框架。通過3道例題的安排和練習的訓練來鞏固深化解三角形

實際問題的一般方法。教學形式要堅持引導一討論一歸納，目的不在于讓學生記住結論，更多的要養(yǎng)成良

好的研究、探索習慣。作業(yè)設計思考題，提供學生更廣闊的思考空間

情感態(tài)度與價值觀：進一步培養(yǎng)學生學習數學、應用數學的意識及觀察、歸納、類比、概括的能力

?教學重點

結合實際測量工具，解決生活中的測量高度問題

?教學難點

能觀察較復雜的圖形，從中找到解決問題的關鍵條件

?教學過程

I.課題導入

提問：現(xiàn)實生活中,人們是怎樣測量底部不可到達的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下

方山頂的海拔高度呢？今天我們就來共同探討這方面的問題

n.講授新課

［范例講解］

例1、AB是底部B不可到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度AB的方法。

圖1.2-4

分析：求AB長的關鍵是先求AE,在AACE中，如能求出C點到建筑物頂部A的距離CA,再測出由C點觀察

A的仰角，就可以計算出AE的長。

解：選擇一條水平基線HG,使H、G、B三點在同一條直線上。由在H、G兩點用測角儀器測得A的仰角分別

是a、p,CD=a,測角儀器的高是h,那么，在AACD中，根據正弦定理可得

AC=asinp

sin(a-^)

AB=AE+h

ACsina+h

asinasinP+

sin(a-P)

例2、如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角a=54°40',在塔底C處測得A處的俯角)=50°1'。

已知鐵塔BC部分的高為27.3m,求出山高CD(精確到1m)

圖1.2-5

師:根據已知條件,大家能設計出解題方案嗎？(給時間給學生討論思考)若在AABD中求CD,則關鍵需要

求出哪條邊呢？

生：需求出BD邊。

師：那如何求BD邊呢？

生：可首先求出AB邊，再根據NBAD=a求得。

解:在AABC中，NBCA=90°+p,ZABC=90°-a,NBAC=a-[5,ZBAD=a.根據正弦定理，

BC=AB

sin(a-/})sin(90°+夕)

mi、?八口BCsin(90°+/3)BCcos夕

所以AB=--------------=------—

sin(a-夕)sin(a-S)

解RtAABD中，得BD=ABsinNBAD="cos￡sina

sin(a-/})

將測量數據代入上式,得

27.3cos50fsin5440'

nBiDA=-------；------；——

sin(5440,-501')

_27.3cos50°l,sin54540,

sin4°39'

??177(m)

CD=BD-BC=177-27.3=150(m)

答：山的高度約為150米.

師：有沒有別的解法呢？

生：若在AACD中求CD,可先求出AC。

師：分析得很好，請大家接著思考如何求出AC?

生：同理，在AABC中，根據正弦定理求得。(解題過程略)

例3、如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時測得公路南側遠處一山頂D在東偏南15°的

方向上,行駛5km后到達B處,測得此山頂在東偏南25°的方向上,仰角為8°,求此山的高度CD.

師：欲求出CD,大家思考在哪個三角形中研究比較適合呢？

生：在ABCD中

師：在ABCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據條件，易計算出哪條邊的長？

生：BC邊

解:在AABC中，ZA=15°,NC=25°T5°=10°,根據正弦定理，

BC___=AB___

sinAsinC

r1cABsinA5sin15

sinCsin10

.7.4524(km)

CD=BCxtanZDBC?BCxtan80—1047(m)

答：山的高度約為1047米

m.課堂練習

課本第17頁練習第1、2、3題

IV.課時小結

利用正弦定理和余弦定理來解題時，要學會審題及根據題意畫方位圖,要懂得從所給的背景資料中進行

加工、抽取主要因素，進行適當的簡化。

V.課后作業(yè)

1、課本第23頁練習第6、7、8題

2、為測某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20m的樓的樓頂處測得塔頂A的仰角為30°,測得塔基B的俯

角為45°,則塔AB的高度為多少m?

通自2073

答案：20+—工(m)

3

?板書設計

?授后記

§2.2解三角形應用舉例

第三課時

授課類型：新授課

?教學目標

知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關計算角度的實際問題

過程與方法：本節(jié)課是在學習了相關內容后的第三節(jié)課，學生已經對解法有了基本的了解，這節(jié)課應通過

綜合訓練強化學生的相應能力。除了安排課本上的例1,還針對性地選擇了既具典型性有具啟發(fā)性的2道例

題，強調知識的傳授更重能力的滲透。課堂中要充分體現(xiàn)學生的主體地位，重過程，重討論，教師通過導

疑、導思讓學生有效、積極、主動地參與到探究問題的過程中來，逐步讓學生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。

情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，并在教學過程中激發(fā)學生

的探索精神。

?教學重點

能根據正弦定理、余弦定理的特點找到已知條件和所求角的關系

?教學難點

靈活運用正弦定理和余弦定理解關于角度的問題

?教學過程

I.課題導入

［創(chuàng)設情境］

提問：前面我們學習了如何測量距離和高度，這些實際上都可轉化已知三角形的一些邊和角求其余邊的問

題。然而在實際的航海生活中，人們又會遇到新的問題，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷失方向，保

持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測量問題。

n.講授新課

［范例講解］

例1、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行67.5nmile后到達海島B,然后從B出發(fā)，沿北

偏東32°的方向航行54.0nmile后達到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達C,此船應該沿怎樣的方向

航行,需要航行多少距離？（角度精確到0.1°,距離精確到0.Olnmile）

圖1.2-7

學生看圖思考并講述解題思路

教師根據學生的回答歸納分析：首先根據三角形的內角和定理求出AC邊所對的角NABC,即可用余弦定理

算出AC邊，再根據正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角ZCAB,

解：在AABC中，ZABC=180°-75°+32°=137°,根據余弦定理,

AC貿AB?+BC?-2ABxBCxcosNABC

=A/67.52+54.02-2x67.5x54.0xcosl370

15

根據正弦定理，

BC_AC

sinZCABsinZABC

sinZCAB="sinZABC

AC

=54.0sinl37°

113.15

?=0.3255,

所以ZCAB=19.0°,

75°-ZCAB=56.0°

答:此船應該沿北偏東56.1°的方向航行,需要航行113.15nmile

例2、在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為。，沿BE方向前進30m,至點C處測得頂端A的仰角為

20,再繼續(xù)前進106m至D點，測得頂端A的仰角為4。，求夕的大小和建筑物AE的高。

師：請大家根據題意畫出方位圖。

生：上臺板演方位圖（上圖）

教師先引導和鼓勵學生積極思考解題方法，讓學生動手練習，請三位同學用三種不同方法板演，然后教師

補充講評。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在AACD中，

AC=BC=30,

AD=DC=10V3,

ZADC=180°-4。，

.10—=30。

sin20sin（l80—40）

因為sin4。=2sin26cos2夕

cos20=，得20=30°

2

二.0=15

.?.在RlAADE中，AE=ADsin60°=15

答：所求角。為15°,建筑物高度為15m

解法二：（設方程來求解）設DE=x,AE=h

在RtAACE中，（106+x）2+h2=302

在RtAADE中，x2+h2=（10g）2

兩式相減，得x=5Q,h=15

.,.在RtAACE中,tan26>=——=—

1OV3+x3

.-.2（9=30°,8=15°

答：所求角。為15°,建筑物高度為15m

解法三：（用倍角公式求解）設建筑物高為AE=8,由題意，得

ZBAC=6>,NCAD=2（9,

AC=BC=30m,AD=CD=loV3m

在RtAACE中，sin26=±---------①

30

4

在RtAADE中，sin46=―---------②

10V3

②+①得cos26=^^,2。=30°,。=15°,AE=ADsin60°=15

2

答：所求角。為15°,建筑物高度為15m

例3、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75°的方向以10海里

/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應該沿什么方

向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？

個北

!C

B

A

師：你能根據題意畫出方位圖？教師啟發(fā)學生做圖建立數學模型

分析：這道題的關鍵是計算出三角形的各邊，即需要引入時間這個參變量。

解：如圖，設該巡邏艇沿AB方向經過x小時后在B處追上走私船，則CB=10x,AB=14x,AC=9,

ZACB=75o+45°=120°

（14x）2=92+（iox）2-2x9x10xcosl20°

39

化簡得32X2-30X-27=0,即x=-,或x=--（舍去）

216

所以BC=lOx=15,AB=14x=21,

又因為sinNBAC=生期型=竺、回述

AB21214

NBAC=38°13',或NBAC=141°47'（鈍角不合題意,舍去）,

38°13,+45°=83°13,

答：巡邏艇應該沿北偏東83°13'方向去追，經過1.4小時才追趕上該走私船.

評注：在求解三角形中，我們可以根據正弦函數的定義得到兩個解，但作為有關現(xiàn)實生活的應用題，必須

檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解

m.課堂練習

課本第18頁練習

IV.課時小結

解三角形的應用題時，通常會遇到兩種情況：（1）已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利

用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量與未知量涉及兩個或兒個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角

形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。

V.課后作業(yè)

1、課本第23頁練習第9、10、11題

2、我艦在敵島A南偏西50。相距12海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西1（）。的方向以10海里/小時的速度

航行.問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時追上敵艦？（角度用反三角函數表示）

?板書設計

?授后記

§2.2解三角形應用舉例