專題9巧用切線長(zhǎng)定理解題

【知識(shí)解讀】

切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，并且這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線

的夾角.該定理在計(jì)算和證明中應(yīng)用相當(dāng)廣泛，常?？捎脕?lái)解決以下幾種題型：

①求角度；②求線段長(zhǎng)；③證線段相等；④證明線段成比例；⑤證明線段平行；⑥與三角形內(nèi)切圓有

關(guān)的問(wèn)題.

培優(yōu)學(xué)案

【典例示范】

例1已知。。的兩條切線布和PB相交于點(diǎn)P,與。0相切于A,B兩點(diǎn)，C是。。上的一點(diǎn)，若/片

60°,求/4CB的度數(shù).

【提示】由于點(diǎn)C的位置不確定，所以需要分類討論.

【跟蹤訓(xùn)練】

如圖1-9-1,C4和CB都是。。的切線，切點(diǎn)分別是A,B,如果。。的半徑為2力，且

48=6,求N4C8的度數(shù).

圖1-8-20

例2如圖1-9-2①，ZABC中，CA=CB,點(diǎn)。在高C“上，OO_LCA于點(diǎn)D,0EJ_C8于點(diǎn)E,以。

為圓心，0。為半徑作。O.

(1)求證：。。與CB相切于點(diǎn)E；

(2)如圖1-9-2②，若。O過(guò)點(diǎn)H,且AC=5,48=6,連接￡77,求』的面積.

【提示】(1)由等腰三角形的性質(zhì)易得C”是N4C8的平分線，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得OE=OD,

即圓心O到直線CB的距離等于半徑，所以結(jié)論得證；

(2)先由等腰三角形的性質(zhì)，得BC=AC=5,BH=AH=3,在R/ZBCH中，由勾股定理得C”=4；再由

切線長(zhǎng)定理得跖=8"=3；然后，過(guò)點(diǎn)E作成」AB于點(diǎn)F,則易得48EFS4BCH,根據(jù)相似三角形的對(duì)

應(yīng)邊成比例得EF的長(zhǎng)，則ZBHE的面積,BHEF.

2

圖1-9-2?圖1-9-2②

【跟蹤訓(xùn)練】

如圖1-9-3,在ZABC中，/ABC=90°,0是AB上的一點(diǎn)，以。為圓心，。8為半徑的圓與AB交于

點(diǎn)E,與AC切于點(diǎn)。，連接DE,0C,若AD=2,AE=l,求CD的長(zhǎng).

圖1-9-3

例3如圖1-9-4,PA,P8切。0于A,B兩點(diǎn).CD切。0于點(diǎn)E,交孫，PB于C,D,若。0的半徑

為r,』PCD的周長(zhǎng)等于3r,則tanZAPB的值是()

D12C.jx/13

A.—V13D.------D.-713

1253

【提示】先利用切線長(zhǎng)定理將』PCD的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成線段陰長(zhǎng)的2倍，構(gòu)造出切線長(zhǎng)定理的基本圖形，利

用勾股定理、面積法或者是三角函數(shù)計(jì)算出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，最后將所求的Z4PB放在一個(gè)直角三角形中,

將它的正切值轉(zhuǎn)化為兩條線段的比值即可得到答案.

圖1-9-5

如圖1-9-5,OA與。8外切于點(diǎn)D,PC,PD,PE分別是圓的切線，C,D,E是切點(diǎn)，若《ED=x。，

的半徑為R,則錯(cuò)誤!的長(zhǎng)度是()

人萬(wàn)(90—x)RDi(90—y)R「乃(180—x)R、i(180-y)R

A.------------------D.-------------------C.--------------------D.-------------------

9090180180

例4如圖1-9-6①所示，A8為。。的直徑，與。0相切于點(diǎn)A,DE與。。相切于點(diǎn)E,點(diǎn)C為OE

延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=CB

(1)求證：8C為。。的切線；

(2)連接AE,AE的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G(如圖②所示).若AB=2石，AD=2,求線段8c和

EG的長(zhǎng).

【提示】(1)欲證明BC為。。的切線，依據(jù)切線的判定定理，需證明OB_LBC,為此要連接OC,0E,

設(shè)法證明408C"0EG得/0BC=/OEC=90。；

(2)需順著(1)問(wèn)結(jié)論，靈活運(yùn)用切線長(zhǎng)定理，勾股定理，相似三角形知識(shí)解答，關(guān)鍵有二：一連

接BE,發(fā)現(xiàn)EC=BC=CG；二通過(guò)過(guò)點(diǎn)。作BG邊上的高構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理求出”的長(zhǎng)。

【跟蹤訓(xùn)練】圖196°圖1-9-4②

如圖1一9一7,在梯形A8CO中，AD/BC,NA8C=90°,以A8為直徑作00,恰與另一腰CO相切

于點(diǎn)E,連接O￡>,OC,BE.

(1)求證：OD//BE；

(2)若梯形48co的面積是48,設(shè)0￡>=X，OC=y,且x+y=14,求CD的長(zhǎng).

【提示】(1)由E是切點(diǎn)，故先連接OE,要證OZV/BE,需證明一組同位角NAOQ=NA8E,而NA3E

是圓周角，根據(jù)圓周角定理可知/A8E=L/AOE,則需證明40。=/OOE,即證明RtACM。絲RtAOED

2

即可；(2)由兩對(duì)三角形全等易得/￡>OC=90°,則CD=商+9,由梯形的面積是△￡>oc的2倍，

可知個(gè)=48,再由x+y=14可求CD.

圖197

例5在RtzMBC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,AB=5.

探究新知

如圖1一9一8①，。。是△ABC的內(nèi)切圓，與三邊分別相切于點(diǎn)E,F,G.

(1)求證：內(nèi)切圓的半徑0=1；

(2)求tanNOAG的值；

結(jié)論應(yīng)用

(1)如圖1一9一8②，若半徑為力的兩個(gè)等圓。。1，。。2外切，且。。2,與AC,48相切，。。2與

BC,AB相切，求「2的值；

(2)如圖1一9一8③，若半徑為外的〃個(gè)等圓。。|,。。2.,…，00,?依次外切，且。。1與AC,

AB相切,00“與3C,AB相切,001，。。2.,…，。0“均與AB相切，求r“的值.

圖1-9-8

【跟蹤訓(xùn)練】

閱讀材料：已知，如圖1—9—9①，在面積為S的△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,內(nèi)切圓。的半

徑為r,連接OA,OB,OC,aABC被劃分為三個(gè)小三角形.

S=SMBC+S^oAc+S^OAB=-BC,r+—AC?r+—AB,r——(a+i>+c)r.

圖1—9—9

(1)類比推理：若面積為S的四邊形ABC。存在內(nèi)切圓(與各邊都相切的圓)，如圖1一9一9②，各

邊長(zhǎng)分別為AB=a,BC=b,CD=c,AO=4,求四邊形的內(nèi)切圓半徑r；

(2)理解應(yīng)用：如圖1一9一9③，在等腰梯形ABCO中，AB///DC,AB=21,CD=\\,AD=\3,00,

與00分別為△AB。與△8C￡＞的內(nèi)切圓，設(shè)它們的半徑分別為八和2求二的值.

r2

【提示】(1)已知已給出示例，我們仿照例子，連接Q4OB,OC,OD,則四邊形被分為四個(gè)小三

角形，且每個(gè)三角形都以內(nèi)切圓半徑為高，以四邊形各邊作底，這與題目情形類似.仿照證明過(guò)程，r易

得：

(2)上問(wèn)中已告訴我們內(nèi)切圓半徑的求法，采用類比的方法即得結(jié)果，但求內(nèi)切圓半徑需首先知道

三角形各邊邊長(zhǎng)，根據(jù)等腰梯形性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)。作QELA8于點(diǎn)E,AE=-(AB—CO),可求得AE的長(zhǎng)，

2

BE=AB-AE,求出8E的長(zhǎng).在Rt/XAOE中，根據(jù)勾股定理可求得OE的長(zhǎng)，在中，根據(jù)勾股

定理求出8。的長(zhǎng)，則外，犯易得，進(jìn)而求出工的值.

r2

培優(yōu)訓(xùn)練

直擊中考

1.如圖1一9—10,RtZXABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=6,以斜邊AB上的一點(diǎn)。為圓心所作

的半圓分別與AC,BC相切于點(diǎn)。，E,則AO為.

圖1-9-10

2.如圖1一9—11,ZXABC中，A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,12),8(—5,0),C(9,0).若

△ABC的內(nèi)心為/,則點(diǎn)()

1717、

A.(一,一)B.(—,4)C.(1,一)D.(1,4)

2222

3.如圖1一9—12,CO是OO的直徑，且CO=2cm,點(diǎn)P為C￡>的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作。。的

切線雨，PB,切點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B.

(1)連接AC,若NAPO=30°,試證明△ACP是等腰三角形；

(2)填空：

①當(dāng)OP=cm時(shí)，四邊形AOBD是菱形；

②當(dāng)DP=cm時(shí)，四邊形AOBP是正方形

圖1-9-12圖1-9-13

4.如圖1一9—13,在梯形A08C中，40〃CB,點(diǎn)A,8分別在y軸和x軸上.P是08中點(diǎn)，以P

為圓心，P8長(zhǎng)為半徑作半圓，。為該半圓與AC的一個(gè)公共點(diǎn)，且O8=CB=C￡>=4.

(1)試說(shuō)明：AC與半圓相切于點(diǎn)。；

(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo).

挑戰(zhàn)競(jìng)賽

1.如圖1—9—14,已知AB為。。的直徑，AB=2,和BE是圓。的兩條切線，A,B為切點(diǎn)，過(guò)

圓上一點(diǎn)C作。O的切線CF,分別交AD,BE于點(diǎn)M,N,連接AC,CB,若NABC=30°,則AM=.

N

圖1-9-14圖1-9T5

2.如圖1一9一15,。。是RtZ\A8c的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為。，F(xiàn),E,若AF,BE的長(zhǎng)是方程x?—13x+

30=0的兩個(gè)根，則△ABC的面積為

3.如圖1一9一16,。。的半徑為1,點(diǎn)P是。。上一點(diǎn)，弦48垂直平分線段OP,點(diǎn)。是希上任

一點(diǎn)(與端點(diǎn)A,8不重合)，OELA8于點(diǎn)E,以點(diǎn)。為圓心，OE長(zhǎng)為半徑作?！?gt;,分別過(guò)點(diǎn)A,8作

。。的切線，兩條切線相交于點(diǎn)C.

(1)求弦A3的長(zhǎng)；

(2)判斷NAC8是否為定值，若是，求出N4CB的大??；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)記△ABC的面積為S,若品/丁=4百，求aABC的周長(zhǎng).

DE2

圖1-9-16

4.如圖1一9—17,△ABC中，AB=1,BC=8,CA=9,過(guò)△ABC的內(nèi)切圓圓心/作DE/〃BC,分

別與AB,4c相交于點(diǎn)。，E,則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_______.

專密9巧用切線長(zhǎng)定理解明

例I如卷圖1-9?1.連接。4.。8.

VPA.PB與圃。分91相切于點(diǎn)A?3?

???HPQB_PB.

???N(MP-NOBP-90??乂NP-8..

；?ZAOB-360?-90?-90?-60*-120*.

沖點(diǎn)C在優(yōu)弧A8上時(shí)?如答醫(yī)1?97?

乂VZACB和/AO8分別是贏所對(duì)的圜冏角和圜心角.

.??ZACB--yZAfJB-60*?

當(dāng)點(diǎn)C在劣蜒Ab上時(shí)./AC”-IMyZAOB-120\

你上uj知,/ACB-M或120*

例2(D???CA=CB?點(diǎn)O在高CHt.AZACH-ZBCH.

VOD±CA,OE±CB./.OE=OD,

?,.◎O與CB相切于E點(diǎn).

(2)VCA-CB,CHft?.AAH=BH?yAB=yX6-3.

ACH-/CA1-AH1-修二3，二C

?1點(diǎn)O在育CH上,?O過(guò)點(diǎn)H????OO與AS相切于"點(diǎn).

由(1)如OO耳CB相切于E點(diǎn)，???BE?B”3.

如谷圖1?9—2,過(guò)￡作￡尸」.48于點(diǎn)F?

用EF//CH.???△BEFsZ\BCH.

嗜嚼,武哼,...EF/I???NOBC=90?..??BC為0O的切線.

ASAAHT-1-BHXEF—

例2?踩訓(xùn)練CD-3

例3B提示，根據(jù)題您可知,PA,PB,CD均為?O的切線.

AP4-PB.CE-CA,DE-DB.

???△PCD的周長(zhǎng)=PC+CD+PD=PC十CE+DE+PDR.

PC+CA+DB+PD-PA+PB-2PA.即2PA-3r.HPPA?yr.

?B1-9-4

如若圖1-9?3,連接AO.BO.PO,由勾股定理可知?尸。二季「,由切

(2)如答圖卜9?4②,過(guò)點(diǎn)D作DF^BC于點(diǎn)F.

線長(zhǎng)定理可知,AB1PO,被垂足為H,則AH=BH=t浮?：AD,DC.BG分則切?O于點(diǎn)A.E?B.

.%DA=D￡.C￡=Ca

會(huì)/Hr.JAB=2否,.再過(guò)點(diǎn)A作AMJ_PB于M.設(shè)BC為工,則CF?x-2.DC=r^2.

在RtADFC中?(x+2?-(x-2)1=(23汛解得x=y.

由面枳法可知：AM-PB?PH?AB,

PH?AB彌/?X各O]8???AD〃BG????NDA￡-NEGC

即AM-~PH-----------------3--------------W7DA=DE,???NDAEN/人ED.

TrVZAED-ZCBG.：?NEGC=NCEG.

；,PM=J(G1(存);知??,CG-CE-CB-y.ABG-5.

AAG?/(2卻+5J745-375.

方宏1；連接BE,S&ub-i-AB?BG-yAG?BE,

???2々X5=3&BE,I.BE-y.

在RtABEG中.EG=VBCf-Be=/，-(號(hào))-yV5.

方法2SVZDAE-ZEGC.ZAEI7-ZCEG,

.?.△ADKtoAGCE

嘴噎牌方晦^解得3季

的4?片謂?

答圖1-9-3

(D如答圖卜95?連接。￡

例3AU9憾K

VCD是OO的出線.AOE1CD.

B提示:根據(jù)孤長(zhǎng)的計(jì)算公式，整可知只要求出NEBD的度

1?0在RtZSCMD和RtZSOED中.QA-OE.OD-QD,

一

數(shù)就能求出DE的長(zhǎng)度.連接DB.EB.因?yàn)?。A與0B外切于點(diǎn)D?:.RtAOAD^RtAOCD.

PC.PD.PE分別是園的切線，所以PE-PD-PC,/PEB-/PDB???NAOD=NEOD=十/AOE.

TO,.根據(jù)四邊形內(nèi)角和虺3M可得/EBD780,一NEPD-\

在。中,

180*-(ZCPE-ZCPD)-180--[180*-2/PCE-(180,-\OZABE-3ZAOE.

2ZFCD)]=180?+2NPCE-2/PCD=180?-2/DCE-???ZAOD-ZABE,：.OD//BE,

18O*-2y.

*

所以金的長(zhǎng)度■￡!即湍山通-叢磊訕與故選a*

?4(1)如答陽(yáng)l-9-4(D,連接QE.8.

VCB-CE,OB?OE.OC-OC,

/.△OBC^ZSOEG

:.“SC./OEQ

又???DE與OO相切于點(diǎn)E.答圉1?9?5

.??ZOEC-90*.

<2)PJ?3Tif?RtACOEk2RtACOB.例5?航訓(xùn)■

Q)如若圖1-97①，連接QAQH.OC.8.

?；S-Sme+S2ac+SAai>+S28u-1-ar+-1-Ar4--|-cr-F

???/DD￡+/8EN90',???△COD是雙角三翕形.

■:S&W?S/MMO?S&DE.S&DB，+〃=-1-《。+5+c+d)r

???S?iMBCD-ZlS/ycr+SACDK)=2SAflac**OC?OD=48,

即“廠48,

t

又???jr+yl4.???x*+y=Gr+y?-2<ry?】4f-2X48N100.*

在RtZ^CQD中?CD-"XROD3=,即CD的長(zhǎng)

為10.

例5探究新知ND在答圖】?9?6①中,連接O￡.QF.QA.

,:四邊形CEOF是正方形?CE-CF-n.

又?；￡一反一3一八.BG-BF=4-ri.AG+BG=5,

?；(3—r))+(4-F|>-5.郎n?l.

(2)如答冊(cè)卜9處，連接OG?在RtZSOG中.

Vn-1?AG-3-r>-2.

(2)如答圖197②?過(guò)點(diǎn)D作DE_LAB于點(diǎn)E.

MAE-y(AB-DO-1-X(21-ll)-5.

DE=/Abi-AE?-/審=12.

BE-AB-AE=21-5-16.

BD?JD0JBEt=712^4-161=20.

川〃2二驍噌/

乂...S3-?"3+2l+Qn$

S3+xai+13+20)c4

結(jié)輪應(yīng)用ND如答圖196②,連接QA,QB,作aD_L4B交

于點(diǎn)D,QEJ_AB交于點(diǎn)E.AOi.2分別平分NCAB./ABC.

27Q.21

22n11'"a9'

由W~，如unZOiAD^-y.

修⑥申蒙

同理可傅:tan/QBE=?

1.1.6程示?如答圖"9-8?連接QD.O￡,設(shè)AD=*.

?

AAD—2n.DE-2nBE**3rl.??W圜分財(cái)與AC.BC相切，???Na?-NC￡O=90?.

???AD+DE4BE=5,即n-1-.VZC-90\???四邊形ODCE是矩形..,.OD*CE.OE?CD.

(2)如等BB1?9?6③,連接QA.OLB,作。D_LAB交于點(diǎn)D,:ACD-CE-4-x.BE=6-(4-x)-x+2.

???/AOD?/A-90°?NAOOhNfiOt=90?.

QEJLAB交于點(diǎn)E,….明17^交于點(diǎn)乂,|1!〃>|,必分別平分

???/A?/bQE?

ZCAB.ZABC.

unZQAD-+■=g?

AD=2，..DE-2,■?…?M8。3%?

又?；AD+DE+?-+MB-5..

2r.+27,+…+3r.=5.《2?t+3)。=5,即，"

Wffi1-9-8

2.D

3.證明ND如答圖1-9-9?.ftttCH.Aa

VPA為⑥O的切融，.-.OA±PA

在Rt&AOP中./AOP,90?一NAPO?90.-30?=?r.

答圖19-6③

VOB-OC,HZABC-30\?.ZBa>=ZABC-30\

AZACP-yZAOP=yX60,-30\

???/AOC為ABOC的外州./.Z^OC-2ZABC-60*.

.?.ZACP-ZAFO..,.AC-AP.

?1MA.MC分別為IS。的切線.

???△ACP是等*三角形.二MA-MC.且/MAO=/MOCA90：

在RtAAOM和RtAttlM中,MA=MC.(Mf-QM.

???RtZkAOM^RtACXMf.

???ZAOM-ZCOM-yZAOC-30*.

在RR&AOM中.QA=+AB-1.NAOM-30,.

???un30?=需,即§一華,解得AM■冬

(2)提示?①若K邊形AOBD是菱形.CXAa1J

則AO=AD-OD-1.在RtZSCMP中?當(dāng)點(diǎn)D是OP的中點(diǎn)射.2.30提示?■方程得AF-1O,BE-3?AB-I3.

WOD=PD-1時(shí)?四邊形AOBD是差形.設(shè)CF=CE-”?則(10+*>+(3+*)，-131,解陽(yáng)1-2

②若網(wǎng)邊形AOBP是正方形?剜/AOB-/APB-90?.所以AC-12,HC=5,則乙留的曲根為30.

即PA=R=1,可LPAaoZiPCA,工解ND如答圖1-9-11,連接OA.JHQP與AH的交點(diǎn)為F,則

PM-PD《PD+2》,即1-PZXPDf2)，iWCM-1.

???PD?+2H>-l-0,解得PAV2-1或Pg-G-M舍去).

4.解：(1)連接CP,DP.

???AO〃CB.NAOB=90?.???NCBO=90?.

又???點(diǎn)B在半?上.???BP=DP.

VCD-CB.CP-CP.???△CDPMZkOiP.

.?.ZCDP=ZCBP-90*.

乂，,點(diǎn)D在華Bl匕；,AC與半■相切于點(diǎn)D.

<2)VOP-PB.???點(diǎn)。在隼倒上.

又???/AOe-90?.；?AO與半U(xiǎn)I相切.

.\AO-AD.

答圖1-9-11

作ANJ_CB,看足為N.設(shè)AO-z,V弦AB看真平分線段OP.???OF?+。。十?"fF.

在RtAANC中.AN1+S-A。?

在中.

即"+(4—力*?(4+力，.解得x-1.

VAF-raA，_0^=JlT+1■亨"?AB=2AF=G.

作DM1_O3.垂足為M.與AN交于點(diǎn)H.

7DM//CB.???△ADHsAACN.

(2)NACH是定值.理由如下?

.AD_AH1AH....4

,?而而,即m可.了…AH-于由⑴M知./AOBT20".

丁點(diǎn)D為AABC的內(nèi)心,連接AD,8D.

同理，可得用.所以(卷,卷),

DH