湖南省張家界市三坪中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.根據(jù)程序設(shè)定，機(jī)器人在平面上能完成下列動(dòng)作：先從原點(diǎn)O沿正東偏北（）方向行走一段時(shí)間后，再向正北方向行走一段時(shí)間，但的大小以及何時(shí)改變方向不定.如右圖.假定機(jī)器人行走速度為10米/分鐘，設(shè)機(jī)器人行走2分鐘時(shí)的可能落點(diǎn)區(qū)域?yàn)镾，則S的面積（單位：平方米）等于（

）

A.

B.C.

D.參考答案：B2.已知方程有一負(fù)根且無(wú)正根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.函數(shù)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，若，且當(dāng)時(shí)，有設(shè)則

A．

B．

C．

D．參考答案：C4.已知，則、、的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．參考答案：5.按照如右圖所示的程序框圖執(zhí)行，若輸出的結(jié)果為15，則M處的條件可為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略6.已知為奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,當(dāng)

時(shí),的最小值為1,則的值等于

A.

B.1

C.

D.2參考答案：B略7.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作一直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓與該拋物線的準(zhǔn)線l的位置關(guān)系為A.相交 B.相離 C.相切

D.不能確定參考答案：C略8.已知集合，則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A試題分析：,所以，故選A.考點(diǎn)：1.不等式的解法；2.集合的運(yùn)算.9.在△ABC中,已知,,△ABC的面積為,則=（☆）A.

B.

C.

D.參考答案：C10.下列不等式對(duì)任意的恒成立的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：．C.對(duì)于A，可轉(zhuǎn)化為x+sinx>1，取x=0，結(jié)合函數(shù)x+sinx的連續(xù)性可知A錯(cuò)誤，對(duì)于B取x=2，可知B錯(cuò)誤，對(duì)于D取x=1，可知D錯(cuò)誤，對(duì)于C，令f(x)=x-ln(1+x),則，∴f(x)在上單調(diào)遞增，∴f(x)>f(0)=0,即x>ln(1+x)成立．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知三棱錐中，，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為

參考答案：略12.已知為銳角，且則=

.參考答案：13.《九章算術(shù)》中有一個(gè)“兩鼠穿墻”問(wèn)題：“今有垣（墻，讀音）厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天減半）．問(wèn)何日相逢，各穿幾何？”在兩鼠“相逢”時(shí)，大鼠與小鼠“穿墻”的“進(jìn)度”之比是

：

．參考答案：59，26．【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】第一天的時(shí)候，大鼠打了1尺，小鼠1尺；第二天的時(shí)候，大鼠打了2尺，小鼠打了尺；第三天設(shè)大鼠打了X尺，小鼠則打了（0.5﹣X）尺，則X÷4=（0.5﹣x）÷，由此能求出大鼠與小鼠“穿墻”的“進(jìn)度”之比．【解答】解：第一天的時(shí)候，大鼠打了1尺，小鼠1尺，一共2尺，還剩3尺；第二天的時(shí)候，大鼠打了2尺，小鼠打了尺，這一天一共打了2.5尺，兩天一共打了4.5尺，還剩0.5尺．第三天按道理來(lái)說(shuō)大鼠打4尺，小鼠尺，可是現(xiàn)在只剩0.5尺沒(méi)有打通了，所以在第三天肯定可以打通．我們現(xiàn)在設(shè)大鼠打了X尺，小鼠則打了（0.5﹣X）尺則打洞時(shí)間相等：X÷4=（0.5﹣x）÷解方程得X=，所以大鼠在第三天打了8/17尺，小鼠打了0.5﹣=尺所以三天總的來(lái)說(shuō)：大鼠打了3+=尺，小鼠打了5﹣尺，∴大鼠與小鼠“穿墻”的“進(jìn)度”之比是59：26．故答案為：59，26．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列在生產(chǎn)生活中的實(shí)際應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．14.在區(qū)間[0，2]上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，則函數(shù)f（x）=x3+ax﹣b在區(qū)間[﹣1，1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)的概率是．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】根據(jù)所給的條件很容易做出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件對(duì)應(yīng)的面積，而滿足條件的事件是函數(shù)f（x）=x3+ax﹣b在區(qū)間[﹣1，1]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求出導(dǎo)函數(shù)，看出函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，有零點(diǎn)等價(jià)于在自變量區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處函數(shù)值符號(hào)相反，得到條件，做出面積，根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果．【解答】解：由題意知本題是一個(gè)幾何概型，∵a∈[0，2]，∴f'（x）=3x2+a≥0∴f（x）是增函數(shù)，若f（x）在[﹣1，1]有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則f（﹣1）?f（1）≤0∴（﹣1﹣a﹣b）（1+a﹣b）≤0，即（1+a+b）（1+a﹣b）≥0，由線性規(guī)劃內(nèi)容知全部事件的面積為2×2=4，滿足條件的面積4﹣=，∴P==，故答案為：．15.設(shè)，則＝

參考答案：16.、是雙曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，若點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于9，則點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于

.參考答案：17略17.一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均為等腰直角三角形，且直角邊長(zhǎng)都為1，則這個(gè)幾何體的體積是

．參考答案：考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積．專題：計(jì)算題．分析：幾何體是三棱錐，結(jié)合三視圖判斷知：三棱錐的高為1，底面是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，把數(shù)據(jù)代入棱錐的體積公式計(jì)算．解答： 解：由三視圖可知：幾何體是三棱錐，∵正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均為等腰直角三角形，且直角邊長(zhǎng)都為1，∴三棱錐的高為1，底面是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，∴幾何體的體積V=××1×1×1=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，且?dāng)時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．參考答案：令t=2，由x1，則t∈（0，2，則原函數(shù)y=t-2t+2=（t-1）+1∈[1，2]，即D=[1，2]，由題意：f（x）=x2+kx+54x，法1：則x2+（k-4）x+50當(dāng)x∈D時(shí)恒成立

∴

k-2。法2：則在時(shí)恒成立，故19.（13分）某銀行招聘，設(shè)置了A、B、C三組測(cè)試題供競(jìng)聘人員選擇．現(xiàn)有五人參加招聘，經(jīng)抽簽決定甲、乙兩人各自獨(dú)立參加A組測(cè)試，丙獨(dú)自參加B組測(cè)試，丁、戊兩人各自獨(dú)立參加C組測(cè)試．若甲、乙兩人各自通過(guò)A組測(cè)試的概率均為；丙通過(guò)B組測(cè)試的概率為；而C組共設(shè)6道測(cè)試題，每個(gè)人必須且只能從中任選4題作答，至少答對(duì)3題者就競(jìng)聘成功．假設(shè)丁、戊都只能答對(duì)這6道測(cè)試題中4道題．（Ⅰ）求丁、戊都競(jìng)聘成功的概率．（Ⅱ）記A、B兩組通過(guò)測(cè)試的總?cè)藬?shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（I）設(shè)丁競(jìng)聘成功為M事件，戊競(jìng)聘成功為N事件，則事件的總數(shù)，而事件M競(jìng)聘成功分為兩種情況：一種是戊會(huì)其中4題都選上，另一種是選上會(huì)其中4題的其中3道題和另一道題，再利用概率計(jì)算公式即可得出．（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3．ξ=0表示甲乙丙三人都沒(méi)有通過(guò)；ξ=1表示三人中只有一人通過(guò)；ξ=3表示由3人都通過(guò)，利用分類討論和獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式及其互斥事件的概率計(jì)算公式及其對(duì)立事件的概率，列出分布列，求出期望．【解答】解：（I）設(shè)“丁競(jìng)聘成功”為M事件，戊競(jìng)聘成功為N事件，而事件M競(jìng)聘成功分為兩種情況：一種是戊會(huì)其中4題都選上，另一種是選上會(huì)其中4題的其中3道題和另一道題，基本事件的總數(shù)為．∴P（M）==．P（N）==．丁、戊都競(jìng)聘成功的概率：P（MN）=P（M）P（N）==．（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3．可得P（ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．列表如下：ξ0123P∴Eξ=0×+1×+2×+3×=．【點(diǎn)評(píng)】本題中考查了超幾何分布、互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于中檔題．20.某城市隨機(jī)抽取一年（365天）內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)API的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

API[0,100](100,200](200,300]＞300空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕污染中度污染重度污染天數(shù)17451820記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失（單位：元），空氣質(zhì)量指數(shù)為.當(dāng)時(shí)，企業(yè)沒(méi)有造成經(jīng)濟(jì)損失；當(dāng)對(duì)企業(yè)造成經(jīng)濟(jì)損失成直線模型（當(dāng)時(shí)造成的經(jīng)濟(jì)損失為，當(dāng)時(shí)，造成的經(jīng)濟(jì)損失；當(dāng)時(shí)造成的經(jīng)濟(jì)損失為2000元；（1）試寫出的表達(dá)式：（2）在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，試估計(jì)該天經(jīng)濟(jì)損失超過(guò)350元的概率；（3）若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有12天為重度污染，完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān)？

非重度污染重度污染合計(jì)供暖季

非供暖季

合計(jì)

100

P(k2≥k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考答案：（1）（2）設(shè)“在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失大于超過(guò)350元”為事件，由（1）知：，頻數(shù)為38，則.（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：則計(jì)算可得所以有的把握認(rèn)為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān).21.（本小題滿分14分）數(shù)列，滿足.（1）若是等差數(shù)列，求證：為等差數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案