江蘇省常州市溧陽后周中學2021年高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.定義集合與的運算“*”為:或,但,按此定義,A.

B.

C.

D.參考答案：A略2.已知平面平面，，若直線，滿足，，則（

）A． B． C． D．參考答案：C試題分析：，，因此C是正確的，故選C．考點：空間線面的位置關系，線面垂直的性質(zhì)．3.已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C4.函數(shù)的圖像經(jīng)過四個象限，則實數(shù)a的取值范圍是

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.設有下面四個命題:若滿足，則;:若虛數(shù)是方程的根，則也是方程的根::已知復數(shù)則的充要條件是:;若復數(shù),則.其中真命題的個數(shù)為(

)A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C6.如果對一切實數(shù)x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，] B．[3，+∞） C．[﹣2，2] D．[﹣3，3]參考答案：D【考點】函數(shù)恒成立問題．【分析】將不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立轉(zhuǎn)化為+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，構造函數(shù)f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）min=3，于是問題轉(zhuǎn)化為asinx﹣sin2x≤2恒成立．通過對sinx＞0、sinx＜0、sinx=0三類討論，可求得對應情況下的實數(shù)a的取值范圍，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：?實數(shù)x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立?+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，則asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，當y＞0時，f（y）=+≥2=3（當且僅當y=6時取“=”），f（y）min=3；當y＜0時，f（y）=+≤﹣2=﹣3（當且僅當y=﹣6時取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；綜上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，則0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），則a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，則a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；綜合①②③，﹣3≤a≤3．故選：D．7.已知為坐標原點，是雙曲線的左焦點，分別為的左、右頂點，為上一點，且軸，過點的直線與線段交于點，與軸交于點，直線與軸交于點，若，則的離心率為A.3

B.2

C.

D.參考答案：A易證得∽，則，即；同理∽，，所以，又，所以，整理，得，故選A.8.“”是“復數(shù)為純虛數(shù)”的A．充分非必要條件

B．必要非充分條件

C．充要條件

D．既非充分又非必要條件參考答案：A9.函數(shù)的圖象大致是（）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略10.設則“且”是“”的（

）A.充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．即不充分也不必要條件參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將邊長為2的正方形沿對角線折起，以，，，為頂點的三棱錐的體積最大值等于

．參考答案：略12.命題“，”的否定為

▲

．參考答案：略13.已知角α，β，γ，構成公差為的等差數(shù)列．若cosβ=﹣，則cosα+cosγ=

．參考答案：﹣

【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由已知中角α，β，γ，構成公差為的等差數(shù)列，可得α=β﹣，γ=β+，根據(jù)和差角公式，代入可得cosα+cosγ的值．【解答】解：∵角α，β，γ，構成公差為的等差數(shù)列∴α=β﹣，γ=β+故cosα+cosγ=cos（β﹣）+cos（β+）=2cosβcos=cosβ=﹣故答案為：﹣14.設函數(shù)對任意不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是

．參考答案：15.用min{a,b,c}表示a,b,c三個數(shù)中的最小值。設

(x0),則的最大值為__________（A）4

（B）5

（C）6

（D）7參考答案：616.在二項式的展開式中，的一次項系數(shù)是，則實數(shù)的值為

．參考答案：117.已知，則的最大值是

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以直角坐標系原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為θ=，試求直線l與曲線C的交點的直角坐標．參考答案：【考點】參數(shù)方程化成普通方程．【分析】將兩方程化為普通方程，聯(lián)立，即可求出直線l與曲線C的交點的直角坐標．【解答】解：直線l的極坐標方程為θ=，直角坐標方程為y=x，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），普通方程為y=2﹣x2（﹣1≤x≤1），聯(lián)立方程可得x2+x﹣2=0，∴x=1或x=﹣2（舍去），∴直線l與曲線C的交點的直角坐標為（1，1）．19.如圖所示，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點，A、B為兩個頂點，該橢圓的離心率為，△ABO的面積為．（1）求橢圓C的方程和焦點坐標；（2）作與AB平行的直線l交橢圓于P、Q兩點，|PQ|=，求直線l的方程．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（1）由題設知：，由此能求出橢圓方程和焦點F1、F2的坐標．（2）由（1）知，從而，設直線l的方程為，由，得，由此利用韋達定理和弦長公式能求出直線l的方程．【解答】解：（1）∵F1、F2分別為橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點，A、B為兩個頂點，該橢圓的離心率為，△ABO的面積為，∴由題設知：，又a2=b2+c2，將代入，得到：，即a4=25，∴a2=5，b2=4，故橢圓方程為，…焦點F1、F2的坐標分別為（﹣1，0）和（1，0）．…（2）由（1）知，∴，∴設直線l的方程為，…由，得，…設P（x1，y1），Q（x2，y2），則，…∴，…∴===，解得（驗證判別式為正），∴直線l的方程為．…（14分）【點評】本題考查橢圓方程和焦點坐標的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理、弦長公式的合理運用．20.已知橢圓E：=1（a＞b＞o）的離心率e=，且經(jīng)過點（，1），O為坐標原點．（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；（Ⅱ）圓O是以橢圓E的長軸為直徑的圓，M是直線x=﹣4在x軸上方的一點，過M作圓O的兩條切線，切點分別為P、Q，當∠PMQ=60°時，求直線PQ的方程．參考答案：解：（Ⅰ）∵橢圓E：=1（a＞b＞0）的離心率e=，∴，∴，∴a2=2b2①∵橢圓E：=1經(jīng)過點（，1），∴②①代入②可得b2=4∴a2=2b2=8∴橢圓E的標準方程為；（Ⅱ）連接OM，OP，OQ，設M（﹣4，m）由圓的切線性質(zhì)及∠PMQ=60°，可知△OPM為直角三角形且∠OMP=30°∵|OP|=2，∴∴∵m＞0，∴m=4∴M（﹣4，4）∴以OM為直徑的圓K的方程為（x+2）2+（y﹣2）2=8與圓O：x2+y2=8聯(lián)立，兩式相減可得直線PQ的方程為：x﹣y+2=0略21.從某校高三上學期期末數(shù)學考試成績中，隨機抽取了60名學生的成績得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校高三學生本次數(shù)學考試的平均分；（2）若用分層抽樣的方法從分數(shù)在[30，50）和[130，150]的學生中共抽取6人，該6人中成績在[130，150]的有幾人？（3）在（2）中抽取的6人中，隨機抽取2人，求分數(shù)在[30，50）和[130，150]各1人的概率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．【分析】（1）由頻率分布直方圖，能求出該校高三學生本次數(shù)學考試的平均分．（2）樣本中分數(shù)在[30，50）和[130，150]的人數(shù)分別為6人和3人，由此能求出抽取的6人中分數(shù)在[130，150]的人數(shù)．（3）抽取的6人中分數(shù)在[30，50）的有4人，記為A1，A2，A3，A4，分數(shù)在[130，150]的人有2人，記B1，B2，由此利用列舉法能求出分數(shù)在[30，50）和[130，150]各1人的概率．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖，得該校高三學生本次數(shù)學考試的平均分為：0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92．…（2）樣本中分數(shù)在[30，50）和[130，150]的人數(shù)分別為6人和3人，所以抽取的6人中分數(shù)在[130，150]的人有（人）…（3）由（2）知：抽取的6人中分數(shù)在[30，50）的有4人，記為A1，A2，A3，A4分數(shù)在[130，150]的人有2人，記B1，B2，從中隨機抽取2人總的情形有：（A1，A2）、（A1，A3）、（A1，A4）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A2，A3）、（A2，A4）、（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，A4）、（A3，B1）、（A3，B2）、（A4，B1）、（A4，B2）、（B1，B2）15種；而分數(shù)在[30，50）和[130，150]各1人的情形有（A1，B1）、（A1，B2）、（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，B1）、（A3，B2）、（A4，B1）、（A4，B2）8種故分數(shù)在[30