2022-2023學(xué)年河北省承德市城子鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)之和記為Sn,若S10=10,S30=70,則S40等于(

)

(A)

150

(B)

-200

(C)

150或-200

(D)

-50或400參考答案：解：首先q≠1，于是，(q10－1)=10，(q30－1)=70，∴q20+q10+1=7．Tq10=2．(－3舍)∴S40=10(q40－1)=150．選A．2.已知，若是的最小值，則的取值范圍為A．

B．

C．

D．參考答案：D試題分析：由于當(dāng)時(shí)，在時(shí)得最小值；由題意當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)最小值為，故，解得，由于，因此；若，則條件不成立，故的取值范圍為，故答案為D．考點(diǎn)：1、分段函數(shù)的應(yīng)用；2、函數(shù)的最值．3.若過點(diǎn)P（a，a）與曲線f（x）=xlnx相切的直線有兩條，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，e） B．（e，+∞） C．（0，） D．（1，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】設(shè)切點(diǎn)為（m，mlnm），求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩點(diǎn)的斜率公式可得=，設(shè)g（m）=，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最大值，由題意可得0＜＜，解不等式即可得到所求范圍．【解答】解：設(shè)切點(diǎn)為（m，mlnm），f（x）=xlnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+lnx，可得切線的斜率為1+lnm，由切線經(jīng)過點(diǎn)P（a，a），可得1+lnm=，化簡可得=，（*），由題意可得方程（*）有兩解，設(shè)g（m）=，可得g′（m）=，當(dāng)m＞e時(shí)，g′（m）＜0，g（m）遞增；當(dāng)0＜m＜e時(shí)，g′（m）＞0，g（m）遞減．可得g（m）在m=e處取得最大值，即有0＜＜，解得a＞e．故選：B．4.設(shè)，函數(shù)，則使的的取值范圍是A． B．

C． D．參考答案：A略5.給出如下四個(gè)命題：①若“p∧q”為假命題，則p,q均為假命題；②命題“若,則”的否命題為“若,則”；③命題“任意”的否定是“存在”；④在△ABC中，“”是“”的充要條件.其中不正確命題的個(gè)數(shù)是（A）4

（B）3

（C）2

（D）1

參考答案：D6.若函數(shù)f（x）=x2﹣ax+lnx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（） A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B． （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．[2，+∞） D．（2，+∞）參考答案：考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析： 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)等于0得到a=x+，利用基本不等式求得x+的范圍得答案．解答： 解：∵f（x）=x2﹣ax+lnx，∴f'（x）=x﹣a+，由題意可知存在實(shí)數(shù)x＞0，使得f'（x）=x﹣a+=0，即a=x+成立，∴a=x+≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=1時(shí)等號取到），∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，+∞）．故選：C．點(diǎn)評： 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．7.已知，且則集合的個(gè)數(shù)是（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：Ｄ8.已知集合，，若集合有且僅有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A.

B.

C.

D.參考答案：B略9.若，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．參考答案：C∵，，，∴．故選C．10.已知P為雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，若，且直線PF2與以C的實(shí)軸為直徑的圓相切，則C的漸近線方程為（）A. B. C. D.參考答案：A【分析】依據(jù)題意作出圖象，由雙曲線定義可得，又直線PF2與以C的實(shí)軸為直徑的圓相切，可得，對在兩個(gè)三角形中分別用余弦定理及余弦定義列方程，即可求得，聯(lián)立，即可求得，問題得解?！驹斀狻恳罁?jù)題意作出圖象，如下：則，，又直線PF2與以C的實(shí)軸為直徑的圓相切，所以,所以由雙曲線定義可得：，所以，所以整理得：，即：將代入，整理得：，所以C的漸近線方程為故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的定義及圓的曲線性質(zhì)，還考查了三角函數(shù)定義及余弦定理，考查計(jì)算能力及方程思想，屬于難題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)

(用數(shù)字作答)參考答案：60

12.由曲線圍成的封閉圖形面積為____．參考答案：

13.已知橢圓和圓,若C上存在點(diǎn)P,使得過點(diǎn)P引圓O的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,滿足∠APB=120°,則橢圓C的離心率的取值范圍是

.參考答案：14.為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時(shí)間x（單位：小時(shí)）與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系：時(shí)間x12345命中率y0．40．50．60．60．4小李這5天的平均投籃命中率為

，用線性回歸分析的方法，預(yù)測小李該月6號打6小時(shí)籃球的投籃命中率為

．參考答案：0.5；0.53

本題是在概率與統(tǒng)計(jì)的交匯處命題，考查了平均數(shù)的計(jì)算、線性回歸方程的求法以及利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測的能力，難度較大.

因?yàn)椋?，，所以線性回歸方程為，當(dāng)x=6時(shí)，命中率y=0.53.15.f（x）=，則不等式x2﹣f（x）+x﹣2≤0的解集是

．參考答案：{x|﹣≤x≤}【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】根據(jù)分段函數(shù)f（x），討論x≥2與x＜2時(shí)，不等式x2﹣f（x）+x﹣2≤0的解集情況，求出對應(yīng)的解集即可．【解答】解：∵f（x）=，∴當(dāng)x≥2時(shí)，不等式x2﹣f（x）+x﹣2≤0化為x2﹣1+x﹣2≤0，即x2+x﹣3≤0，解得﹣≤x≤，又＜2，此時(shí)不等式的解不滿足條件；當(dāng)x＜2時(shí)，不等式x2﹣f（x）+x﹣2≤0化為x2+1+x﹣2≤0，即x2+x﹣1≤0，解得﹣≤x≤，又＜2，∴此時(shí)不等式的解滿足條件；綜上，原不等式的解集是{x|﹣≤x≤}．故答案為：{x|﹣≤x≤}．【點(diǎn)評】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，是綜合性題目．16.設(shè)x，y滿足約束條件，且，則的最大值為

.參考答案：1317.集合的子集個(gè)數(shù)為

．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)已知正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為且對任意的正整數(shù)滿足（1）

求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）

設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和參考答案：（1）

是正數(shù)數(shù)列，

（2）

略19.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求C1、C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B是曲線C2上的點(diǎn)，求△AOB面積的最大值.參考答案：(Ⅰ)，，∴，∴.聯(lián)立方程組得，解得，，∴所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為，.………5分(Ⅱ)設(shè)，則，∴的面積∴當(dāng)時(shí)，.

………10分

20.（本小題滿分10分）選修4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知平面直角坐標(biāo)系xOy，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l過點(diǎn)，且傾斜角為，圓C的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）求圓C的普通方程和直線l的參數(shù)方程；（Ⅱ）設(shè)直線l與圓C交于M、N兩點(diǎn)，求的值．

參考答案：解：（Ⅰ）（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入圓的方程，得：

21.（14分）已知f（x）=mx﹣alnx﹣m，g（x）=，其中m，a均為實(shí)數(shù)，（1）求g（x）的極值；（2）設(shè)m=1，a=0，求證對|恒成立；（3）設(shè)a=2，若對?給定的x0∈（0，e]，在區(qū)間（0，e]上總存在t1，t2（t1≠t2）使得f（t1）=f（t2）=g（x0）成立，求m的取值范圍．

參考答案：

考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析:（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解極值．（2）通過m=1，a=0，化簡f（x）=x﹣1，利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化原不等式轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，證不等式成立．（3）由（1）得g（x）的最大值，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷m≤0，不滿足題意；當(dāng)m＞0時(shí)，要?t1，t2使得f（t1）=f（t2），f（x）的極值點(diǎn)必在區(qū)間（0，e）內(nèi)，求出m的范圍，當(dāng)，利用g（x）在（0，e）上的值域包含于f（x）在上的值域，推出關(guān)系式，通過構(gòu)造函數(shù)w（x）=2ex﹣x，通過導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，然后推出．解：（1）∵，∴，∴（﹣∞，1）↑，（1，+∞）↓，∴g（x）極大值g（1）=1，無極小值；…（4分）（2）∵m=1，a=0，∴f（x）=x﹣1，在[3，4]上是增函數(shù)∴，在[3，4]上是增函數(shù)設(shè)3≤x1＜x2≤4，則原不等式轉(zhuǎn)化為即…（6分）令，即證?x1＜x2，h（x2）＜h（x1），即h（x）在[3，4]↓∵h(yuǎn)′（x）=1﹣ex＜0在[3，4]恒成立即h（x）在[3，4]↓，即所證不等式成立．…（9分）（3）由（1）得g（x）在（0，1）↑（1，e）↓，g（x）max=g（1）=1所以，g（x）∈（0，1]又不符合題意當(dāng)m＞0時(shí)，要?t1，t2使得f（t1）=f（t2），那么由題意知f（x）的極值點(diǎn)必在區(qū)間（0，e）內(nèi)，即得，且函數(shù)f（x）在由題意得g（x）在（0，e）上的值域包含于f（x）在上的值域，∴內(nèi)，，下面證時(shí)，f（t）≥1，取t=e﹣m，先證．令w（x）=2ex﹣x，∴內(nèi)恒成立，∴w（x）↑，∴，∴2em﹣m＞0，再證f（e﹣m）≥1，∵，∴．…（14分）點(diǎn)評:本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，新函數(shù)以及構(gòu)造法的應(yīng)用，考查綜合分析問題解決問題的能力．

22.在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥BD，PA=AC=2AD=4，AB=BC=2，M，N，E分別為PD，PB，CD的中點(diǎn)．（1）求證：平面MBE⊥平面PAC；（2）求二面角M﹣AC﹣N的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面與平面垂直的判定．【分析】（1）設(shè)F為AC中點(diǎn)，連接BF和EF，可得B、F、E三點(diǎn)共線，且BE⊥AC．再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BE，從而BE⊥平面PAC，進(jìn)一步得到平面MBE⊥平面PAC；（2）由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AC且PA⊥AD，又AC⊥AD，則以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由已知求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出平面MAC的法向量與平面NAC的法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角M﹣AC﹣N的余弦值．【解答】（1）證明：設(shè)F為AC中點(diǎn)，連接BF和EF，∵AB=BC，∴BF⊥AC．∵E為CD中點(diǎn)，∴EF∥AD．又∵AC⊥AD，∴EF⊥AC．∴B、F、E三點(diǎn)共線，∴BE⊥AC．又∵PA⊥平面ABCD，且BE?平面ABCD，∴PA⊥BE．∴BE⊥平面PAC．又∵BE?平面MBE，∴平面MBE⊥平面P