北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章：整式的運(yùn)算1.單項(xiàng)式、整式、多項(xiàng)式單項(xiàng)式是指數(shù)字與字母的乘積的代數(shù)式，單項(xiàng)式的數(shù)字因數(shù)稱為單項(xiàng)式的系數(shù)，單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和稱為單項(xiàng)式的次數(shù)。一個(gè)單獨(dú)的數(shù)字或字母也是單項(xiàng)式。只含有字母因式的單項(xiàng)式的系數(shù)是1或-1，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)字是單項(xiàng)式，它的系數(shù)是它本身。單項(xiàng)式中只能含有乘法或乘方運(yùn)算，而不能含有加、減等其他運(yùn)算。單項(xiàng)式的系數(shù)包括它前面的符號(hào)，如果單項(xiàng)式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)化成假分?jǐn)?shù)。單項(xiàng)式的系數(shù)是1或-1時(shí)，通常省略數(shù)字“1”。單項(xiàng)式的次數(shù)僅與字母有關(guān)，與單項(xiàng)式的系數(shù)無(wú)關(guān)。多項(xiàng)式是幾個(gè)單項(xiàng)式的和，每一個(gè)單項(xiàng)式稱為多項(xiàng)式的項(xiàng)。多項(xiàng)式中不含字母的項(xiàng)稱為常數(shù)項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式有幾項(xiàng)，就稱為幾項(xiàng)式。多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括項(xiàng)前面的符號(hào)。多項(xiàng)式?jīng)]有系數(shù)的概念，但有次數(shù)的概念。多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，稱為這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。2.整式的加減整式加減的理論根據(jù)是去括號(hào)法則、合并同類項(xiàng)法則以及乘法分配率。幾個(gè)整式相加減，關(guān)鍵是正確地運(yùn)用去括號(hào)法則，然后準(zhǔn)確合并同類項(xiàng)。幾個(gè)整式相加減的一般步驟為：（1）列出代數(shù)式，用括號(hào)把每個(gè)整式括起來(lái)，再用加減號(hào)連接；（2）按去括號(hào)法則去括號(hào)；（3）合并同類項(xiàng)。3.同底數(shù)冪的乘法n個(gè)相同因式（或因數(shù)）a相乘，記作a的n次方（冪），其中a為底數(shù)，n為指數(shù)，a的結(jié)果叫做冪。底數(shù)相同的冪叫做同底數(shù)冪。同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算法則為：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方。此法則也可以逆用，即a的m+n次方可以化成a的m次方乘以a的n次方。如果開(kāi)始底數(shù)不相同的冪的乘法，可以化成底數(shù)相同的冪的乘法，先化成同底數(shù)冪再運(yùn)用法則。五、冪的乘方冪的乘方是指將幾個(gè)相同的冪相乘，表示為(a)。運(yùn)算法則為底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即(a)^n=a^n。同時(shí)，也可以逆用該法則，即a^n=(a)^n。六、積的乘方積的乘方是指底數(shù)為乘積形式的乘方。運(yùn)算法則為將積中的每個(gè)因式分別乘方，然后將所得的冪相乘，表示為(ab)=a^b。同樣地，也可以逆用該法則，即a^b=(ab)。七、三種“冪的運(yùn)算法則”異同點(diǎn)三種冪的運(yùn)算法則有以下共同點(diǎn)：1.底數(shù)不變，只對(duì)指數(shù)做運(yùn)算。2.底數(shù)和指數(shù)可以是數(shù)或式（單項(xiàng)式或多項(xiàng)式）。3.對(duì)于含有三個(gè)或三個(gè)以上的運(yùn)算，法則仍然成立。不同點(diǎn)在于：1.同底數(shù)冪相乘的指數(shù)相加，冪的乘方的指數(shù)相乘，積的乘方是每個(gè)因式分別乘方，再將結(jié)果相乘。2.同底數(shù)冪相除的指數(shù)相減。八、同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪相除的法則為底數(shù)不變，指數(shù)相減，表示為a^m÷a^n=a^(m-n)。同樣地，也可以逆用該法則，即a^(m-n)=a^m÷a^n。九、零指數(shù)冪零指數(shù)冪的意義為任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1，表示為a^0=1（a≠0）。十、負(fù)指數(shù)冪任何不等于0的數(shù)的負(fù)p次冪，等于該數(shù)的p次冪的倒數(shù)，表示為a^(-p)=1/a^p（a≠0）。十一、整式的乘法（一）單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法則為將它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。系數(shù)相乘時(shí)，注意符號(hào)；相同字母的冪相乘時(shí)，底數(shù)不變，指數(shù)相加。對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式中含有的字母，連同它的指數(shù)一起寫(xiě)在積里，作為積的因式。單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的結(jié)果仍是單項(xiàng)式。該法則對(duì)于三個(gè)或三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用。（二）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則為根據(jù)分配率用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)，再將所得的積相加，表示為m(a+b+c)=ma+mb+mc。在運(yùn)算時(shí)，注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)。積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。根據(jù)法則可知，單項(xiàng)式相除與單項(xiàng)式相乘的計(jì)算方法類似，也是分成系數(shù)、相同字母與不相同字母三部分分別進(jìn)行考慮。多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則是先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加。用字母表示為：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m。在進(jìn)行多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算時(shí)，需要注意多項(xiàng)式各項(xiàng)都包括前面的符號(hào)。在平面幾何中，平行線是指在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線。而若兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則稱這兩條直線為相交線。余角和補(bǔ)角是指兩個(gè)角的和分別為直角或平角的情況。如果兩個(gè)角的和為直角，則這兩個(gè)角互為余角；如果兩個(gè)角的和為平角，則這兩個(gè)角互為補(bǔ)角。它們只與角的度數(shù)有關(guān)，與角的位置無(wú)關(guān)。同角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等。余角和補(bǔ)角的性質(zhì)是證明兩角相等的一個(gè)重要方法。對(duì)頂角是指兩條直線相交成四個(gè)角，其中不相鄰的兩個(gè)角是對(duì)頂角。一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，這兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。對(duì)頂角相等是其性質(zhì)。垂線是指兩條直線相交成直角時(shí)，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線。垂線的性質(zhì)有兩個(gè)：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。在平面幾何中，同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角是三個(gè)重要的角度概念。其中，同位角是指兩條平行線被一條直線截?cái)嗨纬傻膶?duì)應(yīng)角相等；內(nèi)錯(cuò)角是指兩條平行線被一條直線截?cái)嗨纬傻膬?nèi)角互為補(bǔ)角；同旁內(nèi)角是指兩條平行線被一條直線截?cái)嗨纬傻耐瑐?cè)內(nèi)角互為補(bǔ)角。1、同位角指的是兩個(gè)角位于兩條直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同側(cè)，這樣的一對(duì)角叫做同位角。（F）2、內(nèi)錯(cuò)角指的是兩個(gè)角位于兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的兩側(cè)，這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。(Z)3、同旁內(nèi)角指的是兩個(gè)角位于兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的同側(cè)，這樣的一對(duì)角叫同旁內(nèi)角。(U)4、這三種角只與位置有關(guān)，與大小無(wú)關(guān)。它們之間通常不存在固定的大小關(guān)系。5、補(bǔ)角、余角、對(duì)頂角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是對(duì)兩角來(lái)說(shuō)的六類角。6、余角、補(bǔ)角只有數(shù)量上的關(guān)系，與其位置無(wú)關(guān)；同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角只有位置上的關(guān)系，與其數(shù)量無(wú)關(guān)；對(duì)頂角既有數(shù)量關(guān)系，又有位置關(guān)系。7、平行線的判定方法包括：同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)、兩條直線都平行于第三條直線、兩條直線都垂直于第三條直線。8、平行線的性質(zhì)包括：同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)。9、平行線的判定和性質(zhì)具備互逆的特征，應(yīng)正確區(qū)分積極向上的題設(shè)和結(jié)論。10、尺規(guī)作圖是最基本、最常見(jiàn)的作圖方法，只用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)作圖。11、尺規(guī)作圖中直尺的功能是連接兩點(diǎn)間的線段和將線段向兩方延長(zhǎng)；圓規(guī)的功能是以任意一點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作一個(gè)圓或畫(huà)一段弧。12、應(yīng)熟練掌握作圖語(yǔ)言，如作射線、截取線段、畫(huà)弧等。13、在作較復(fù)雜圖形時(shí)，涉及基本作圖的地方，不必重復(fù)作圖的詳細(xì)過(guò)程，只用一句話概括敘述即可。14、自變量是指在函數(shù)關(guān)系中自主變化的變量，通常表示為x。15、因變量是指在函數(shù)關(guān)系中隨自變量變化而變化的變量，通常表示為y。變量之間的關(guān)系有多種表達(dá)方法，其中包括表格法、關(guān)系式法和圖象法。在變化過(guò)程中，不斷變化的量稱為變量。如果一個(gè)變量y隨著另一個(gè)變量x的變化而變化，則x被稱為自變量，y被稱為因變量。自變量是先發(fā)生變化的量，而因變量是后發(fā)生變化的量。自變量是主動(dòng)發(fā)生變化的量，而因變量是隨著自變量的變化而發(fā)生變化的量。通過(guò)具體情境來(lái)理解兩者的依存關(guān)系。表格是表達(dá)和反映數(shù)據(jù)的一種重要形式，可用于獲取信息和研究不同量之間的關(guān)系。在使用表格時(shí)，需要明確表格中所列的是哪兩個(gè)量，并分清哪一個(gè)量為自變量，哪一個(gè)量為因變量。同時(shí)，需要結(jié)合實(shí)際情境來(lái)理解它們之間的關(guān)系。繪制表格時(shí)，需要確定各行、各列的欄目，并在第一行列出自變量的各個(gè)變化取值，對(duì)應(yīng)列出因變量的各個(gè)變化取值。一般情況下，自變量的取值從左到右應(yīng)按由小到大的順序排列，以便反映因變量與自變量之間的關(guān)系。關(guān)系式是用含有自變量（用字母表示）的代數(shù)式表示因變量（也用字母表示）的數(shù)學(xué)式子。關(guān)系式的寫(xiě)法不同于方程，必須將因變量單獨(dú)寫(xiě)在等號(hào)的左邊?？梢酝ㄟ^(guò)將自變量和因變量看作兩個(gè)未知數(shù)，根據(jù)題意列出關(guān)于未知數(shù)的方程，并最終寫(xiě)成關(guān)系式的形式；或者根據(jù)表格中所列的數(shù)據(jù)、實(shí)際問(wèn)題中的基本數(shù)量關(guān)系或圖象寫(xiě)出變量之間的關(guān)系式。利用關(guān)系式，可以根據(jù)任何一個(gè)自變量的值求出相應(yīng)的因變量的值，也可以根據(jù)任何一個(gè)因變量的值求出相應(yīng)的自變量的值。求值的實(shí)質(zhì)是解一元一次方程（求自變量的值）或求代數(shù)式的值（求因變量的值）。圖象是刻畫(huà)變量之間關(guān)系的一種直觀、形象的方法。它能清楚地反映出因變量隨自變量變化而變化的情況。3、在圖象中，自變量通常用水平方向的數(shù)軸表示，因變量則用豎直方向的數(shù)軸表示。點(diǎn)的坐標(biāo)可以通過(guò)垂線的交點(diǎn)得到，從而求出自變量和因變量的值。理解圖象上點(diǎn)的意義需要看橫軸和縱軸分別表示哪個(gè)變量，以及該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的橫軸和縱軸的位置，同時(shí)還可以得到因變量隨自變量的變化趨勢(shì)。4、在速度圖象中，縱軸通常表示速度，橫軸表示時(shí)間。不同走向的線代表不同的速度變化情況，上升的線表示速度增加，水平的線表示勻速行駛或靜止，下降的線表示速度減小。5、在路程圖象中，縱軸通常表示路程，橫軸表示時(shí)間。不同走向的線代表不同的運(yùn)動(dòng)情況，上升的線表示勻速遠(yuǎn)離起點(diǎn)或已知定點(diǎn)，水平的線表示靜止，下降的線表示反向運(yùn)動(dòng)返回起點(diǎn)或已知定點(diǎn)。6、三種變量之間關(guān)系的表達(dá)方法包括表格法、關(guān)系式法和圖象法。表格法可以同時(shí)出現(xiàn)多個(gè)變量，關(guān)系式法可以準(zhǔn)確地反映數(shù)值關(guān)系，圖象法則可以直觀形象地表達(dá)變化趨勢(shì)。7、三角形是由不在同一條直線上的三條線段首尾相接組成的圖形，可以用符號(hào)“Δ”表示。三角形的內(nèi)角和定理、角平分線、中線、高線等是三角形中的重要概念和性質(zhì)。全等三角形的判定包括SSS、SAS、ASA和AAS，全等三角形可以應(yīng)用于測(cè)距離和作圖。組成三角形的三條線段叫做三角形的邊，分別用AB、BC、AC或a、b、c表示。頂點(diǎn)A所對(duì)的邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c來(lái)表示。三角形的三個(gè)內(nèi)角分別用∠A、∠B、∠C表示，它們的和為180度。三角形的三邊關(guān)系是任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。用字母表示為a+b>c，a+c>b，b+c>a，或者a-b<c，a-c<b，b-c<a。要判斷三條線段a、b、c能否組成三角形，需要滿足兩個(gè)條件：一是a+b>c，a+c>b，b+c>a同時(shí)成立，二是兩條較短線段之和大于最長(zhǎng)線段。確定第三邊（未知邊）的取值范圍時(shí)，它的取值范圍為大于兩邊的差而小于兩邊的和，即a-b<c<a+b。三角形的內(nèi)角和定理指出，三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180度。根據(jù)內(nèi)角的大小，三角形可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。直角三角形有一個(gè)內(nèi)角是90度，用“RtΔ”表示，其中直角∠C所對(duì)的邊AB稱為直角三角形的斜邊，夾直角的兩邊稱為直角三角形的直角邊。直角三角形的兩個(gè)銳角互余。判定一個(gè)三角形的形狀主要看三角形中最大角的度數(shù)。直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半。任意一個(gè)三角形都具備三邊關(guān)系和三內(nèi)角之和為180的性質(zhì)，即三角形都具備三條邊和三個(gè)內(nèi)角這六個(gè)元素。三角形的三條重要線段是角平分線、中線和高線。三角形的角平分線是指一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段。任意三角形都有三條角平分線，并且它們相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)。中線是連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，三角形有三條中線，它們相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)。高線是從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段。任意三角形都有三條高線，它們所在的直線相交于一點(diǎn)。已知“AA”，可以考慮兩種情況：A在三角形的任意一邊上，即“AAS”或“AAS”。二、三角形的穩(wěn)定性根據(jù)三角形全等的判定方法（SSS），只要三角形的三邊長(zhǎng)度確定，這個(gè)三角形的形狀和大小就完全確定了。這個(gè)性質(zhì)被稱為三角形的穩(wěn)定性。三、作三角形作圖題的一般步驟包括：已知條件具體化，具體敘述所作圖形應(yīng)滿足的條件，尋找作圖方法的途徑（通常是畫(huà)出草圖），根據(jù)分析所得的作圖方法，作出正式圖形，并依次敘述作圖過(guò)程。驗(yàn)證所作圖形的正確性通常省略不寫(xiě)。熟練掌握三種三角形的作法及依據(jù)：已知三角形的兩邊及其夾角，已知三角形的兩角及其夾邊，已知三角形的三邊。四、利用三角形全等測(cè)距離利用三角形全等測(cè)距離，實(shí)際上是利用已有的全等三角形，或構(gòu)造出全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)（對(duì)應(yīng)邊相等），把較難測(cè)量或無(wú)法測(cè)量的距離轉(zhuǎn)化成已知線段或較容易測(cè)量的線段的長(zhǎng)度，從而得到被測(cè)距離。運(yùn)用全等三角形解決實(shí)際問(wèn)題的步驟包括：先明確實(shí)際問(wèn)題應(yīng)該用哪些幾何知道解決，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出幾何圖形，結(jié)合圖形和題意分析已知條件，找到解決問(wèn)題的途徑。五、直角三角形全等的條件在直角三角形中，斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”。這個(gè)條件只適用于直角三角形，對(duì)非直角三角形不成立。書(shū)寫(xiě)時(shí)要規(guī)范，即在三角形前面必須加上“Rt”字樣。六、分析-綜合法解幾何題時(shí)，通常采用兩種解題方法：綜合法和分析法。綜合法從問(wèn)題的條件出發(fā)，通過(guò)分析條件，依據(jù)所學(xué)知識(shí)，逐步探索，直到得出問(wèn)題的結(jié)論。分析法從問(wèn)題的結(jié)論出發(fā)，不斷尋找使結(jié)論成立的條件，直至已知條件。在具體解題中，通常是兩種方法結(jié)合起來(lái)使用，既運(yùn)用綜合法，又運(yùn)用分析法。七、生活中的軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形在生活中隨處可見(jiàn)，例如對(duì)稱的花瓶、對(duì)稱的建筑物等。軸對(duì)稱圖形具有一些特殊性質(zhì)，例如鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，可以應(yīng)用于圖案設(shè)計(jì)、鑲邊和剪紙等方面。10、等腰三角形簡(jiǎn)寫(xiě)為“等邊對(duì)等角”，其中兩個(gè)底角相等。11、判定一個(gè)三角形為等腰三角形有兩種方法：（1）兩條邊相等；（2）兩個(gè)角相等，它們所對(duì)的邊也相等，簡(jiǎn)寫(xiě)為“等角對(duì)等邊”。六、等邊三角形1、等邊三角形是三邊都相等的三角形，又稱為正三角形，是最特殊的三角形。2、等邊三角形是底與腰相等的等腰三角形，因此具備等腰三角形的所有性質(zhì)。3、等邊三角形有三條對(duì)稱軸，分別是三角形的高、角平分線和中線所在的直線。4、等邊三角形的三邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都是60度。圖形定義性質(zhì)1、等腰三角形的兩腰相等，兩底角相等。2、頂角等于180度減去兩個(gè)底角之和，底角等于（180度減去頂角）除以2。3、相等的三角形滿足“三線合一”。4、等邊三角形具有三邊相等、三個(gè)內(nèi)角相等的性質(zhì)，又稱為正三角形。七、軸對(duì)稱的性質(zhì)1、兩個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折后，能夠重合的點(diǎn)稱為對(duì)稱點(diǎn)，能夠重合的線段稱為對(duì)應(yīng)線段，能夠重合的角稱為對(duì)應(yīng)角。2、關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形。3、如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分。4、如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角都相等。5、軸對(duì)稱圖形具有軸對(duì)稱點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分、對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形還可以由軸對(duì)