3.1兩角和與差的正弦、余弦 和正切公式3.1.1兩角差的余弦公式第三章三角恒等變換問題提出1.在三角函數(shù)中，我們學(xué)習(xí)了哪些基本的三角函數(shù)公式？2.對于30°，45°，60°等特殊角的三角函數(shù)值可以直接寫出，利用誘導(dǎo)公式還可進一步求出150°，210°，315°等角的三角函數(shù)值.我們希望再引進一些公式，能夠求更多的非特殊角的三角函數(shù)值，同時也為三角恒等變換提供理論依據(jù).3.若已知α，β的三角函數(shù)值，那么cos(α－β)的值是否確定？它與α，β的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？這是我們需要探索的問題.兩角差的余弦公式探究（一）：兩角差的余弦公式

思考1：設(shè)α，β為兩個任意角,你能判斷cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立嗎?cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°思考2計算下列式子的值，并根據(jù)這些式子的共同特征，寫出一個猜想.①cos45°cos45°＋sin45°sin45°＝

；②cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝

；③cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝

；猜想：cosαcosβ＋sinαsinβ＝

；思考3：一般地，你猜想cos(α－β)等于什么？cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ思考4：如圖，設(shè)α，β為銳角，且α＞β，角α的終邊與單位圓的交點為P1,∠P1OP＝β，那么cos(α－β)表示哪條線段長？MPP1Oxycos(α－β)=OM思考5：如何用線段分別表示sinβ和cosβ？PP1OxyAsinβcosβ思考6：cosαcosβ＝OAcosα，它表示哪條線段長？sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪條線段長？PP1OxyAsinαsinβcosαcosβBC思考7：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什么結(jié)論？sinαsinβcosαcosβPP1OxyABCMcos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβxyPP1MBOAC+11思考8：上述推理能說明對任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ成立嗎？思考9：根據(jù)cosαcosβ＋sinαsinβ的結(jié)構(gòu)特征，你能聯(lián)想到一個相關(guān)計算原理嗎？思考10：如圖，設(shè)角α，β的終邊與單位圓的交點分別為A、B，則向量、的坐標(biāo)分別是什么？其數(shù)量積是什么？BOAxyαβ思考11：向量的夾角θ與α、β有什么關(guān)系？根據(jù)數(shù)量積定義，等于什么？由此可得什么結(jié)論？BOAxyαβθcos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβOA·OB思考12：公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ稱為差角的余弦公式，記作,該公式有什么特點？如何記憶？類型一利用兩角差的余弦公式化簡求值例1計算：(1)cos(－15°)(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°類型二給值求值例2已知

是第三象限角，求

的值.類型三給值求角例3

已知cosα＝

，cos(α－β)＝

，且0<β<α<，求β的值.探究（二）：兩角差的余弦公式的變通

思考1：若已知α＋β和β的三角函數(shù)值，如何求cosα的值？

cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.思考2：利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？cosβ＝cos[(α－β)－α]＝cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα.思考3：若cosα＋cosβ＝a，sinα＋sinβ＝b，則cos(α－β)等于什么？思考4：若cosα－cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，則等cos(α－β)于什么？課堂小結(jié)2.數(shù)學(xué)思想方法