內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市初頭朗中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的s值為（[x]表示不超過×的最大整數(shù)）(

)(A)4

(B)5

(C)7

(D)9參考答案：C2.已知某程序框圖如圖所示，則執(zhí)行該程序后輸出的結(jié)果是（）A．49 B．50 C．99 D．100參考答案：D【考點】程序框圖．【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)計算變量i的值，并輸出不滿足條件退出循環(huán)條件時的a的值，模擬程序的運行，由題意利用裂項法解不等式，即可得解．【解答】解：模擬程序的運行，可得：i=++…=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=1﹣≥0.99，解得：a≥99，即當a=99+1=100時，不滿足條件i＜0.99，退出循環(huán)，輸出a的值為100．故選：D．3.設(shè)向量與的夾角為θ，且=(﹣2，1)，+2=(2，3)，則cosθ=（）A．﹣B． C． D．﹣參考答案：A【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【分析】由條件求得，=的坐標，再根據(jù)cosθ=計算求得它的值．【解答】解：∵向量與的夾角為θ，且，∴==（2，1），則cosθ===﹣，故選：A．4.在△ABC中，，，，則（

）A. B. C. D.參考答案：B依題意有，由余弦定理得，由正弦定理得.點睛：本題主要考查三角形面積公式，考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用.由于已知三角形的面積和三角形一個角和一條邊，首先根據(jù)三角形面積公式求出另一條邊，再根據(jù)余弦定理求出第三條邊，最后利用正弦定理求得相應(yīng)的比值.在解三角形的題目中往往正弦定理和余弦定理都需要考慮.5.已知向量、為單位向量，且在的方向上的投影為，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由，變形可得，再利用平面向量數(shù)量積公式，結(jié)合向量夾角的范圍可得結(jié)果.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，因為向量、為單位向量，且在的方向上的投影為，則有，變形可得：，即，又由，則，故選A．【點睛】本題主要考查向量的夾角及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.6.復(fù)數(shù)（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D由題得=,故選D.

7.已知雙曲線（，）的兩條漸近線與拋物線（）的準線分別交于，兩點，為坐標原點，若雙曲線的離心率為，的面積為，則的內(nèi)切圓半徑為．

．

．

．參考答案：．由，可得．由，求得，，所以．將代入，得，解得．所以，，則的三邊分別為，，，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由，解得．故選．【解題探究】本題考查雙曲線和拋物線的綜合應(yīng)用．求解這類問題關(guān)鍵是結(jié)合兩個曲線的位置關(guān)系，找到它們對應(yīng)的幾何量，然后利用圖形中的平面幾何性質(zhì)解答問題．8.的二項展開式的第三項為，則關(guān)于的函數(shù)圖像大致形狀為（

）參考答案：D略9.在△ABC中，若3cos（A﹣B）+5cosC=0，則tanC的最大值為（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣2參考答案：B【考點】兩角和與差的余弦函數(shù)．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】由題意可得3cos（A﹣B）﹣5cos（A+B）=0，展開化簡可得tanAtanB=，再利用基本不等式求得tan（A+B）≥，從而求得tanC的最大值．【解答】解：△ABC中，若3cos（A﹣B）+5cosC=0，即3cos（A﹣B）+5cos（π﹣A﹣B）=3cos（A﹣B）﹣5cos（A+B）=0，即3cosAcosB+3sinAsinB﹣5cosAcosB+5sinAsinB=0，故8sinAsinB=2cosAcosB，tanAtanB=，tanA+tanB≥2=1，∴tan（A+B）=≥=，則tanC=﹣tan（A+B）≤﹣，當且僅當tanA=tanB時，等號成立，故選：B．【點評】本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角和的正切公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．10.若函數(shù)（，，）在

一個周期內(nèi)的圖象如下圖所示，分別是這段圖象的最高點和最低點，且（為坐標原點），則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知兩定點A(－1，0)和B(1，0),動點在直線上移動，橢圓C以A，B為焦點且經(jīng)過點P，則橢圓C的離心率的最大值為

.參考答案：12.若數(shù)列{an}與{bn}滿足bn+1an+bnan+1=（﹣1）n+1，bn=，n∈N+，且a1=2，設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S63=__________．參考答案：560考點：數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由已知條件推導(dǎo)出bn=，an=，由此能求出S63．解答：解：∵，∴bn=，∵，∴當n為奇數(shù)時，an+2an+1=0，當n為偶數(shù)時，2an+an+1=2，∵a1=2，∴an=，∴S63=﹣=560故答案為：560．點評：本題考查數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查計算能力、推理論證能力、綜合發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力以及分類討論思想13.復(fù)數(shù)的實部是_______．參考答案：14.設(shè)直線與圓相交于A、B兩點，且弦長，則=________。參考答案：0略15.在中，分別為角的對邊，如果，，，那么

.參考答案：考點：解斜三角形，由正弦定理，所以16.sin18°?sin78°﹣cos162°?cos78°=．參考答案：【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】利用誘導(dǎo)公式，兩角差的余弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值化簡所求即可得解．【解答】解：sin18°?sin78°﹣cos162°?cos78°=sin18°?sin78°﹣cos?cos78°=sin18°?sin78°+cos18°?cos78°=cos（78°﹣18°）=cos60°=．故答案為：．17.已知函數(shù)則,則實數(shù)的值等于

. 參考答案：-3或1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖1，已知ABCD是上．下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸OO1折成直二面角，如圖2．（Ⅰ）證明：AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O﹣AC﹣O1的大?。畢⒖即鸢福骸究键c】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．【專題】計算題；證明題．【分析】本題可用兩種方法來解答：（解法一）（I）利用幾何體中的垂直關(guān)系建立空間直角坐標系，求?=0來證明垂直；（II）求平面OAC和平面O1AC的法向量，再求二面角O﹣AC﹣O1的平面角的余弦值．（解法二）（I）由題意知證出AO⊥平面OBCO1，再由給出的長度求出OC⊥BO1，由三垂線定理AC⊥BO1；（II）由（I）證出BO1⊥平面AOC，利用其垂直關(guān)系作出二面角O﹣AC﹣O1的平面角，在直角三角形中解．【解答】解：解法一（I）證明：由題設(shè)知OA⊥OO1，OB⊥OO1．∴∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB．故可以O(shè)為原點，OA、OB、OO1，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖3，則相關(guān)各點的坐標是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）O1（0，0，）．∴=（﹣3，1，），=（0，﹣3，），?=﹣3+?=0．∴AC⊥BO1．

（II）解：∵?=﹣3+?=0，∴BO1⊥OC，由（I）AC⊥BO1，∴BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一個法向量．設(shè)=（x，y，z）是平面O1AC的一個法向量，由?，取z=，得=（1，0，）．設(shè)二面角O﹣AC﹣O1的大小為θ，由、的方向知，cosθ=cos＜，＞==即二面角O﹣AC﹣O1的大小是arccos．

解法二（I）證明：由題設(shè)知OA⊥OO1，OB⊥OO1，∴∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB．則AO⊥平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1內(nèi)的射影．∵tan∠OO1B==，tan∠O1OC==，∴∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，則OC⊥BO1由三垂線定理得AC⊥BO1．

（II）解：由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC．設(shè)OC∩O1B=E，過點E作EF⊥AC于F，連接O1F（如圖4），則EF是O1F在平面AOC內(nèi)的射影，由三垂線定理得O1F⊥AC．∴∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角．由題設(shè)知OA=3，OO1=，O1C=1，∴O1A==2，AC==，∴O1F==，又O1E=OO1?sin30°=，∴sin∠O1FE==即二面角O﹣AC﹣O1的大小是arcsin．【點評】本題為一題多解的情況，一種是向量法，需要利用已有的垂直關(guān)系建立空間直角坐標系，向量的數(shù)量積來證垂直，求平面的法向量來求二面角的余弦值；另一種用垂直關(guān)系的定義和定理，三垂線定理來證明垂直，作出二面角O﹣AC﹣O1的平面角．向量法簡單．19.已知函數(shù)f（x）=ln（1+mx）+﹣mx，其中0＜m≤1．（1）當m=1時，求證：﹣1＜x≤0時，f（x）≤；（2）試討論函數(shù)y=f（x）的零點個數(shù)．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）將m=1代入函數(shù)表達式，通過討論函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論即可；（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍確定函數(shù)的零點即可．【解答】證明：（1）m=1時，令g（x）=f（x）﹣，（﹣1＜x≤0），則g′（x）=，當﹣1＜x≤0時，﹣x3≥0，1+x＞0，∴g′（x）≥0，g（x）遞增，∴g（x）≤g（0）=0，故f（x）≤①；解：（2）f′（x）=，②，令f′（x）=0，解得：x1=0或x2=m﹣，（i）m=1時，x1=x2=0，由②得f′（x）=③，∴x＞﹣1時，1+x＞0，x2≥0，∴f′（x）≥0，f（x）遞增，∴﹣1＜x＜0時，f（x）＜f（0）=0，x＞0時，f（x）＞f（0）=0，故函數(shù)y=f（x）在x＞﹣1上有且只有1個零點x=0；（ii）0＜m＜1時，m﹣＜0，且﹣＜m﹣，由②得：x∈（﹣，m﹣]時，1+mx＞0，mx＜0，x﹣（m﹣）≤0，此時，f′（x）≥0，同理得：x∈（m﹣，0]時，f′（x）≤0，x≥0時，f′（x）≥0，∴f（x）在（﹣，m﹣]，（0，+∞）遞增，在（m﹣，0]遞減，故m﹣＜x＜0時，f（x）＞f（0）=0，x＞0時，f（x）＞f（0）=0，∴f（x）在（m﹣，+∞）有且只有1個零點x=0，又f（m﹣）=lnm2﹣（m2﹣），構(gòu)造函數(shù)ω（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，則ω′（t）=④，易知：?t∈（0，1），ω′（t）≤0，∴y=ω（t）在（0，1）遞減，∴ω（t）＞?（1）=0，由0＜m＜1得：0＜m2＜1，∴f（m﹣）﹣ln（m2）﹣（m2﹣）＞0⑤，構(gòu)造函數(shù)k（x）=lnx﹣x+1（x＞0），則k′（x）=，0＜x＜≤1時，k′（x）≥0，x＞1時，k′（x）＜0，∴k（x）在（0，1]遞增，在（1，+∞）遞減，∴k（x）≤k（1）=0，∴l(xiāng)n≤﹣1＜+1，則＜m2，＜m﹣，∴﹣＜x＜時，m（1+mx）＜﹣﹣1⑥，而﹣mx＜x2﹣mx＜+1⑦，由⑥⑦得f（x）=ln（1+mx）+﹣mx＜﹣﹣1++1=0⑧，又函數(shù)f（x）在（﹣，m﹣]遞增，m﹣＞，由⑤⑧和函數(shù)零點定理得：?x0∈（﹣，），使得f（x0）=0，綜上0＜x＜＜1時，函數(shù)f（x）有2個零點，m=1時，f（x）有1個零點．20.已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，，且，,成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.

參考答案：解：（1）由題意，

………2分

即，解得或

……4分

由已知數(shù)列各項均為正數(shù)，所以，故…6分（2）………………10分

………………11分

……………………12分

略21.（12分）已知為實數(shù)，函數(shù)．

(Ⅰ)若函數(shù)的圖象上有與軸平行的切線，求的取值范圍；

(Ⅱ)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；參考答案：解析：(Ⅰ)∵，

∴．

∵函數(shù)的圖象上有與軸平行的切線，

∴有實數(shù)解．∴，∴．所求的取值范圍是．

(Ⅱ)∵，∴即.∴．

由，得或；

由，得．

因此，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為．22.（本小題滿分13分）已知函數(shù)（、均為正常數(shù)）．（1）證明函數(shù)在