幾種常見(jiàn)概率分布第1頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月主要內(nèi)容：第一節(jié)二項(xiàng)分布第二節(jié)泊松分布第三節(jié)正態(tài)分布

第2頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、貝努利試驗(yàn)及其概率公式（一）獨(dú)立試驗(yàn)和貝努利試驗(yàn)對(duì)于n次獨(dú)立的試驗(yàn)，如果每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)且只出現(xiàn)對(duì)立事件

與之一;在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)A的概率是常數(shù)p（0<p<1）,因而出現(xiàn)對(duì)立事件的概率是1-p=q,則稱(chēng)這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)貝努利試驗(yàn)。第一節(jié)二項(xiàng)分布（Binomialdistribution）第3頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（二）二項(xiàng)分布的概率在貝努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生x次的概率恰好等（q+p）n二項(xiàng)展開(kāi)式中的第x+1項(xiàng)，因此也將稱(chēng)作二項(xiàng)概率公式。二、二項(xiàng)分布的意義及其性質(zhì)（一）定義設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為零和正整數(shù)：0,1,2,…,n,且有

（其中p>0,q>0,p+q=1）,則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記為第4頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二項(xiàng)分布

n=10,p=0.5第5頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二項(xiàng)分布

n=10,p=0.1第6頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（二）二項(xiàng)分布的性質(zhì)二項(xiàng)分布是一種離散型隨機(jī)變量的概率分布，由n和p兩個(gè)參數(shù)決定，參數(shù)n稱(chēng)為離散參數(shù)，只能取正整數(shù)；p是連續(xù)參數(shù)，取值為0與1之間的任何數(shù)值。

二項(xiàng)分布具有概率分布的一切性質(zhì)，即：

（x=0,1,2,…,n）

二項(xiàng)分布的概率之和等于1，即：第7頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上面是二項(xiàng)分布概率的基本性質(zhì)；是我們?cè)谶\(yùn)算中經(jīng)常要根據(jù)題目要求運(yùn)算時(shí)要應(yīng)用到的，要注意理解。二項(xiàng)分布的性質(zhì)第8頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、二項(xiàng)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差

統(tǒng)計(jì)學(xué)證明，服從二項(xiàng)分布B(n,p)的隨機(jī)變量之平均數(shù)μ、標(biāo)準(zhǔn)差σ與參數(shù)n、p有如下關(guān)系：

第9頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、二項(xiàng)分布的概率計(jì)算及其應(yīng)用條件（一）概率計(jì)算

二項(xiàng)分布的概率計(jì)算，可以直接利用二項(xiàng)概率公式進(jìn)行。把時(shí)間A發(fā)生的次數(shù)k代入公式即可求得對(duì)應(yīng)的概率。[例]

有一批種蛋，其孵化率為0.85，今在該批種蛋中任選6枚進(jìn)行孵化，試給出孵化出小雞的各種可能情況的概率。這個(gè)問(wèn)題屬于貝努里模型，其中，孵化6枚種蛋孵出的小雞數(shù)x服從二項(xiàng)分布.其中x的可能取值為0，1，2，3，4，5，6。第10頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月思考：求至少孵出3只小雞的概率是多少？孵出的小雞數(shù)在2-5只之間的概率是多大？其中：第11頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)用條件：n個(gè)觀察單位的觀察結(jié)果互相獨(dú)立;

各觀察單位只具有互相對(duì)立的一種結(jié)果，如陽(yáng)性或陰性，生存或死亡等，屬于二項(xiàng)分類(lèi)資料。

已知發(fā)生某一結(jié)果(如死亡)的概率為p，其對(duì)立結(jié)果的概率則為1-P=q，實(shí)際中要求p是從大量觀察中獲得的比較穩(wěn)定的數(shù)值。第12頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)泊松分布Possiondistribution

泊松分布是一種可以用來(lái)描述和分析隨機(jī)地發(fā)生在單位空間或時(shí)間里的稀有事件的分布。所謂稀有事件即為小概率事件。要觀察到這類(lèi)事件，樣本含量n必須很大。在生物、醫(yī)學(xué)研究中，服從泊松分布的隨機(jī)變量是常見(jiàn)的。由于泊松分布是描述小概率事件的，二項(xiàng)分布中p很小，n很大時(shí)，可使用泊松分布第13頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月泊松分布常用于描述在某一指定時(shí)間內(nèi)或在某一指定范圍內(nèi)，源源不斷出現(xiàn)的稀有事件個(gè)數(shù)的分布。例如，120急救中心每天接到要求服務(wù)的呼叫次數(shù)；每天到達(dá)機(jī)場(chǎng)的飛機(jī)數(shù)；在早上（7：00–8：00）交通高峰期間通過(guò)某一道口的機(jī)動(dòng)車(chē)數(shù)；紡織品在單位面積上的疵點(diǎn)數(shù)等等。第14頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、泊松分布的意義（一）定義

若隨機(jī)變量X(X=x)只取零和正整數(shù)值，且其概率分布為

其中x=0，1，…；μ＞0;e=2.7182…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為μ的泊松分布記為X～P(μ)。（二）特征泊松分布作為一種離散型隨機(jī)變量的概率分布有一個(gè)重要的特征。這就是它的平均數(shù)和方差相等，都等于常數(shù)μ

，即μ=σ2=μ

。利用這一特征，可以初步判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從泊松分布第15頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月泊松分布μ

=4第16頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、泊松分布的概率計(jì)算

μ是泊松分布所依賴(lài)的唯一參數(shù)。泊松分布的概率計(jì)算，只要參數(shù)μ確定了，問(wèn)題就解決了。把x=0,1,2,…代入公式即可求得各項(xiàng)的概率。

但是在大多數(shù)服從泊松分布的實(shí)例中，分布參數(shù)μ往往是未知的，只能從所觀察的隨機(jī)樣本中計(jì)算出相應(yīng)的樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值。第17頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月[例]我們調(diào)查了200個(gè)奶牛場(chǎng)，統(tǒng)計(jì)各場(chǎng)某10年內(nèi)出現(xiàn)的怪胎（如缺皮癥，全身無(wú)毛等）的頭數(shù)，然后以怪胎頭數(shù)把200個(gè)奶牛場(chǎng)分類(lèi)，統(tǒng)計(jì)每類(lèi)中奶牛場(chǎng)數(shù)目，結(jié)果如下：試研究10年內(nèi)母牛怪胎數(shù)的概率分布。10年內(nèi)母牛產(chǎn)怪胎次數(shù)（m）01234總計(jì)奶牛場(chǎng)數(shù)（f）109652231200第18頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月先假設(shè)母牛產(chǎn)怪胎數(shù)的概率分布為泊松分布。根據(jù)觀察結(jié)果計(jì)算每一奶牛場(chǎng)10年內(nèi)母牛產(chǎn)怪胎的平均數(shù)，根據(jù)加權(quán)法可得：用=0.61估計(jì)μ

，代入計(jì)算當(dāng)m=0,1,2,3,4時(shí)的概率和理論次數(shù)怪胎數(shù)（m）01234總計(jì)實(shí)際次數(shù)（f）109652231200概率（理論）0.54340.33140.10110.02060.00310.9996理論次數(shù)108.6866.2820.224.120.62199.92第19頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月下面我們?cè)賮?lái)證實(shí)我們所得的資料是否具有泊松分布的特征。已經(jīng)計(jì)算出=0.61，樣本方差計(jì)算如下，

與很接近，這正是泊松分布所具有的特征第20頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、正態(tài)分布的定義及其特征（一）定義

若連續(xù)性隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為：

其中，μ為平均數(shù)，σ2

為方差，則稱(chēng)隨機(jī)變量χ服從正態(tài)分布,記為χ～N(μ,σ2).相應(yīng)的概率分布函數(shù)為第三節(jié)正態(tài)分布normaldistribution第21頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（二）特征正態(tài)分布密度曲線是以χ=μ

為對(duì)稱(chēng)軸的單峰、對(duì)稱(chēng)的懸鐘形；f(x)在χ=μ處達(dá)到極大值,極大值為f(x)是非負(fù)數(shù)，以x軸為漸進(jìn)線；曲線在χ±

σ處各有一個(gè)拐點(diǎn)；正態(tài)分布密度函數(shù)曲線

第22頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ。μ是位置參數(shù)，σ是變異度參數(shù)。分布密度曲線與橫軸所夾的面積為1，即：正態(tài)分布密度函數(shù)曲線

特征第23頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

μ相同而σ不同的三個(gè)正態(tài)總體

σ相同而μ不同的三個(gè)正態(tài)總體特征第24頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布standardnormaldistribution（一）定義

由于正態(tài)分布是依賴(lài)于參數(shù)

μ和（或σ）的一簇分布，造成研究具體正態(tài)總體時(shí)的不便。因此將一般的(μ,σ2)轉(zhuǎn)換為μ=0,σ2=1的正態(tài)分布，則稱(chēng)μ=0,σ2=1的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)如下：若隨機(jī)變量U服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作U～(0,1)第25頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)

第26頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（二）標(biāo)準(zhǔn)化的方法

對(duì)于任何一個(gè)服從正態(tài)分布(μ,σ2)的隨機(jī)變量X

，都可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化變換：u=(χ-μ)/σ即減平均數(shù)后再除以標(biāo)準(zhǔn)差，將其變換為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。對(duì)不同的u及P(U<u)值編成函數(shù)表，稱(chēng)為正態(tài)分布表，從中可以查到任意一個(gè)區(qū)間內(nèi)曲線下的面積，即為概率。第27頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)

第28頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、正態(tài)分布的概率計(jì)算（一）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算

設(shè)U服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則u落在u1,u2]內(nèi)的概率第29頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)熟記的幾種標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率第30頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（二）一般正態(tài)分布的概率計(jì)算

將區(qū)間的上下限標(biāo)準(zhǔn)化，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量χ落在〔χ1,χ2〕內(nèi)的概率，等于服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量μ落在的概率。然后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率表[例]

若χ服從μ=30.26,σ2=5.102的正態(tài)分布，試求P(21.64≦x﹤32.98)。令u=(χ-30.26)/5.10,則u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故第31頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（三）雙側(cè)（兩尾）概率與單側(cè)（一尾）概率

隨機(jī)變量x落在平均數(shù)加減不同倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間之外的概率稱(chēng)為雙側(cè)概率（兩尾概率），記作α

對(duì)應(yīng)于雙側(cè)概率可以求得隨機(jī)變量x小于μ-kσ或大于μ+kσ的概率，稱(chēng)為單側(cè)概率（一尾概率），記作α/2

如x落在(μ-1.96σ,μ+1.96σ)之外的雙側(cè)概率為0.05，而單側(cè)概率為0.025。即第32頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)雙側(cè)分位數(shù)的查法：附表3①標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布②③正態(tài)分布密度函數(shù)曲線

第33頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例假設(shè)，求下列概率：1.；2.；3.；4.。解1.2.3.4.

第34頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系如果，則于是，在正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度f(wàn)(x)和φ(u)、分布函數(shù)F(x)和Φ(u)之間存在下列關(guān)系式：這就是說(shuō)，計(jì)算任一正態(tài)分布隨機(jī)變量的概率都能通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來(lái)實(shí)現(xiàn)。第35頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布的應(yīng)用正態(tài)分布在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究及應(yīng)用中具有極其重要的作用，它在各種概率分布中居首要地位，是抽樣和抽樣分布的理論基礎(chǔ)。這是因?yàn)椋?.客觀世界的許多現(xiàn)象都可以利用正態(tài)分布來(lái)近似地描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。例如，人的身高和體重等，都可以看作是具有“兩頭小，中間大”分布特征的隨機(jī)變量，一般可以認(rèn)為是近似服從正態(tài)分布的。2.正態(tài)分布是許多重要分布的極限分布。例如可以用正態(tài)分布來(lái)近似二項(xiàng)分布。3.正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)推斷中有重要的應(yīng)用。例如t分布，F(xiàn)分布和分布都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的函數(shù)。第36頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、三種重要的概率分布之間的關(guān)系前面討論的三個(gè)重要的概率分布中，前兩個(gè)概率分布屬離散型的，后一個(gè)屬連續(xù)型的。三者間的關(guān)系綜述如下：

對(duì)于二項(xiàng)分布，在n→∞,p→0