固體電子物理第1頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月固體電子理論電子理論自由電子理論能帶理論恒定勢場周期性勢場經(jīng)典電子理論量子電子理論（索末菲（Sommerfeld）模型）(德魯?shù)拢―rude）模型)→半導體理論第2頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.1金屬的自由電子理論

一、經(jīng)典自由電子理論特魯?shù)掳牙硐霘怏w的動力學理論運用于自由電子氣，得出自由電子的平均能量

實驗表明，在室溫下金屬的熱容恒接近于3R，也就是說熱容全部是由晶格所貢獻。精確的實驗還指出，每個電子對熱容的貢獻要比3/2kB小兩個數(shù)量級。金屬中自由電子起著電和熱的傳導作用，對熱容卻幾乎沒有貢獻，這是經(jīng)典自由電子理論無法解釋的主要困難之一。每摩爾金屬所含自由電子的內(nèi)能

在室溫下，一價金屬的摩爾定容熱容每摩爾電子對定容熱容的貢獻第3頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月固體電子理論二、量子自由電子理論

1.自由電子的能量狀態(tài)金屬中的自由電子就像是在三維無限深勢阱中運動的粒子。設金屬是邊長為L的立方體，體積。電子的勢能函數(shù)可寫為：（1）（2）在方箱內(nèi)，電子的薛定諤方程為：第4頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月固體電子理論（3）（4）采用分離變量法，令電子的能量E可寫為上式中k是自由電子波矢的模，kx、ky、kz是波矢的三個分量。將波函數(shù)Ψ（x,y,z）和能量E的表達式代入式(2)，可得到三個方程式：

第5頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月（5）方程（4）的解由周期性邊界條件，可得（6）同理可得

電子的波函數(shù)

（7）第6頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月固體電子理論（8）由歸一化條件，可得

電子能量由波函數(shù)的統(tǒng)計解釋知道，在金屬中發(fā)現(xiàn)電子的幾率與波函數(shù)的模方成正比。波函數(shù)的模方結果表明，電子在金屬中各處出現(xiàn)的幾率一樣，電子是自由的。金屬中自由電子的能量依賴于一組量子數(shù)(nx,ny,nz),能量E是不連續(xù)的，只能取一系列分立的值，這些分離的能量稱為能級。第7頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月電子波函數(shù)(7)式是行進的平面波，波矢k只能具有確定的分立值。每一組許可的k值(kx,ky,kz)或量子數(shù)(nx,ny,nz),確定了電子的一個可能的空間運動狀Ψ(r)。處于這個狀態(tài)中的電子沿k方向運動，具有確定的動量和確定的速度，并對應著一定的能量。這種由波矢k所代表的自由電子可能的空間運動狀態(tài)稱為空間電子態(tài)。在以kx,ky,kz為坐標軸的空間(通常稱為波矢空間或k空間)，每一電子態(tài)可用一個點來代表，點的坐標由式(6)確定。波矢空間（k-空間）O二維波矢空間中的電子態(tài)分布

沿kx軸和ky軸相鄰兩個代表點的間距為。第8頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月固體電子理論單位體積中包含的k的點數(shù)（狀態(tài)密度）為所以在的體積元中包含的狀態(tài)數(shù)為：每個波矢狀態(tài)可容納自旋相反的兩個電子，則體積元可容納的電子數(shù)：2.自由電子的能級密度

在三維波矢空間中，每一個電子態(tài)平均占據(jù)的k空間體積為第9頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月固體電子理論所以在k標度下的電子態(tài)密度（狀態(tài)密度）為：自由電子的能量為：由上可以看出在k空間中，自由電子能量等于某個定值的曲面是一個球面，其半徑是：

在能量E→E+dE之間的區(qū)域，就是半徑為k和k+dk的兩個球面之間的球殼層，體積是4πk2dk,對應的狀態(tài)數(shù)目：第10頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月固體電子理論利用關系式得電子態(tài)密度（能級密度）其中

由上式可知，隨著能量增加，其狀態(tài)密度增大，而且與能量成的關系，見右圖。第11頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月固體電子理論3.費米能量電子氣體服從泡利不相容原理和費米—狄拉克統(tǒng)計規(guī)律熱平衡下時，能量為E的本征態(tài)被電子占據(jù)的幾率——費米分布函數(shù)EF：費米（Feimi）能量或化學勢，體積不變條件下系統(tǒng)增加一個電子所需的自由能。第12頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月固體電子理論1)

T>0K時電子填充能量E＝EF幾率第13頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月固體電子理論2)

T＝0K時3)在較低溫度時，分布函數(shù)在E＝EF處發(fā)生很大變化第14頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月固體電子理論

k空間的費米面E＝EF

T＝0K時費米面內(nèi)所有狀態(tài)均被電子占有T≠0K費米能量降低，一部分電子被激發(fā)到費米面外附近第15頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月固體電子理論E～E+dE之間狀態(tài)數(shù)E～E+dE之間的電子數(shù)電子總數(shù)為：取決于費米統(tǒng)計分布函數(shù)第16頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月固體電子理論總的電子數(shù)a)T＝0K時的費米能量電子濃度第17頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月固體電子理論結論：在絕對零度下，電子仍具有相當大的平均能量。電子滿足泡利不相容原理，每個能量狀態(tài)上只能容許兩個自旋相反的電子。所有的電子不可能都填充在最低能量狀態(tài)。T＝0K時電子的平均能量——平均動能第18頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月固體電子理論總的電子數(shù)對上式進行分步積分,得b)T≠0K時的費米能量上式第一項等于零第19頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月固體電子理論當時，只有在EF附近有較大的值令把在E＝EF附近用泰勒級數(shù)展開，最終可得得溫度升高費米能級下降由前面可知第20頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月固體電子理論T≠0K時,電子的平均能量

由上式可以看出，在一般溫度時，每個電子的平均能量與0K時電子的平均能量相差的數(shù)量級。4.金屬的熱容第21頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月固體電子理論電子對熱容的貢獻:在T≠0K時則1mol電子對熱容的貢獻為：第22頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月固體電子理論晶格振動對熱容的貢獻：德拜溫度則由上可知，隨著溫度降低，增大因此只有當溫度很低時才考慮電子對熱容的貢獻?？偟臒崛轂椋旱?3頁，課件共24頁，創(chuàng)