復(fù)變函數(shù)與積分變換第五章留數(shù)第1頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章留數(shù)§5.2留數(shù)§5.1孤立奇點§5.3留數(shù)定理及其應(yīng)用第2頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月主要內(nèi)容本章介紹孤立奇點的概念、分類及其判別；留數(shù)的概念；孤立奇點處留數(shù)的計算；并將其應(yīng)用于實函數(shù)積分的計算.第3頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.1孤立奇點一、引言二、零點三、孤立奇點四、孤立奇點的分類五、如何進行孤立奇點的分類第4頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月回顧復(fù)積分的計算方法：（4）柯西-古薩基本定理：（5）Cauchy積分公式（6）Cauchy高階導(dǎo)數(shù)公式一、引言第5頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月問題：如何轉(zhuǎn)化成含有的形式？一、引言

本章重點解決閉路積分問題。

如圖，考慮積分

DrCG(1)若在

G

上連續(xù)，在

D

上解析，則(2)若在

D

上有唯一的奇點此時第6頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月一、引言

本章重點解決閉路積分問題。

DrC如圖，考慮積分

(1)若在

G

上連續(xù)，在

D

上解析，則(2)若在

D

上有唯一的奇點則此時，將函數(shù)在點的鄰域內(nèi)進行洛朗展開，由則積分“不難?

”得到。G第7頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月則稱為的零點；(1)若

所謂函數(shù)的零點就是方程的根。定義設(shè)函數(shù)在處解析，(2)若在

處解析且則稱為的

m

階零點。二、零點P81定義

5.3

第8頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月二、零點

定理設(shè)函數(shù)在處解析，則下列條件是等價的：(1)為的m階零點。(2)其中，(3)在內(nèi)的泰勒展開式為充要條件(如何判斷零點的階數(shù)?

)(進入證明?)第9頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月其中，二、零點

充要條件(如何判斷零點的階數(shù)?

)定理設(shè)函數(shù)在處解析，則下列條件是等價的：(1)為的m階零點。(2)(3)在內(nèi)的泰勒展開式為收斂且解析第10頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月是的三階零點。是的三階零點。方法一

方法二

第11頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月三、孤立奇點鄰域內(nèi)解析，則稱

為

孤立奇點。使得在去心且存在定義設(shè)為的奇點，例為孤立奇點。例原點及負實軸上的點均為奇點，但不是孤立奇點。P79定義

5.1

第12頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月例(1)令為孤立奇點；(2)也是奇點，但不是孤立奇點。鄰域內(nèi)解析，則稱

為

孤立奇點。使得在去心定義設(shè)為的奇點，且存在三、孤立奇點第13頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月xyo這說明奇點未必是孤立的.函數(shù)的實部注:若函數(shù)的奇點個數(shù)有限，則每一奇點都是孤立奇點.第14頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月四、孤立奇點的分類

根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點的去心鄰域的洛朗級數(shù)對奇點分類

將在內(nèi)定義設(shè)為的孤立奇點，展開為洛朗級數(shù)：(1)若有則稱為的可去奇點。(

即不含負冪次項

)P79

第15頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月四、孤立奇點的分類

根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點的去心鄰域的洛朗級數(shù)對奇點分類

定義將在內(nèi)設(shè)為的孤立奇點，展開為洛朗級數(shù)：則稱為的

N階極點；(

即含有限個負冪次項

)(2)若有且有特別地，當時，稱為的簡單極點。第16頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月四、孤立奇點的分類

根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點的去心鄰域的洛朗級數(shù)對奇點分類

定義將在內(nèi)設(shè)為的孤立奇點，展開為洛朗級數(shù)：(

即含無限個負冪次項

)(3)若有則稱為的本性奇點。第17頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月四、孤立奇點的分類

根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點的去心鄰域的洛朗級數(shù)對奇點分類

定義將在內(nèi)設(shè)為的孤立奇點，展開為洛朗級數(shù)：小結(jié)(1)可去奇點

不含負冪次項；(2)N階極點

含有限多的負冪次項,且最高負冪次為

N；

(3)本性奇點

含有無窮多的負冪次項?？扇テ纥c本性奇點N階極點第18頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月可去奇點本性奇點N階極點五、如何進行孤立奇點的分類定理

若z0為f(z)的孤立奇點，則下列條件等價：可去奇點的判定方法第19頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月(不含負冪次項)解是的奇點，由是的可去奇點。可知，將在的去心鄰域展成洛朗級數(shù)，有或如果約定在點的值為

1，則在點就解析了，因此稱為的可去奇點。第20頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月定理若z0為f(z)的孤立奇點，則下列條件等價（都是N階極點的特征）：(iii)z0是的N階零點.(可去奇點作為解析點看)N階極點的判定方法第21頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月定理若z0為f(z)的孤立奇點，則z0為f(z)的極點的充要條件是與不存在極限的區(qū)別定理

若零點，則(1)當時，(2)當時，即為的可去奇點。為的

(n-m)

階極點。且為的

n

階零點，為

的

m階第22頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月(含有限個負冪次項，且最高負冪次為

2

)解是的奇點，由是的極點?？芍?，將在的去心鄰域內(nèi)展成洛朗級數(shù)，有注可見，為的二階極點。第23頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月本性奇點的判定方法定理

z0為f(z)的本性奇點第24頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月解是的奇點，考察極限是的本性奇點。因此，將在的去心鄰域內(nèi)展成洛朗級數(shù)，有注(含無窮多個負冪次項)由不存在且不為可知，第25頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月是的一階極點。判斷函數(shù)的奇點的類型。例是的二階極點。解由于是的可去奇點，故解由于是的一階極點，故第26頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月由于是的四階零點，解故是的二階極點。將在的去心鄰域內(nèi)展成洛朗級數(shù)，有因此，為的二階極點。注直接利用洛朗級數(shù)來判斷奇點類型的方法最好也能夠掌握

且是的二階零點，第27頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月總結(jié):孤立奇點可去奇點N階極點本性奇點Laurent級數(shù)的特點存在且為有限值不存在且不為無負冪項含無窮多個負冪項含有有限個負冪項關(guān)于的最高冪為第28頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)第29頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月一、引言

本章重點解決閉路積分問題。

DrC如圖，考慮積分

(1)若在

G

上連續(xù)，在

D

上解析，則(2)若在

D

上有唯一的奇點則此時，將函數(shù)在點的鄰域內(nèi)進行洛朗展開，由則積分“不難?

”得到。G第30頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.2留數(shù)一留數(shù)的概念二留數(shù)的計算方法第31頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月0(高階導(dǎo)數(shù)公式)0(柯西-古薩基本定理)5.2留數(shù)第32頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月一、留數(shù)的概念將在的去心鄰域設(shè)為函數(shù)的孤立奇點，定義稱為在處的留數(shù)，記作：內(nèi)展開成洛朗級數(shù)：(兩邊積分)其中，C是的去心鄰域內(nèi)繞的一條簡單閉曲線。P83定義

5.6

(留數(shù)的產(chǎn)生)第33頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月而且在使用該方法時，并不需要知道奇點的類型。

二、留數(shù)的計算方法若為的可去奇點，方法1.可去奇點若為的本性奇點，方法2.本性奇點則“只好”

將在的去心鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)。(1)在具體展開的時候，并不需要寫出

“完整”

的洛朗級數(shù)，

注只需將其中負一次冪的系數(shù)求出來就可以了。

(2)對于不是本性奇點的情況，該方法有時也是很有效的，

則第34頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)若為的簡單極點，特別則(2)若且

在

點解析，則

P84法則3二、留數(shù)的計算方法3.極點方法(法則)若為的

m

階極點，P84法則2

第35頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月是的可去奇點，解(1)和均為的一階極點，(2)第36頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月(羅比達法則)

是的三階極點，解(1)為的二階極點，(2)第37頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月是的本性奇點，解將在的去心鄰域內(nèi)洛朗展開，有第38頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月方法一

利用洛朗展式求留數(shù)

解將在的去心鄰域展開，得第39頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月由于是三階極點，解方法二

利用極點的留數(shù)計算法則求解

(羅比達法則)

因此有(好麻煩!)

第40頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月解方法二

利用極點的留數(shù)計算法則求解

若

“不幸”

將判斷成了的六階極點，

巧合?(非也!)第41頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月如果為的階極點,取正整數(shù)法則4那么注(1)此類函數(shù)求留數(shù)，可考慮利用洛朗展式。

(2)若此類函數(shù)求閉路積分，則可考慮利用高階導(dǎo)公式，而不一定非得使用后面即將介紹的留數(shù)定理。

第42頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.3留數(shù)定理及其應(yīng)用一留數(shù)定理二留數(shù)在定積分計算中的應(yīng)用第43頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月DC…一、留數(shù)定理處處解析，且連續(xù)到邊界

C

，定理設(shè)在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點外注意只需計算積分曲線

C

所圍成的有限區(qū)域內(nèi)奇點的留數(shù)。如圖，將孤立奇點用含于

D

內(nèi)且證明互不重疊的圓圈包圍起來，根據(jù)復(fù)合閉路定理有則P86定理

5.7

第44頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月利用留數(shù)定理計算復(fù)圍線積分的步驟：1明確積分曲線及內(nèi)部奇點2確定奇點類型,計算留數(shù)3應(yīng)用留數(shù)定理,求積分第45頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月解被積函數(shù)在內(nèi)有兩個奇點：可去奇點一階極點第46頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月解被積函數(shù)在內(nèi)有兩個奇點：一階極點二階極點第47頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月解方法一

利用極點的留數(shù)計算法則求解

(羅比達法則)為被積函數(shù)的二階極點，方法二利用高階導(dǎo)數(shù)公式求解

第48頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月方法三

利用洛朗展式求解解將被積函數(shù)在的去心鄰域展開，第49頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月極點z=3在的外部.分別是f(z)的3級和1級極點,都在的內(nèi)部.而練習計算積分其中C是的正向.記顯然z=0和z=1第50頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月于是，根據(jù)留數(shù)基本定理第51頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

在高等數(shù)學中，以及許多實際問題中，往往要求計算出一些定積分或反常積分的值，而這些積分中的被積函數(shù)的原函數(shù)，不能用初等函數(shù)表示出來；例如或者有時可以求出原函數(shù)，但計算也往往非常復(fù)雜，例如

二、留數(shù)在定積分計算中的應(yīng)用第52頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)留數(shù)定理，用留數(shù)來計算定積分是計算定積分顯得有用。即使尋常的方法可用，如果用留數(shù)，也往往首先，被積函數(shù)必須要與某個解析函數(shù)密切相關(guān)。這一的一個有效措施，特別是當被積的原函數(shù)不易求得時更感到很方便。當然這個方法的使用還受到很大的限制。點，一般講來，關(guān)系不大，因為被積函數(shù)常常是初等函數(shù)，而初等函數(shù)是可以推廣到復(fù)數(shù)域中去的。其次，定積分的積分域是區(qū)間，而用留數(shù)來計算要牽涉到把問題化為沿閉曲線的積分。這是比較困難的一點。下面來闡述怎樣利用復(fù)數(shù)求某幾種特殊形式的定積分的值。第53頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月二、留數(shù)在定積分計算中的應(yīng)用1、形如的積分2、形如的積分3、形如的積分第54頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月思想方法:封閉路線的積分.兩個重要工作:1)積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化2)被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化把定積分化為一個復(fù)變函數(shù)沿某條第55頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月1、形如的積分方法(1)令則要求是

u,

v

的有理函數(shù)，即是以

u,

v

為變量的二元多項式函數(shù)或者分式函數(shù)。第56頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月方法即是以

u,

v

為變量要求是

u,

v

的有理函數(shù)，1、形如的積分的二元多項式函數(shù)或者分式函數(shù)。其中，是在內(nèi)的孤立奇點。(2)1.被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化2.積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化第57頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月例

計算積分解積分可以轉(zhuǎn)化為在復(fù)平面內(nèi)有兩個零點:在高等數(shù)學中此積分一般是采用萬能代換求解.下面用復(fù)變函數(shù)的方法求解該題.第58頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月由于因此從而被積函數(shù)1級極點z1.所以在單位圓周內(nèi)只有一個第59頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月其中，P(x)

,Q(x)為多項式；(2)分母

Q(x)的次數(shù)比分子P

(x)的次數(shù)至少高二次；(3)分母Q(x)無實零點。推導(dǎo)(略)

其中，是在上半平面內(nèi)的孤立奇點。要求(1)方法2、形如的積分(進入推導(dǎo)?)第60頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月2.積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:在上半平面取一條分段光滑的曲線,使其與實軸的一部分構(gòu)成一條簡單閉曲線,包含f(z)在上半平面的所有有限孤立奇點，并使f(z)在其內(nèi)部除去這種方法稱為圍道積分法.1.被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:當z在實軸上時,f(z)=f(x).f(x)f(z)有限孤立奇點外處處解析.第61頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

(1)令解(2)(3)在上半平面內(nèi)，i與3i為一階極點。第62頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3、形如的積分(2)分母

Q(x)的次數(shù)比分子P

(x)的次數(shù)至少高一次；(3)分母Q(x)無實零點。其中，是在上半平面內(nèi)的孤立奇點。其中，P(x)

,Q(x)為多項式；要求(1)方法第63頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月即：第64頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

在上半平面內(nèi)，1+3

i為一階極點。(1)令解(2)第65頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)(2)第66頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月留數(shù)計算方法留數(shù)定理留數(shù)在定積分計算中的應(yīng)用本章內(nèi)容總結(jié)第67頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月1.留數(shù)的計算3.留數(shù)在定積分計算中的應(yīng)用本章的重點2.留數(shù)定理及在復(fù)變函數(shù)積分中的應(yīng)用第68頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月第四章完第69頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月KarlWeierstrass(1815.10.31-1897.2.19)德國數(shù)學家.曾在波恩大學學習法律,1838年轉(zhuǎn)學數(shù)學.后來成為中學教師,不僅教數(shù)學、物理,還教寫作和體育,在這期間刻苦進行數(shù)學研究.1856年到柏林大學任教,1864年成為教授.Weierstrass是將嚴格的論證引入分析學的一位大師,他發(fā)現(xiàn)了處處不可微的連續(xù)函數(shù),與其他一些數(shù)學家一起共同結(jié)束了分析學的混亂局面.第70頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月EugeneRouche(1832.8.18-1910.8.19)法國數(shù)學家.在分析學和代數(shù)學方面均有貢獻.1862年發(fā)表了Rouche定理.1875年曾發(fā)表文章證明了線性方程組存在解的系數(shù)矩陣秩準則.第71頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月附：留數(shù)(Residu)的產(chǎn)生

柯西在“求沿著兩條有相同起點與終點且包圍著

函數(shù)極點的路徑積分之差”時得到了這個概念。這也是使用該名稱的緣故。1829年柯西創(chuàng)建了留數(shù)理論。1814年柯西第一個注意到了留數(shù)的概念。(即留數(shù)、殘數(shù)、剩余)這個術(shù)語。1826年柯西在他的研究報告中首次使用了“residu”(返回)第72頁，課件共78頁，創(chuàng)作