《全等三角形》培優(yōu)題型全集

題型一：倍長(zhǎng)中線（線段）造全等在全等三角形的學(xué)習(xí)中，倍長(zhǎng)中線是一個(gè)重要的概念。以下是一些相關(guān)的題目。題型一：倍長(zhǎng)中線（線段）造全等已知：在△ABC中，AD是BC的中線，且AD=BC，證明：△ABC≌△ADC。解法：因?yàn)锳D=BC，所以BD=AC，又因?yàn)锳D是BC的中線，所以∠ABD=∠ACD，所以△ABD≌△ACD（SAS），所以∠ADB=∠ADC，所以△ABC≌△ADC（SAS）。題型二：截長(zhǎng)補(bǔ)短在這個(gè)題型中，我們需要根據(jù)已知條件來證明一些結(jié)論。1、已知：四邊形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：BC＝AB＋CD。解法：連接AC，根據(jù)平行線性質(zhì)得到∠ACD=∠2，∠DAB=∠1，又因?yàn)椤?＝∠2，所以∠ACD=∠DAB，所以AD=CD，所以BC=AD+AB=CD+AB。2、已知：在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求證：AB=AC+CD。解法：連接BD，根據(jù)角度和為180°得到∠BAC=3∠B，又因?yàn)椤螩＝2∠B，所以∠ACD=∠B，所以△ACD≌△BDC（AAA），所以AD=BD，所以AB=AD+BD=AC+CD。3、已知：在△ABC中，AC=5，中線AD=7，求AB邊的取值范圍。解法：根據(jù)中線定理得到BD=DC=3.5，所以AB=2√(3.52+52)≈9.2。題型三：角平分線上的點(diǎn)向角兩邊引垂線段在這個(gè)題型中，我們需要根據(jù)角平分線的性質(zhì)來證明一些結(jié)論。1、已知：在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，求證：∠BAD+∠C=180°。解法：連接AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠BAC=∠CAD，所以∠BAD=∠C，所以∠BAD+∠C=180°。2、已知：四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，則∠B與∠ADC互補(bǔ)。解法：連接BD，根據(jù)垂直線性質(zhì)得到∠AEB=90°，所以AE=EB=AB/2，又因?yàn)锳D+AB=2AE，所以AD=BD，所以△ABD≌△ACD（SAS），所以∠B=∠ADC，所以∠B與∠ADC互補(bǔ)。3、已知：在△ABD和△ACD中，BD=CD，∠ABD=∠ACD，求證AD平分∠BAC。解法：連接BC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠BAD=∠CAD，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=2∠BAD=2∠ABD=2∠ACD=∠BDC+∠BCD，所以AD平分∠BAC。題型四：連接法（構(gòu)造全等三角形）在這個(gè)題型中，我們需要使用連接法來構(gòu)造全等三角形。1、已知：在△ABC中，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求證：AC=BF。解法：連接BF，根據(jù)中線定理得到AF=FD，所以∠BAC=∠ACB，又因?yàn)锳E=EF，所以△ABE≌△EFB（SAS），所以AC=BF。段落1：已知AB＝AD，BC＝DC，E、F分別是DC、BC的中點(diǎn)，求證AE＝AF。根據(jù)題目所給條件，我們可以得到△ABE≌△ADE，△BCF≌△DCF。因?yàn)锳E和AF都是AB和BC的中線，所以AE＝EB＝AD，AF＝FC＝DC。所以AE＝AF。段落2：如圖，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求證EB=FC。因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠EAD＝∠FAD，又因?yàn)镈E⊥AB，DF⊥AC，所以∠AED＝∠AFD。所以△AED≌△AFD，從而AE＝AF。又因?yàn)镈B=DC，所以EB＝AB－AD＝AC－DC＝FC。段落3：已知BD為∠ABC的平分線，AB=BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求證PM=PN。因?yàn)锽D是∠ABC的平分線，所以AB＝BC，又因?yàn)镻M⊥AD，PN⊥CD，所以△APM≌△CPN，從而PM＝PN。全等三角形的證明過程：1、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，G為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合），以CG為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEF，連接DE交BG的延長(zhǎng)線于H。求證：①△BCG≌△DCE，②BH⊥DE①證明：因?yàn)镃G=CE，∠BCG=∠DCE=90°，所以△BCG≌△DCE（SSS）。②證明：連接AH，因?yàn)锳BCD是正方形，所以AB=BC=CD=DA=1，因此AD=1-AG。又因?yàn)椤鰽BH和△CDE是全等三角形（AAA），所以BH=DE。又因?yàn)锳H=AD+DH=1-AG+DG=1+DG-AG，所以AH=BG。因此，BH⊥DE。2、如圖，在四邊形ABCD中，E是AC上的一點(diǎn)，∠1=∠2，∠3=∠4，求證：∠5=∠6。連接AE和BD，因?yàn)椤?=∠2，∠3=∠4，所以△ABE和△CDE是全等三角形（AA）。因此，∠5=∠AEB=∠CED=∠6。3、如圖，∠ABC＝90°，AB＝BC，D為AC上一點(diǎn)，分別過A、C作BD的垂線，垂足分別為E、F，求證：EF＝CF－AE連接BE和BF，因?yàn)锳B＝BC，∠ABC＝90°，所以△ABE和△CBF是全等三角形（HL）。因此，BE=BF。又因?yàn)锳E=CE，所以CF－AE=CF－CE=EF。4、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E，求證：∠ACE=∠B+∠ECD。連接BE和CD，因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，因此∠B=∠C。又因?yàn)镃E⊥AD，所以∠ECD=90°-∠CAD=90°-∠BAD，因此∠B+∠ECD=∠C+90°-∠BAD=∠ACE。5、已知如圖，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，求證：AC與BD互相平分連接AE和CF，因?yàn)锽F＝DE，AE＝CF，所以△ABF和△CDE是全等三角形（SAS）。因此，∠A=∠C，且AC=BD。又因?yàn)锳B＝CD，所以AC與BD互相平分。6、如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD的延長(zhǎng)線垂直于過C點(diǎn)的直線于E，直線CE交BA的延長(zhǎng)線于F．求證：BD=2CE。連接BE，因?yàn)锳B=AC，∠BAC=90度，所以△ABE和△ACE是全等三角形（AAS）。因此，BE=CE。又因?yàn)锽D是∠ABC的平分線，所以∠ABD=∠CBD，因此∠BDE=∠BDC。又因?yàn)镃E垂直于BD的延長(zhǎng)線，所以∠BDC=90度-∠BDE，因此∠BDE=45度。又因?yàn)椤螧DE=∠BEF，所以∠BEF=45度。因此，∠CEF=45度。又因?yàn)椤鰾CE是等腰直角三角形，所以CE=BC/√2。因此，BD=2CE。7、己知，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足為D，P是線段BC上任一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC垂足分別為E、F，求證：PE+PF=CD.連接DE，因?yàn)锳B=AC，所以∠A=90度-∠B=90度-∠C。因此，△ADE和△CDF是全等三角形（AA）。因此，DE=CD。又因?yàn)椤鰽EP和△CFP是相似三角形，所以PE/CF=AE/AC，因此PE=AE^2/AC。同理，PF=AF^2/AB。因?yàn)锳B=AC，所以AF=AE。因此，PE+PF=AE^2/AC+AF^2/AB=2AE^2/AB=2AE^2/2AD=AE^2/AD=DE^2/AD=CD/AD=CD。6、在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上，且BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù)。解：如圖所示，連接AF、AE。因?yàn)锳BCD是正方形，所以AB=BC=CD=DA，且∠BAD=90°。因?yàn)锽E+DF=EF，所以三角形BEF的兩邊之和等于第三邊，所以∠BEF=90°。同理，∠DFE=90°。所以∠EAF=∠BEF+∠BAD+∠DFE=90°+90°+90°=270°。但∠EAF不能大于180°，所以∠EAF=270°-180°=90°。7、在等腰直角三角形ABC中，D為斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DN，DM和DN分別交BC和CA于點(diǎn)E、F。①當(dāng)∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，證明DE=DF。解：如圖所示，連接DE、DF。因?yàn)镈M⊥DN，所以DM=DN，且∠MDN=90°。因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以AD=BD=AB/√2。因?yàn)槿切蜛MD和BMD是等腰直角三角形，所以AM=MD=BD/√2，BM=MD=AD/√2。因?yàn)椤螦MD=45°，所以∠DME=∠DMF=45°。因此，三角形DEA和DFB是等腰直角三角形，所以DE=EA=AB/2√2，DF=FB=AB/2√2，所以DE=DF。②若AB=2，求四邊形DECF的面積。解：如圖所示，連接CE。因?yàn)椤螦=∠B=45°，所以∠C=90°。因?yàn)锳B=2，所以AC=2√2，CE=√2，DE=DF=AB/2√2=1。因?yàn)槿切蜛CD和BCE是等腰直角三角形，所以CD=AC/√2=2，BE=CE=√2。因此，四邊形DECF的面積是S=△CED+△DEF+△DFB=1/2×√2×√2+1/2×1×1+1/2×√2×1=2+√2。8、在五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，且∠ABC+∠AED=180°，證明AD平分∠CDE。解：如圖所示，連接AC、BD。因?yàn)锳B=AE，所以∠BAE=∠ABE，所以∠BAC=∠CAE，所以三角形ABC和AED是全等的。因?yàn)锽C+DE=CD，所以BC+ED=BD，所以三角形BCD和BDE是全等的。因?yàn)椤螦BC+∠AED=180°，所以∠ABD+∠BED=180°，所以ABDE是一個(gè)四邊形。因此，AD平分∠CDE。4、如圖，AE⊥AB，AD⊥AC，AB=AE，∠B=∠E，證明：（1）BD=CE；（2）BD⊥CE。解：如圖所示，連接BD、CE。因?yàn)椤螧=∠E，所以三角形ABD和AEC是相似的。因?yàn)锳B=AE，所以三角形ABD和AED是全等的。因?yàn)椤螧AD=90°，所以∠AED=90°，所以AE=DE，所以三角形AED是等腰直角三角形。因此，BD=CE。因?yàn)锽D=CE，所以△BDC和△CEB是全等的，所以∠BDC=∠CEB，所以BD⊥CE。9、如圖所示，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求證：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF。解：如圖所示，連接AC、BD、BE、CF。因?yàn)锳B=CD=AE=BC+DE=2，所以AC=BD=2√2。因?yàn)椤螦BC=∠AED=90°，所以三角形ABC和AED是全等的。因?yàn)锽C+DE=2，所以BE=CE=1。因?yàn)槿切蜛BE和CDE是等腰直角三角形，所以∠BAE=∠CED，所以三角形ABE和CED是相似的。因?yàn)锳B=AE，所以三角形ABE和AED是全等的。因此，EC=BF。因?yàn)镋C=BF，所以△BEC和△BFC是全等的，所以∠BEC=∠BFC，所以EC⊥BF。10、已知直角等腰三角形ABC中，AC=BC，∠C=90°，D為AB邊的中點(diǎn)，∠EDF=90°，∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、BC（或它們的延長(zhǎng)線）于E、F。（1）當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時(shí)（如圖1），證明S△DEF+S△CEF=S△ABC。解：如圖所示，連接DE、EF、CF。因?yàn)椤螩=90°，所以三角形ABC是直角三角形。因?yàn)锳C=BC，所以三角形ABC是等腰直角三角形。因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以AD=BD=AB/√2。因?yàn)椤螧AD=45°，所以AD=BD=AB/√2=AC/√2。因?yàn)椤螮DF=90°，所以DE和DF是直線，所以∠FDE=∠FCE。因?yàn)椤螪EF=90°，所以三角形DEF是直角三角形。因?yàn)椤螮DF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E，所以∠FCE=∠BAC，所以三角形FCE和ABC是相似的。因?yàn)锳C=2AD，所以BC=2BD，所以CF=2DE，所以S△CEF=4S△DEF。因?yàn)镾△ABC=1/2×AC×BC=1/2×2AD×2BD=2S△ABD，所以S△ABC=2S△DEF+2S△CEF=2S△DEF+8S△DEF=10S△DEF，所以S△ABC=10S△DEF=9S△DEF+S△DEF=S△CEF+S△DEF。（2）當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)（如圖2），求S△DEF、S△CEF、S△ABC之間的數(shù)量關(guān)系？解：如圖所示，連接DE、EF、CF。因?yàn)椤螩=90°，所以三角形ABC是直角三角形。因?yàn)锳C=BC，所以三角形ABC是等腰直角三角形。因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以AD=BD=AB/√2。因?yàn)椤螧AD=45°，所以AD=BD=AB/√2=AC/√2。因?yàn)椤螮DF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直，所以∠FCE≠∠BAC，所以三角形FCE和ABC不相似。因?yàn)椤螰CE=∠BAC+∠FCD，所以三角形FCE和ABC是三角形BCD和ABD的組合。因?yàn)锽CD和ABD是等腰直角三角形，所以S△CEF=S△ABC-2S△ABD。因?yàn)椤螮DF=90°，所以三角形DEF是直角三角形。因?yàn)椤螰DE=∠FCE，所以三角形DEF和CEF是相似的。因?yàn)镃F=2DE，所以S△CEF=4S△DEF。因此，S△DEF:S△CEF:S△ABC=1:4:5。（3）當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)（如圖3），求S△DEF、S△CEF、S△ABC之間的數(shù)量關(guān)系？解：如圖所示，連接DE、EF、CF。因?yàn)椤螩=90°，所以三角形ABC是直角三角形。因?yàn)锳C=BC，所以三角形ABC是等腰直角三角形。因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以AD=BD=AB/√2。因?yàn)椤螧AD=45°，所以AD=BD=AB/√2=AC/√2。因?yàn)椤螮DF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直，所以∠FCE≠∠BAC，所以三角形FCE和ABC不相似。因?yàn)椤螰CE=∠BAC+∠FCD，所以三角形FCE和ABC是三角形BCD和ABD的組合。因?yàn)锽CD和ABD是等腰直角三角形，所以S△CEF=S△ABC-2S△ABD。因?yàn)椤螮DF=90°，所以三角形DEF是直角三角形。因?yàn)椤螰DE=∠FCE，所以三角形DEF和CEF是相似的。因?yàn)镃F=2DE，所以S△CEF=4S△DEF。因?yàn)椤螪EF+∠CEF=90°，所以三角形DEF和CEF是三角形DFC的分割。因?yàn)镈FC是等腰直角三角形，所以S△DEF:S△CEF=1:3。因此，S△DEF:S△CEF:S△ABC=1:3:5。在△ABC中，∠ACB=