2.4

等比數(shù)列第一課時(shí)問題提出tp

=

1

5730

2

1.什么叫等差數(shù)列？其遞推公式是什么？從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列稱為等差數(shù)列.an

-

an

-

1

=

d(n

?

2)或an－1＋an＋1＝2

an(n≥2).tp

=

1

5730

2

2.就數(shù)列的單調(diào)性而言，等差數(shù)列有哪幾種類型？d＞0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；

d＜0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；

d=0時(shí)，{an}是常數(shù)列.3.等差數(shù)列是一類特殊數(shù)列，它具有很高的學(xué)術(shù)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值.在現(xiàn)實(shí)生活中還有與等差數(shù)列具有同等地位和價(jià)值的數(shù)列嗎？這是一個(gè)需要研究的問題.知識探究（一）：等比數(shù)列的基本概念1，2，4，8，….思考1：如圖是某種細(xì)胞分裂的模型，那么這種細(xì)胞每次分裂的個(gè)數(shù)組成一個(gè)什么數(shù)列？思考2：我國古代學(xué)者提出：“一尺之棰日取其半，萬世不竭.”即一尺長的木棒，每日取其一半，永遠(yuǎn)也取不完.那么每日取得的木棒的長度構(gòu)成一個(gè)什么數(shù)列？42

81，1

，

1

，

1

，

….思考3：一種計(jì)算機(jī)病毒通過郵件進(jìn)行傳播，如果把病毒制造者發(fā)送病毒稱為第一輪，郵件接收者發(fā)送病毒稱為第二輪，依此類推.假設(shè)每一輪每臺(tái)計(jì)算機(jī)都感染20臺(tái)計(jì)算機(jī)，那么在不重復(fù)的情況下，這種病毒每一輪感染的計(jì)算機(jī)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列是什么？1，20，202，203，….思考4：“復(fù)利”也是銀行支付利息的一種方式，按照復(fù)利計(jì)算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率）存期.現(xiàn)在存入銀行1000元錢，年利率是1.98%，那么按照復(fù)利，5年內(nèi)各年末得到的本利和構(gòu)成的數(shù)列是什么？1000×1.0198，1000×1.01982，1000×1.01983，1000×1.01984，1000×1.01985，…思考5：上述4個(gè)數(shù)列各有什么特點(diǎn)？這4個(gè)數(shù)列有什么共同特點(diǎn)？共同特點(diǎn)：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù).思考6：我們把上述數(shù)列都叫做等比數(shù)列你能給出等比數(shù)列的一般定義嗎？如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等比數(shù)列的公比（常用字母q表示）.思考7：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，如何用遞推公式描述等比數(shù)列的定義？=

q(n

?

2)a

n

-1思考8：在等比數(shù)列{an}中，an－1，an，an＋1三者之間有什么關(guān)系？a

nn＋1an－1·a

＝an2(n≥2)知識探究（二）：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式思考1：下面四個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分別是什么？（1）1，2，4，8，….

（1）an=（2）1，（3）1，20，202，203，….（4）1000×1.0198，1000×1.01982，1000×1.01983，1000×1.01984，…2n

-1n

-11,

….

（2）an=

(

2

)n（3）a

=

20n

-1n（4）

a

=

1000

·1.0198n1

1

1,

,2

4

8思考2：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，那么a2，a3，a4，a5分別等于什么？由此歸納猜想，an等于什么？思考3：如何根據(jù)等比數(shù)列的定義證明上述結(jié)論？n

1=

a

qn

-

1a思考4：將等比數(shù)列的通項(xiàng)公式看作是一個(gè)關(guān)于n的函數(shù)，這是一個(gè)什么類型的函數(shù)？思考5：有沒有既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列？理論遷移例1某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩留的物質(zhì)是原來的84%，這種物質(zhì)的半衰期為多長（放射性物質(zhì)衰變到原來的一半所需的時(shí)間稱為半衰期，精確到1年）？半衰期約4年例2根據(jù)下列程序框圖，寫出所打印數(shù)列的前5項(xiàng)，并建立數(shù)列的遞推公式，求出其通項(xiàng)公式.開始輸出An=n+1n=1A=0.5A否n≥5？是結(jié)束A=12a

1a1

=

1=

an-1

(n

?

2)2n1

12n

-

1an

=

(

)

2

=

1

n-1na例3一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)分別是12和18，求它的第1項(xiàng)和第2項(xiàng).1

23a

=

16

,

a

=

8小結(jié)作業(yè)1.等比數(shù)列的基本特征可理解為：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都相等，并且可以用兩種遞推公式來描述.2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是由其定義推導(dǎo)出來的，確定一個(gè)等比數(shù)列需要兩個(gè)獨(dú)立條件.3.等比數(shù)列與等差數(shù)列是兩個(gè)并列概念，但二者有很大的差異，根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式還可發(fā)掘出許多性質(zhì)，具體內(nèi)容待后探究.作業(yè)：P53習(xí)題2.4A組：1，2，3.2.4

等比數(shù)列第二課時(shí)問題提出1.什么叫做等比數(shù)列？等比數(shù)列的遞推公式有哪兩種形式？從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列叫做等比數(shù)列.=

q(n

?

2)a

n

-1an－1·aa

nn＋1＝an2

(n≥2)2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么？3.根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可以發(fā)掘出等比數(shù)列有哪些基本性質(zhì)？這是一個(gè)值得探究的問題.n1=

a

qn

-

1a知識探究（一）：等比數(shù)列概念的拓展思考1：一般地，若a，G，b成等比數(shù)列，則G叫做a與b的等比中項(xiàng).那么任意兩個(gè)數(shù)a和b一定存在等比中項(xiàng)嗎？思考2：若ab＞0，那么數(shù)a和b的等比中項(xiàng)有幾個(gè)？它與數(shù)a和b有什么關(guān)系？G

=

–

ab思考3：等差數(shù)列的各項(xiàng)和公差可以取任意實(shí)數(shù)，等比數(shù)列的各項(xiàng)和公比可以取任意實(shí)數(shù)嗎？列嗎？n都不為零思考4：若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，p為常數(shù)，那么數(shù)列{pan}，{an＋an＋1}，1{an2}，{a

}，{a2n},{a2n－1}還是等比數(shù)思考6：類比等比數(shù)列定義“等積數(shù)列”從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的積等于同一個(gè)常數(shù)，那么“等積數(shù)列”有什么特征？思考5：若數(shù)列{an}、{bn}都是等比數(shù)是等比數(shù)列嗎？an列，那么數(shù)列{an·bn}，{b

}

，{an＋bn}還n知識探究（二）：等比數(shù)列通項(xiàng)公式拓展思考1：在等比數(shù)列{an}中，若a1＞0，如何討論等比數(shù)列{an}的單調(diào)性？q＞1時(shí)單調(diào)遞增；0＜q＜1時(shí)單調(diào)遞減.q＝1時(shí)為常數(shù)列；q＜0是為擺動(dòng)數(shù)列.思考2：一般地，等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可寫為an＝c·qn.反之，若an＝c·qn(cq≠0)，則數(shù)列{an}一定是等比數(shù)列嗎思考3：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則n思考4：在等比數(shù)列{an}中，a3·a8與a5·a6有什么關(guān)系？a4·a9與a6·a7有什么關(guān)系？n

m=

a qn

-

maan

等于什么？由此可知a等于什么？am思考5：一般地，在等比數(shù)列{an}中，什么條件下有嗎？m＋n=p＋qam

an

=ap

aq？反之成立am

an

=

ap

aq思考6:在等比數(shù)列{an}中，a1·an可以等于什么？a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2

＝…理論遷移例1

在等比數(shù)列{an}中，已知

a1

=

5，a9

a10

=100

，求a1820.例2在等比數(shù)列{an}中，已知a4求該數(shù)列前7項(xiàng)之積.=

3，2187例3

在等比數(shù)列{an}中，已知a1

a3

=4,a2

+a4

=10,求an.例4已知非零實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足，(a

2

+

b

2

)d

2

-

2b(a

+

c)d

+

b

2

+

c

2

=

0求證：a，b，c成等比數(shù)列.n-1

nan

=

2

或an

=

(-1)2n-11.從等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式出發(fā)，可發(fā)掘出等比數(shù)列的許多性質(zhì)，這是一種研究性學(xué)習(xí).適當(dāng)了解這些拓展性內(nèi)容，可以加深對等比數(shù)列的理解，提高對等

比數(shù)列的理性認(rèn)識.小結(jié)作業(yè)2.求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式有代入法和待定系