【學(xué)生版】

2022屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準(zhǔn)復(fù)習(xí)

例析高考填空題的題型

填空題又叫填充題，是將一個(gè)數(shù)學(xué)真命題，在“前提、條件、結(jié)論''的框架下，寫成其中缺少一些語句的不完

整形式，要求學(xué)生在指定的空位上，將缺少的語句填寫清楚、準(zhǔn)確。它是一個(gè)不完整的陳述句形式，填寫的可以

是一個(gè)詞語、數(shù)字、數(shù)值、符號、代數(shù)式、數(shù)學(xué)語句等，甚至組成新的真命題。

填空題是一種傳統(tǒng)的題型，也是高考試卷中的一種常見題型；其特點(diǎn)是：形態(tài)短小精悍，跨度大，知識覆蓋

面廣，表述形式靈活，考查目標(biāo)集中；旨在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能；重在考查學(xué)生分析問題、解決

問題的能力以及嚴(yán)密的邏輯思維能力和運(yùn)算能力。由于，填空題只要求直接寫出結(jié)果，不必寫出計(jì)算或推理過程，

其結(jié)果必須是數(shù)值準(zhǔn)確、形式規(guī)范、表達(dá)式（數(shù)）最簡。結(jié)果稍有毛病，便得零分。所以，必須得遵循“答案的

正確性‘‘、”答題的迅速性''和"解法的合理性''等原則。

當(dāng)然，填空題大多能在教材中能找到原型和背景，故可以將此化歸為我們熟知的題目或基本題型；這樣，根

據(jù)填空時(shí)所填寫的內(nèi)容形式，可以將填空題分成兩種類型：一是定量型：要求考生填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系，

如：方程的解、不等式解集、函數(shù)的定義域、值域、最大值或最小值、線段長度、角度大小等等；由于填空題和

選擇題相比，缺少選擇的信息，所以高考填空題多數(shù)是以定量型問題出現(xiàn)。二是定性型：要求填寫的是具有某種

性質(zhì)的對象或者填寫給定數(shù)學(xué)對象的某種性質(zhì)，如：函數(shù)關(guān)系式、變量必須滿足的條件、幾何圖形的位置關(guān)系等

等；近幾年又出現(xiàn)了定性型的具有多重選擇性的填空題。

又由于，填空題缺少選擇的信息，故解答題的求解思路可以原封不動(dòng)地移植到填空題上。但填空題既不用說

明理由，又無需書寫過程，因而解選擇題的有關(guān)策略、方法有時(shí)也適合于填空題。填空題雖題小，知識覆蓋面廣，

但能力跨度大，解題形式靈活，可以有目的、和諧地結(jié)合一些問題，突出訓(xùn)練學(xué)生準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、全面、靈活地運(yùn)

用知識的能力和基本運(yùn)算能力，突出以形助數(shù)、數(shù)形結(jié)合、列表分析、精算與估算相結(jié)合等計(jì)算能力；想要又快

又準(zhǔn)地答好填空題，除直接推理計(jì)算外，還要講究一些解題策略，為保證答題的速度與正確，盡量避開常規(guī)解法，

是一種極有效與通用的基本策略。

從現(xiàn)行的高考填空題的題型來看；有傳統(tǒng)型填空題：（1）、直接求解法；（2）、特殊值法；（3）、數(shù)形結(jié)合法；

（4）、等價(jià)轉(zhuǎn)化法；（5）、公式變形法；（6）、特征分析法；（7）、歸納猜想法；（8）、構(gòu)造法。以及創(chuàng)新型填空題:

（1）、多選型填空題；（2）、探索型填空題；（3）、新定義型填空題；（4）、組合型填空題；（5）、探究型填空題。

現(xiàn)就現(xiàn)行的高考填空題的題型與解法作一例析。

一、傳統(tǒng)型填空題：

（一）、直接求解法

直接求解法是：直接從題設(shè)出發(fā)，抓住命題的特征，利用定義、性質(zhì)、定理、公式等，經(jīng)過變形、推理、計(jì)

算、判斷而得到結(jié)果；這是解填空題的常用的基本方法。

例1、若集合A={x|2x+l〉0},B={x||x-l|<2},則ADB=

【提示】

【解析】

【評注】

例2、已知兩個(gè)單位向量a,E的夾角為60°,c=ta+(l-t)b,若B-c=0,則1=

【提示】

【解析】

【評注】

例3、已知a,b,c分別為AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊，a=2，且(2+b)(sinA—sinB)=(c-b)sinC,

則AABC面積的最大值為

(二)、特殊值法

當(dāng)填空題的已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)

定值時(shí)，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當(dāng)特殊值(或特殊函數(shù)，或特殊角，特殊數(shù)列，特殊方

程，特殊模型等)進(jìn)行處理，從而得出探求的結(jié)論；這樣可大大地簡化推理、論證的過程。

例4、設(shè){aj是公比為q的等比數(shù)列，S”是它的前n項(xiàng)和，若{SJ是等差數(shù)列，則4=—

例5、已知(1-2x)7=a。+a1x+a2x2+—ha7*',那么a|+a2+—ba7=

(三)、數(shù)形結(jié)合法

對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目條件的特點(diǎn)，作出符合題意的圖形，做到由數(shù)思形，以形助

數(shù)，并通過對圖形的直觀分析、判斷，則往往可以簡捷地得出正確的結(jié)果，數(shù)形結(jié)合，能使抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化

成直觀的圖形，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來；因而可以以形助數(shù)、數(shù)形結(jié)合地進(jìn)行分析，并幫助解答。

例6、函數(shù)f(x)=」；一一2sin2rtx,x所有的零點(diǎn)之和等于_________

l-2x

例7、對于函數(shù)f(x)定義域中任意的X1,x2(x,^x2),有如下結(jié)論：

□、f(X]+X2)=f(X1)-f(X2)；□、f(X1?x2)=f(xl)+f(x2)；□、(x?)>0；

X|-X2

□、f(g與<3；3)；當(dāng)f(x)=igx時(shí)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是

TT

例8、在平行四邊形ABCD中，ZA=j,邊AB、AD的長分別為2、1,若M、N分別是邊BC、CD上的

點(diǎn)，且滿足吧=1S1則入曲的取值范圍是

|BC||CD|

例9、已知E1FAB,點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)A、B分別在圖中

拋物線y?=4x及圓（x-+y2=4的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng),且AB

總是平行于x軸，那么DFAB的周長的取值范圍為

x-y+2>2

例10、過平面區(qū)域,y+2N0內(nèi)一點(diǎn)P作圓o：x?+y2=l的兩條切線，切

x+y+2<0

別為A、B,記NAPB=c,當(dāng)a最小時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為

例11、如圖，三個(gè)半徑都是5cm的小球放在一個(gè)半球面的碗中，三個(gè)小球的頂端

恰好與碗的上沿處于同一水平面，則這個(gè)碗的半徑R是cm。

（四）、等價(jià)轉(zhuǎn)化法

將所給的命題通過“化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉“，等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一種容易理解的語言或容易求解的模式;

便于問題的解決，從而得到正確的結(jié)果。

例12、設(shè)非零復(fù)數(shù)X、y滿足x2+xy+y2=0,則代數(shù)式（」-）2?！?+（二^）2。於的值是______

x+yx+y

例13、不論k為何實(shí)數(shù)，直線y=kx+l與圓*2+尸一22*+22-22—4=0恒有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是.

（五）、公式變形法

在解填空題時(shí)，可以考慮利用公式的變形進(jìn)行解答，使之起點(diǎn)高、速度快、準(zhǔn)確率高。

例14、設(shè)數(shù)列｛a