一、基本概念1.二階曲線影理論復(fù)習(xí)代數(shù)定義：射影坐標(biāo)為(x,x,x)的滿足方程1233axx=0(a=a)ijijijji的點的集合稱為二階曲線，其中a為實數(shù)且至少有一個不為0。ij幾何定義：在射影平面上成射影對應(yīng)的兩個線束的對應(yīng)直線的交點的集合稱為二階曲2.二級曲線代數(shù)定義：射影坐標(biāo)為(u,u,u)的滿足方程33buu=0(b=b)ijijijji的直線的集合稱為二級曲線，其中b為實數(shù)且至少有一個不為0。ij幾何定義：在射影平面上成射影對應(yīng)的兩個點列的對應(yīng)點的連線的集合稱為二級曲線。(MN，PQ)=–1，PQcQPc點。P稱為此直線的極點。規(guī)定：對于二階曲線上的點的極線為該點的切線。二、重要定理1.平面上無三點共線的五點唯一確定一條(非退化)二階曲線。2.從二階曲線上任一點向其上四定點連直線，則所得四線的交比是常數(shù)。3.從二階曲線上任兩點向其上動點連直線，則所得兩個線束是射影線束。4.巴斯卡定理：二階曲線的內(nèi)接簡單六點形的對邊交點共線(此線稱為巴斯卡線)。布利安桑定理：二級曲線的外切簡單六線形的對頂點連線共點(此點稱為布利安桑。證明：如圖所示，考察二階曲線的內(nèi)接六點形ABCABC，根據(jù)巴斯加定理知對偶若兩個三點形同時外切于一條二階曲線，則它們必同時內(nèi)接于另一條二階曲線。XABZB'CY(1965(1965年，全俄數(shù)學(xué)競賽)ANMMIBAL的交點I，CB與LM的交點E，BA與MN的交點DB三點共線。CL (全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，一九九五年)AQEQMDBNPNGFCYADBC5.重要推論(1)巴斯卡定理的推論1內(nèi)接于非退化二階曲線的四點形兩對對邊的交點及對頂點的切線的交點，四點推論1外切于非退化二級曲線的四線形兩對對頂點的連線及對邊的切點的連線，共點。YYSAXDBTC(2)巴斯卡定理的推論2三點形，其每個頂點的切線與對邊的交點，三AACB應(yīng)用巴斯加定理于AABBCC即可。dabc線形，其每條邊上的切點與對頂點的連線，三線共點。aacbBC(2003年，全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)AFAFQCQCPDDEBEB2形的頂點是其對邊的極點。形的頂點是其對邊的極點。所以對邊三點形的頂點是其對邊的極點。推論1兩點連線的極點是此二點的極線的交點；兩直線交點的極線是此兩直線的極點的連線。YYDZXCB定義：若一個三點形的頂點都是其對邊的極點，則稱此三點形為自極三點形。根據(jù)自極三點形的定義知上例中的XYZ是自極三點形。命題設(shè)ΔABC是關(guān)于⊙O的自極三點形，證明：O是ΔABC的垂心。AC，PS)=–1。MPQMPAPPQAT、Q、M、P，從而有TCR (MT，PQ)=(AC，PS)=–1。CRDBB上的無窮遠(yuǎn)點。所以CD//PQ。三、計算題型1.求二階曲線ax相切的二階曲線為解：設(shè)所求二階曲線為011.111+入011.011=011.111+入011.011=0，xxxxxx123123xxxxxx1231232將(–1,2,0)代入，得4+6λ=0，即入=。3故所求二階曲線為化簡，得8x23x2+3x2+xx11xx=0。1231213例8求通過定點(1,0,1)、(0，1,1)、(0,–1,1)且以x1x3=0,x2x3=0為解：因為A在xx=0上，B在xx=0上，故可設(shè)所求曲線為1323(xx)(xx)+入(xx+x)2=01323123故所求曲線為2(xx)(xx)(xx+x)2=03123x2+x2x2=0123cSaxxaaSXAXT。ijijijji記S=(ppp)A(qqq)T,S=(ppp)A(xxx)T。pq123123p123123ppp例9求二階曲線x2-2x2+3x2-xx=0過點P(2,12313解：易知P在曲線上，曲線的系數(shù)矩陣為(|(01-200-203故所求切線方程為(001-2(001-23x3x-10x+4x=0。123,1)的切線方程。2(p1p2p3)a例10設(shè)二階曲線c：3x2-6xx1223333aa23333+5x2-4xx-6xx+10x2=0，213233試求點P(1,0,1)關(guān)于c的極線和直線x+x+x=0的極點。123S=(1p1)||3-2-310x3=0即x-6x+8x=0。123設(shè)直線x+x+x=0的極點為Q(q,q,q)，則Q的極線與123123x+x+x=0表示同一條直線，所以1231q2|(3-3-2)|q)3q)3 (-2-310)123S=XAXT=0，則(1)點P(p,p,p)的極線方程為PAXT=0或坐標(biāo)PA；123(2)直線W(w,w,w)的極點方程為WA-1UT=0或坐標(biāo)WA-1。123第六章二階曲線的仿射理論和度量理論ijij記2121222233S≡ax2121222233S≡ax+ax+ax。31312323331.基本概念1.1中心：無窮遠(yuǎn)直線關(guān)于二階曲線c的極點稱為c的(對稱)中心。交點的極線稱為該直徑的共軛直徑。1.3漸近線：二階曲線c上的無窮遠(yuǎn)點的有窮切線稱為c的漸近線。1.4主軸：二階曲線的一條直徑若平分一組和其垂直的弦，則此直徑稱為主軸，主軸與二階曲線的交點稱為二階曲線的頂點。1.5圓點：共軛復(fù)點(1,i,0)和(1,–i,0)稱為圓環(huán)點，簡稱為圓點。1.6迷向直線：過圓點的有窮直線稱為迷向直線。1.7焦點：二階曲線的迷向切線的有窮交點稱為二階曲線的焦點。1.8準(zhǔn)線：焦點的極線稱為準(zhǔn)線。2.重要定理2.1直徑端點處的切線平行于該直徑的共軛直徑。2.2直徑與共軛直徑的對應(yīng)是一個對合。2.3漸近線是自共軛直徑，即直徑與共軛直徑的對合中的不變直線。2.4漸近線調(diào)和分離任一對共軛直徑。2.5主軸是漸近線構(gòu)成的角的平分線，即互相垂直的共軛直徑。2.6迷向直線上任兩點間的距離為零；迷向直線與另一直線的夾角不存在。2.7拉蓋爾定理：設(shè)兩條非迷向直線的夾角為θ，它們與過其交點的迷向直線所成的交21ln。2i3.計算題型對于二階曲線c：S3axx0，有如下計算公式：ijijS0 (2)直徑與共軛直徑(3)漸近線SS01211a12aa0；1211(4)主軸(對稱軸)SS0a122(aa)a0。3.1求中心與直徑共軛直徑。由將(1,1)代入公式S1+λS2=0，即x–2y+1+λ(–2x+y–2)=0，(注：因為直徑一定過中心，故所求直徑可由兩點式求得220從而所求的共軛直徑為x2y+1+1(2x+y2)=0)23.2求漸近線1由–3k2+2k+1=0解得k=1,k=。故所求的漸近線為123x+y+1+(x3y2)=0,x+y+1(x3y2)=0，33.3求對稱軸由k2+4k–1=0解得k=2士5。1例14求二階曲線x2+2xx3x2+2xx4xx=0的仿射標(biāo)準(zhǔn)型和射影標(biāo)11221323準(zhǔn)型。x2+2xx3x2+2xx4xx11221323=(x+x+x)24x2x26xx1232323=(x+x+x)2(2x+3x)2+5x212322343作仿射變換|1|1123(py=ax+ax+ax(得曲線的仿射標(biāo)準(zhǔn)型為y2y2+y2=0。123x2+2xx3x2