黑龍江省哈爾濱市第一六五中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，則角B的值為（）A． B． C．或 D．或參考答案：D【考點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】通過(guò)余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形內(nèi)，進(jìn)而求出B．【解答】解：由∴，即∴，又在△中所以B為或故選D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦定理及三角中的切化弦．很多人會(huì)考慮對(duì)于角B的取舍問(wèn)題，而此題兩種都可以，因?yàn)槲覀兊倪^(guò)程是恒等變形．條件中也沒(méi)有其它的限制條件，所以有的同學(xué)就多慮了．雖然此題沒(méi)有涉及到取舍問(wèn)題，但在平時(shí)的練習(xí)過(guò)程中一定要注意此點(diǎn)2.已知向量為非零向量，，則夾角為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由條件即可得到，這樣即可得到，且，從而可以求出，這樣便可得出，的夾角．【解答】解：；∴，；∴；∴；∴；∴=；∴夾角為．故選：B．3.將的圖象向左平移個(gè)單位，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到的圖象，則=

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D略4.直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為

(

)

A．

B．1

C．

D．參考答案：D圓心到直線(xiàn)的距離為，則弦長(zhǎng)為，選D.5.已知︱︱=1，︱︱=,=0,點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC=30°，設(shè)=m+n（m、n∈R），則等于

（

）

A．

B．3

C．

D．參考答案：B6.已知集合，集合，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A試題分析：不能推出故是的充分不必要條件.考點(diǎn)：1、充分條件與必要條件；2、指數(shù)不等式解法．7.△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，，則△ABC一定是（）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由，結(jié)合等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，我們易判斷△ABC為等腰三角形，又由△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，我們易求出B=60°，綜合兩個(gè)結(jié)論，即可得到答案．【解答】解：∵△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列∴2B=A+C又∵A+B+C=180°∴B=60°設(shè)D為BC邊上的中點(diǎn)則=2又∵∴=0∴即△ABC為等腰三角形，故△ABC為等邊三角形，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算和等差數(shù)列的性質(zhì)，其中根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，判斷△ABC為等腰三角形是解答本題的關(guān)鍵．8.已知且,則存在,使得的概率為A.

B.

C.

D.

參考答案：D略9.實(shí)數(shù)等比數(shù)列中，，則“”是“”的A.充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列性質(zhì)充分必要條件A2D3A解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，因?yàn)椋?，即，由得，因?yàn)?，所以即，所以“”是“”的充分而不必要條件，故選擇A.【思路點(diǎn)撥】結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．已知函數(shù)10.，則a的取值等于（

）A．-1

B．1

C．2

D．4參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知為第三象限角，，則=

_．參考答案：12.設(shè)函數(shù)存在反函數(shù),且函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,2),則函數(shù)的圖象一定過(guò)點(diǎn)

.參考答案：【答案】(-1,2)【解析】由函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,2)得:即函數(shù)過(guò)點(diǎn)

則其反函數(shù)過(guò)點(diǎn)所以函數(shù)的圖象一定過(guò)點(diǎn)13.若不等式的解集為，則不等式的解集為

參考答案：14.已知直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)，且*

*

*

*.參考答案：15.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，的系數(shù)等于_______.參考答案：180【分析】在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于6，求出r的值，即可求得x6的系數(shù)．【詳解】在的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式公式為C10k（﹣2）kx10﹣2k，令10﹣2k＝6，解得k＝2，故x6的系數(shù)等于C102（﹣2）2＝180，故答案為：180．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16.已知函數(shù)，若，則=

；參考答案：或17.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足：f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），an=（n∈N*），bn=（n∈N*），考查下列結(jié)論：①f（1）=1；②f（x）為奇函數(shù)；③數(shù)列{an}為等差數(shù)列；④數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．以上命題正確的是．參考答案：②③④【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【分析】利用抽象函數(shù)的關(guān)系和定義，利用賦值法分別進(jìn)行判斷即可．【解答】解：（1）因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)任意x，y，f（x）滿(mǎn)足f（xy）=yf（x）+xf（y），∴令x=y=1，得f（1）=0，故①錯(cuò)誤，（2）令x=y=﹣1，得f（﹣1）=0；令y=﹣1，有f（﹣x）=﹣f（x）+xf（﹣1），代入f（﹣1）=0得f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函數(shù)．故②正確，（3）若，則an﹣an﹣1=﹣===為常數(shù)，故數(shù)列{an}為等差數(shù)列，故③正確，④∵f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），∴當(dāng)x=y時(shí)，f（x2）=xf（x）+xf（x）=2xf（x），則f（22）=4f（2）=8=2×22，f（23）=22f（2）+2f（22）=23+2×23═3×23，…則f（2n）=n×2n，若，則====2為常數(shù)，則數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，故④正確，故答案為：②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義，結(jié)合抽象函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)

（I）求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅱ）若上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：解：（I）

………………2分

………………3分的單調(diào)遞減區(qū)間為

………………6分

（II）即有

………………10分

………………12分

19.設(shè)的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿(mǎn)足(2a+c)

·+c·=0.（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，試求·的最小值.參考答案：解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以即，則

……4分所以，即，所以………………8分（Ⅱ）因?yàn)?，所以，即?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最大值為4…………12分所以=，即的最小值為…………14分20.某理科考生參加自主招生面試，從7道題中（4道理科題3道文科題）不放回地依次任取3道作答．（1）求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率；（2）規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題，該考生答對(duì)理科題的概率均為，答對(duì)文科題的概率均為，若每題答對(duì)得10分，否則得零分．現(xiàn)該生已抽到三道題（兩理一文），求其所得總分X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；條件概率與獨(dú)立事件．【分析】（1）利用條件概率公式，即可求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率；（2）確定X的可能取值，利用概率公式即可得到總分X的分布列，代入期望公式即可．【解答】解：（1）記“該考生在第一次抽到理科題”為事件A，“該考生第二次和第三次均抽到文科題”為事件B，則P（A）=，P（AB）=．…∴該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率為P（B|A）=．…（2）X的可能取值為：0，10，20，30，則P（X=0）==，P（X=10）=+=，P（X=20）==，P（X=30）=1﹣﹣﹣=．…∴X的分布列為X0102030p…∴X的數(shù)學(xué)期望為EX=0×+10×+20×+30×=．…21.已知函數(shù)f（x）=ax2﹣lnx，a∈R．（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為，若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．【專(zhuān)題】計(jì)算題；分類(lèi)討論；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x2﹣lnx，，由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程．（Ⅱ）f（x）=ax2﹣lnx，a∈R的定義域?yàn)椋?，+∞），=，根據(jù)a≤0，a＞，0＜a≤分類(lèi)討論，能求出存在a=，使函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x2﹣lnx，f（1）=1，，f′（1）=1，∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為x﹣y=0．（Ⅱ）∵f（x）=ax2﹣lnx，a∈R，∴此函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），=，當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0恒成立，∴f（x）在（0，e]上是減函數(shù)，∴當(dāng)x=e時(shí)，f（x）取得最小值f（e）=ae2﹣1=，解得a=＞0與a≤0矛盾；當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得，，在（0，）上，f′（x）＜0，在（，+∞）上，f′（x）＞0，∴當(dāng)＜e，即a＞時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，）上是減函數(shù)，在（，e）上是增函數(shù)，∴當(dāng)x=時(shí)，f（x）取得最小值，令=，得a=，符合題意．當(dāng)≥e，即0＜a≤時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，e]是減函