渦度方程和散度方程第1頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月渦旋運動位勢運動渦度散度渦度方程散度方程大氣原始方程組的變形方程2第2頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.1環(huán)流定理1、速度環(huán)流：指速度場中某一有向閉合曲線上的速度切向分量沿該閉合曲線的線積分。

絕對環(huán)流隨時間的變化率稱為絕對

環(huán)流的加速度。在實際問題中，我們更感興趣的是絕對環(huán)流隨時間的變化及造成環(huán)流隨時間變化的物理過程和因子。為此，首先要導(dǎo)出絕對環(huán)流定理。3第3頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月不考慮摩擦力的絕對運動方程為：對閉合曲線L，取上式環(huán)流積分=0絕對環(huán)流加速度＝絕對加速度的環(huán)流(5.1)4第4頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月(5.1)式等號右邊第2項為零，因為：可得絕對環(huán)流定理絕對環(huán)流的加速度等于封閉曲線L所包含的力管力管項5若力管項為零，則絕對環(huán)流守恒第5頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月2、力管項存在的條件及其物理意義利用Stokes公式，有：其中：若令：則力管項：數(shù)學(xué)推導(dǎo)6斜壓矢量力管項非零的必要條件是大氣的斜壓性第6頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月斜壓矢量

的模的物理含義：上式表示一個單位壓容管即力管所占的面積或單位面積上的力管數(shù)。因此N則代表L所圍的力管總數(shù)（代數(shù)和）。

力管項的物理意義除了代表L所圍成的力管總數(shù)（代數(shù)和）外，從力的環(huán)流看，力管項還可表示為氣壓梯度力環(huán)流：7單位壓容（力）管當(dāng)曲線上的氣壓梯度力與路徑走向相同，則環(huán)流加強，反之減弱。第7頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

大氣的斜壓性是力管項存在的必要條件，也是產(chǎn)生環(huán)流加速度的因素，而大氣的斜壓性是由大氣中非均勻加熱所產(chǎn)生。這一過程可以用來解釋海陸風(fēng)環(huán)流和山谷風(fēng)環(huán)流等的形成。下面以海陸風(fēng)為例來說明直接熱力環(huán)流的產(chǎn)生過程。

8海陸風(fēng)環(huán)流的形成第8頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月3、相對環(huán)流定理絕對速度和相對速度的關(guān)系為：9絕對環(huán)流等于相對環(huán)流和牽連環(huán)流之和對牽連環(huán)流：第9頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月可得相對環(huán)流定理：

上述等式右邊第一項為力管項。第二項稱為慣性項，其本質(zhì)是科氏力的環(huán)流項，因為：10推導(dǎo)？牽連環(huán)流對相對環(huán)流的影響可解釋如下：在北半球如果L所包圍的面積在赤道平面上的投影Ae隨時間增大，則相對環(huán)流減弱，因為環(huán)線L擴大時，表示環(huán)線上的空氣微團有向外的法向速度分量Vn，這樣對應(yīng)Vn的科氏力與L方向（逆時針）相反，故科氏力使得L方向的環(huán)流減弱；反之環(huán)線縮小，則法向速度向內(nèi)，科氏力與L方向相同，因此使得L方向環(huán)流增強。第10頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.2渦度方程1自然坐標(biāo)系中的鉛直渦度分量

絕對速度：

絕對渦度：又：

故：

相對渦度：11第11頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

相對渦度的物理意義在自然坐標(biāo)系中可反映得更加清楚直觀，為此將鉛直渦度分量

轉(zhuǎn)換為自然坐標(biāo)的表達(dá)形式。取沿流線的自然坐標(biāo)系（圖5.5），則水平風(fēng)矢量為：

則：

取β0的極限情況，則x方向趨于s方向，y方向趨于n方向，渦度垂直分量可表示為：12自然坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系曲率渦度切變渦度第12頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

規(guī)定在北半球：取氣旋式曲率為正，反氣旋式曲率為負(fù)。曲率渦度和切變渦度的含義：1）曲率渦度：與流線的彎曲形狀有關(guān)。2）切變渦度：與水平風(fēng)速沿流線的法線方向的分布不均勻有關(guān)。

13氣旋式彎曲：rs>0,則；反氣旋彎曲：rs<0,則；急流軸例子第13頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

對不同的流型，有時曲率渦度項較大，有時切變渦度項較大，因此在不作精確分析時，可只考慮其中較大的一項。例如，在氣旋或反氣旋中心附近，可只考慮曲率渦度項，而在鋒區(qū)或急流區(qū)則可只考慮切變渦度項。2渦度方程

z坐標(biāo)系的渦度方程的推導(dǎo)思路：利用X和Y方向的水平運動方程，分別對y和x求偏導(dǎo)數(shù)，然后后者減前者便可。對(2)進行運算，（1）進行運算，然后兩式相減

12第14頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月并注意到渦度垂直分量的定義：，得渦度方程：而則渦度方程變?yōu)椋?/p>

第15頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月由于f只是y的函數(shù)，故渦度方程可變?yōu)椋簻u度方程各項的含義：1）－－相對渦度平流變化項。這一項是由于相對渦度的水平分布不均勻造成的，因平流過來不同于某指定地點的相對渦度而在該點造成的相對渦度的變化率。2）－－為相對渦度的垂直平流項。由于渦度垂直分布的不均勻性及垂直運動造成。

第16頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月3）－－為地轉(zhuǎn)渦度或牽連渦度的經(jīng)向平流項。該項的正負(fù)取決于經(jīng)向風(fēng)的方向，如果吹南風(fēng)，則有負(fù)的地轉(zhuǎn)渦度平流；如果吹北風(fēng)，則有正的地轉(zhuǎn)渦度平流。4）－－散度項。水平輻合（輻散）會使絕對渦度增大（減小），這可看作是在守恒的條件下，面積的收縮（擴大）而使單位面積上的環(huán)流（渦度）增大（減?。┑木壒省＃≒85）5）－－力管項或斜壓項。該項是由大氣的斜壓性引起的。

因為：

第17頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月6）－－為扭轉(zhuǎn)項。該項表示由于垂直速度的水平分布不均勻，使得水平渦度向垂直渦度轉(zhuǎn)換，從而引起渦度垂直分量的變化。

以為例：設(shè)速度v分量隨z是增加的，而垂直速度w隨x是減少的，因此有：，，而水平渦度（x）分量則為所以：

，

水平渦管的傾斜導(dǎo)致垂直渦度的產(chǎn)生第18頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月P坐標(biāo)系下的渦度方程類似z坐標(biāo)系渦度方程的推導(dǎo)，由p坐標(biāo)系的水平運動方程推導(dǎo)的渦度方程如下：

10-10

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其中P坐標(biāo)系的渦度：第19頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月上述p坐標(biāo)系的渦度方程各項的物理意義可以參考z坐標(biāo)系的渦度方程的各項進行類似的討論。注意：1）p坐標(biāo)系的渦度方程不顯含力管項；

2）

對于大尺度運動，可近似?。?/p>

。根據(jù)渦度方程各項量級，可得p坐標(biāo)系渦度方程的零級近似為：或：

10-5

10-7

第20頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.3位勢渦度

（自學(xué)、提問）§5.4散度方程一、散度方程：在p坐標(biāo)系下，水平散度為：類似渦度方程的推導(dǎo)，分別對x、y方向的運動方程進行和運算，再相加，得水平散度方程：

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10-9

10-9

第21頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月二、散度方程的簡化

對大尺度運動，可得散度方程的一級簡化形式為：

該方程中不出時間局地變化項、散度項和垂直運動項，但出現(xiàn)渦度項，說明對于大尺度運動，不僅是準(zhǔn)定常、準(zhǔn)水平的，而且還是準(zhǔn)水平無輻散的，主要以渦旋運動為主。對于渦旋運動或水平無輻散運動，其水平速度散度為零。定義一個與水平運動的流線有關(guān)的流函數(shù)，其與u，v的關(guān)系為：（風(fēng)壓場的平衡關(guān)系）－－稱為平衡方程（非線性）第22頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月注意到，平衡方程可表示為：通過上式，由等壓面上重力位勢的分布即可求出場。如果略去上式式左邊的非線性項，可得線性平衡方程：若進一步略去f的變化，則得散度方程的零級簡化形式

：并有：

第23頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月三、水平風(fēng)場得分解對于水平無旋運動，由從數(shù)學(xué)上可知，一個標(biāo)量的梯度的旋度為零，故存在一個速度勢函數(shù)，滿足：或者：一般而言，水平速度場既是有旋的也是有散的，故可把風(fēng)速分解為旋轉(zhuǎn)風(fēng)和輻散風(fēng)兩部分：

，

旋轉(zhuǎn)風(fēng)輻散風(fēng)第24頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

渦度方程和散度方程可作為代替原始水平運動方程的一對平行方程。理論上，根據(jù)一定的初始條件