第三節(jié)剛度矩陣——節(jié)點(diǎn)載荷與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系一、單元?jiǎng)偠染仃?.單元?jiǎng)偠染仃噯卧猠是在節(jié)點(diǎn)力作用下處于平衡。節(jié)點(diǎn)i的節(jié)點(diǎn)力為{r}?RRT （i,j,m輪換）ixiyi則單元e的節(jié)點(diǎn)力列陣為{Rje=「RtRtRt]t-ijm-=，rrrrrrT…xiyixjyjxmym_單元應(yīng)力列陣為fc}"=，OOT]T…xyxy_假定彈性體的所有節(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生一虛位移，單元e的三個(gè)v*u*v*uv*u*v*u*mv*m單元虛應(yīng)變列陣為€2「￡*yy*xy作用在彈性體上的外力在虛位移上所做的功為(€，Y偌單元內(nèi)的應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的功為：根據(jù)虛位移原理，可得單元的虛功方程7*}Y7*}Y€r}=竹*}\T‘JJ…B?T }tdxdy故有故有悚卡=JJ?B]T€，}tdxdy將式（3-10）代入，{將式（3-10）代入，{r*=JJ「B…T[D]「B]{s}tdxdy「D][B]tdxdy{5}3-27)A簡(jiǎn)記為3-29)?k…e =衣}3-29) 上式表征單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，稱(chēng)為單元?jiǎng)偠确匠蹋▎卧胶夥匠蹋┢渲衚…k…e=JJ?B"T[DB…tdxdyA3-28)[k]e稱(chēng)之為單元?jiǎng)偠染仃嚕ê?jiǎn)稱(chēng)為單剛），是6<6矩陣。如果單元的材料是均質(zhì)的，矩陣「D]中的元素也是常量，且在三角形常應(yīng)變的情況下，矩陣「B…中的元素也是常

數(shù)，當(dāng)單元的厚度也是常數(shù)時(shí)，注意到dxdy數(shù)，當(dāng)單元的厚度也是常數(shù)時(shí)，注意到dxdy=€,于是單元?jiǎng)偠染仃嚳珊?jiǎn)化為飛『=[B?T[D?[B]€t （3-30）將單元?jiǎng)偠染仃嚢垂?jié)點(diǎn)號(hào)寫(xiě)成分塊矩陣形式：6x6k??iik6x6k??iik??jikmik??

ij

k??jjkmjkimkjmkmmr<其中任一子塊krs（r，s=i，j，m）3-31)是一個(gè)2X2子矩陣,LkLB][d](BLkLB][d](B〕€t(r,s=i,j,m)-k]=「B]T「D]「B?€t-rs」 「r」 「」Ls」s1—卩

bb+ccrs —2— rs7 1—卩7|LXcb+bers—2—rs|Lxbe+1“ebrs —2— rs\o"CurrentDocument"1—卩7 7ee+bbrs —2— rs(r,s=i,j,m)3-32)rs1）對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題將[b]和平面應(yīng)力問(wèn)題的彈性矩陣[d]代入，得2）對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題將b］和平面應(yīng)變問(wèn)題的彈性矩陣Id］2）對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題將b］和平面應(yīng)變問(wèn)題的彈性矩陣Id］代入，得kers- E(1_?》」_4(1+?)1<2?)A也+2j<?)crCs b心+2(1<?)也倚crbs+2,i<?)brCs g+2,i<?)brbs(r,s=i，j，m)3-33)2.單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)「kf的物理意義1）和JL)1<?2 1_?（注：是將式和JL)1<?2 1_?3-29）可完整寫(xiě)為UiV‘iU‘jUiV‘iU‘jV‘jU‘m‘、V?m[kn_k21…k31_k41…k51__k61k12"kk22」kk32k42」k52"k62-…k13kLk23

kk33

kLk43

…k53

-k63k14_k24-kk34kk44」k54"k64」…k15_k25…k35_k45…k55_k65k16「k26-k36"k46-k56_k66-uivi

‘u‘

j‘v‘jum‘”v?m可見(jiàn)每個(gè)節(jié)點(diǎn)在x和y方向上有二個(gè)平衡方程，3個(gè)節(jié)點(diǎn)共有六個(gè)平衡方程。單元?jiǎng)偠染仃噆］e中的任一元素稱(chēng)為剛度系數(shù)，其物理意義為：k當(dāng)單元的第j個(gè)節(jié)點(diǎn)有單位位移，而其它節(jié)點(diǎn)位移為ij零時(shí)，需在單元第i個(gè)節(jié)點(diǎn)位移方向上施加的節(jié)點(diǎn)力的大小例如，k表示是第3個(gè)節(jié)點(diǎn)有水平（x）方向單位位移（即23u€1）時(shí)，而其它節(jié)點(diǎn)位移分量均為零時(shí)，在第2個(gè)節(jié)點(diǎn)3所引起的鉛垂（y）方向的節(jié)點(diǎn)力。（2）單元?jiǎng)偠染仃囍蝗Q于單元形狀，大小，方向和彈性常數(shù)，而與單元的位置無(wú)關(guān)。即[k?e不隨單元坐標(biāo)平移而改變，這叫單元?jiǎng)偠鹊钠揭圃?。—a ih.N a*r64kjikjiA①②③④a\m\miJ\iV135例如圖示結(jié)構(gòu)，有 M（i）€[k]（3）另外，可以證明 [b]（d€_[b]（2）則有 [k]（i）€[k]（2）即單元旋轉(zhuǎn)180°后，單元?jiǎng)偠染仃囅嗟?。這是單元?jiǎng)偠刃D(zhuǎn)原理。（3）單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱(chēng)矩陣。因?yàn)閇k,e=[B][D][B]At所以有

Cj?C]T[D]園）…Z?[B]t[D]r[B]tt…t?[B]t[D][b]a^ [k]e4）單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惥仃嚒＜碵k丫?0因?yàn)閧r#?[k]e{5<e當(dāng)節(jié)點(diǎn)位移已知時(shí)，節(jié)點(diǎn)力是唯一確定的，而{人丫已知時(shí),{5<e不能唯一確定，因?yàn)閱卧獩](méi)有支承，可以產(chǎn)生任意的剛體位移。根據(jù)上述性質(zhì)：對(duì)于上圖結(jié)構(gòu)，在節(jié)點(diǎn)力為零時(shí)，單元仍可產(chǎn)生剛體位移，即U,?0?k「u.+k“v.+k“u?+k「v.+k*u+k“vi11i12i13j14j15m16m此時(shí)ui?uj?um?u0，vi?vj?vm?v0，單元產(chǎn)生剛體位移u0，氣為任意的。故有11+11+k13+k15u0+12+k14+k16v0?0kk12+k14+k16?0由于u0，v°的任意性，則k11+k13+k15?0'從而得k11€k13€k15€k12€k14€k16同理可得：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚾我庖恍校校┰刂蜑榱恪?）單元?jiǎng)偠染仃囍鲗?duì)角線上的元素恒為正。即k,0（i=1,2,...,6）ii整體分析假設(shè)彈性體被分成m個(gè)單元和n個(gè)節(jié)點(diǎn)，對(duì)每一個(gè)單元進(jìn)行前面的運(yùn)算，則得到m組型如「k丫冊(cè)=$}的方程。把這些方程集合起來(lái)，便可得到表征整體彈性體平衡的剛度方程：3-37)「k?3-37)2nx2n2nx1 2nx1式中1. €) ……整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移列陣，是由各節(jié)點(diǎn)2nx1位移按節(jié)點(diǎn)號(hào)碼從小到大順序排列組成的，即€}=「,T,T,T卩…1 2…n_n)其中 ￡.}=「％.v.T (i=1,2n)i…i i_

例如圖示結(jié)構(gòu)有=「uVL11例如圖示結(jié)構(gòu)有=「uVL11uvuvuv2233442.€r}2nxl整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)載荷列陣，是由各節(jié)點(diǎn)載荷按節(jié)點(diǎn)號(hào)碼從小到大順序排列組成的，即{r}=「RtRt Rt?t1 2…n_其中 €+…R，x R.y]r （i=1,2，…,n）例如圖示結(jié)構(gòu)有

€r}=「RtRtRRt?1234rRP-P0-PRrlx1y "3 ~2 4x 4y2.-k2.-k-2nx2n整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣（總剛）（1）,k］的組集“對(duì)號(hào)入座”法）2n2nx2n，k-2nx2n三?k]ee例圖示結(jié)構(gòu)有單元1-k例圖示結(jié)構(gòu)有單元1-k…⑴=單元2「k1⑵=kkkiiijimk k k?????jijjjm\o"CurrentDocument"k k kmimjmmkkk222421kkk4244 41kkk12 14 11kkkiiijim\o"CurrentDocument"k k k?????jijjjm\o"CurrentDocument"k k kmimjmm,kkk1444243kkk242223kkk?343233…注：在單元?jiǎng)偠染仃囍?，各子塊的下標(biāo)表示該子塊在總剛中的位置。則總剛為€k(1)11k(1)120k(1)14k(1)k(1)+k⑵k(2)k(1)+k⑵~k-—2122222324 240k(2) k(2)k⑵8x8323334k(1)k(1)+k⑵k(2)k(1)+k⑵?4142424344 44…（2）總剛的性質(zhì)整體剛度矩陣的物理意義［k］中每一列元素的物理意義為：欲使彈性體的某一個(gè)節(jié)點(diǎn)在坐標(biāo)軸方向發(fā)生單位位移，而其它節(jié)點(diǎn)都保持為零狀態(tài)，在各節(jié)點(diǎn)上所需要加施加的節(jié)點(diǎn)力。由式可以看出，令節(jié)點(diǎn)1在坐標(biāo)軸x方向有單位位移，即u=1，而其余的節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)，即1v1=u2=v2=u3=v3= u2n=v2n=0，這樣就可得到節(jié)點(diǎn)載荷列陣等于總剛［k］的第一列元素組成的列陣，即€R1xR1yR2xR.…2y…RR:nxnyT€KKKK………1…1、/?K11K21K31K41(2n—1)1(2n)1總剛€(gè)k］是對(duì)稱(chēng)矩陣總剛€(gè)k…是奇異矩陣

總剛,k］主對(duì)角線上的元素恒為正，即k?0（i…1,2, ,2n）iiV.總剛［k］是一個(gè)稀疏矩陣。若遵守一定的節(jié)點(diǎn)編號(hào)規(guī)則，則非零元素集中在主對(duì)角線附近呈帶狀分布。單元越多，總剛B］越稀疏。r…s/r,s同屬于一個(gè)單元的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)號(hào)碼非零元素集中在主對(duì)角線兩側(cè)，在包括對(duì)角線元素在內(nèi)的半個(gè)帶形區(qū)域中，具有最多元素的數(shù)目稱(chēng)為最大半帶寬半帶寬），用B表示：B=（max｛單元節(jié)點(diǎn)號(hào)碼的最大差值｝+1）X節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)半帶寬取決于節(jié)點(diǎn)號(hào)碼的最大差值。半帶寬越窄，計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)量就越少。所以，在劃分有限元網(wǎng)格進(jìn)行節(jié)點(diǎn)編號(hào)時(shí)，要采用合理的編碼