第三章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)

§3指數(shù)函數(shù)_14_12_10_8_6_4_2_-2_-10_-5_5_10O1yX

我國(guó)古代莊子《天下篇》記載有這樣一段話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！贝蠹艺f說它的意思？第1日第2日第3日第4日數(shù)學(xué)寓意問題：一根1米長(zhǎng)的繩子，第一次剪掉繩長(zhǎng)的一半，第二次剪掉剩余繩長(zhǎng)的一半……剪了x次后剩余繩子的長(zhǎng)度為y米，試寫出y和x的函數(shù)關(guān)系？第1次第2次第3次第4次第X次剩余長(zhǎng)度表達(dá)式數(shù)學(xué)化

問題:

某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)細(xì)胞分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，......,一個(gè)這樣的細(xì)胞分裂x次后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y與分裂次數(shù)x有怎樣的函數(shù)關(guān)系？細(xì)胞分裂細(xì)胞分裂過程細(xì)胞個(gè)數(shù)第一次第二次第三次2=218=234=22…………

第x次……細(xì)胞個(gè)數(shù)y關(guān)于分裂次數(shù)x的表達(dá)式為

表達(dá)式2x在中指數(shù)x是自變量，底數(shù)是一個(gè)大于0且不等于1的常量.我們把這種自變量在指數(shù)位置上而底數(shù)是一個(gè)大于0且不等于1的常量的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù).和指數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)定義域是R?？偨Y(jié)提升

式子

名稱

a

x

y指數(shù)函數(shù)Y=ax

冪函數(shù):y=xa

底數(shù)指數(shù)冪值探究1

冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別判斷一個(gè)函數(shù)是冪函數(shù)還是指數(shù)函數(shù)切

入點(diǎn)看未知數(shù)x是指數(shù)還是底數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)底數(shù)指數(shù)冪值探究2：為什么要規(guī)定例1:（定義辨析）判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)？(1)y=3x(3)(5)y=x3

(6)y=5x+2

特別地列表描點(diǎn)連線圖像與性質(zhì)動(dòng)手實(shí)踐,一個(gè)這樣的細(xì)胞分裂x次后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y與分裂次數(shù)x有怎樣的函數(shù)關(guān)系？圖象分布在左下和右上兩個(gè)區(qū)域內(nèi)a>1底數(shù)是一個(gè)大于0且不等于1的常量.函數(shù)圖象特征函數(shù)f（x）和f（-x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱對(duì)同一個(gè)實(shí)數(shù)函數(shù)a（a>0,且a≠1）函數(shù)與的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。函數(shù)圖象特征不關(guān)于y軸對(duì)稱不關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱,一個(gè)這樣的細(xì)胞分裂x次后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y與分裂次數(shù)x有怎樣的函數(shù)關(guān)系？(6)y=5x+2指數(shù)相同，但底數(shù)不同的兩個(gè)冪用冪函數(shù)單調(diào)性比較;不關(guān)于y軸對(duì)稱不關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱大于0且不等于1的常量的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù).問題：一根1米長(zhǎng)的繩子，第一次剪掉繩長(zhǎng)的一半，第二次剪掉剩余繩長(zhǎng)的一半……剪了x次后剩余繩子的長(zhǎng)度為y米，試寫出y和x的函數(shù)關(guān)系？判斷一個(gè)函數(shù)是冪函數(shù)還是指數(shù)函數(shù)切

入點(diǎn)函數(shù)圖象特征0<a<1④分類討論的數(shù)學(xué)思想方法。x…-3-2-10123…y=2x…1/81/4?1248…y=3x…1/271/91/313927…函數(shù)圖象特征

xyo123-1-2-31x…-3-2-10123…y=2-x…84211/21/41/8…y=3-x…279311/31/91/27…XOYY=1函數(shù)圖象特征問題：由特殊函數(shù)由特殊到一般和和圖像的探究，一般的對(duì)于的圖像和性質(zhì)應(yīng)如何討論？指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>10<a<1圖象xy0y=1y=ax(a>1)y0(0<a<1)xy=1

y=ax(0,1)

a>10<a<1圖象特征

a>10<a<1性質(zhì)

1.圖象全在x軸上方，與x軸無限接近.1.定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0,+).2.圖象過定點(diǎn)（0，1）2.當(dāng)x=0時(shí)，y=13.自左向右圖象逐漸上升3.自左向右圖象逐漸下降3.在R上是增函數(shù)3.在R上是減函數(shù)4.圖象分布在左下和右上兩個(gè)區(qū)域內(nèi)4.圖象分布在左上和右下兩個(gè)區(qū)域內(nèi)4.當(dāng)x>0時(shí),y>1;當(dāng)x<0時(shí),0<y<1.4.當(dāng)x>0時(shí),0<y<1;當(dāng)x<0時(shí),y>1.非奇非偶函數(shù)不關(guān)于y軸對(duì)稱不關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱xyo123-1-2探究:的圖像之間的關(guān)系-31111結(jié)論：1.對(duì)同一個(gè)實(shí)數(shù)函數(shù)a（a>0,且a≠1）函數(shù)與的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。2.函數(shù)f（x）和f（-x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱知識(shí)遷移例2.作出指數(shù)函數(shù)的圖像。解：由指數(shù)函數(shù)圖像特征和三個(gè)特殊點(diǎn)（0,1）,（1,4）（-1，)可畫出圖像，如左圖所示。例3:不用計(jì)算器計(jì)算,比較下列各小題中兩個(gè)數(shù)的大小.例題展示XYO2.5310.311.70.33.110101.70.3>1>0.93.10.93.1冪的大小比較規(guī)律：1.底數(shù)相同，但指數(shù)不同的兩個(gè)冪用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較;2.指數(shù)相同，但底數(shù)不同的兩個(gè)冪用冪函數(shù)單調(diào)性比較;3.底數(shù)和指數(shù)都不同的兩個(gè)冪用中間變量如1來比較;有時(shí)引入和原來兩個(gè)冪相關(guān)的第三個(gè)冪作為中間變量來比大小。比一比顯身手＞＜＞1.知識(shí)方面掌握指數(shù)函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)。2.