2022-2023學(xué)年廣東省河源市源西中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.有三個命題：（1）空間四邊形ABCD中，若AC=BC，AD=BD，則AB⊥CD．（2）過平面的一條斜線存在一個平面與垂直．（3）兩個平面斜交，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面都不垂直．其中正確的命題個數(shù)（

）．．0

．1

．2

．3參考答案：D2.以下四個命題中，正確的是（

）A.若，則三點共線B.若{a,b,c}為空間的一個基底，則{a+b,b+c,c+a}構(gòu)成空間的另一個基底C.|(a·b)c|=|a|·|b|·|c|D.為直角三角形的充要條件是

參考答案：B略3.定義集合運算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．設(shè)A={1，2}，B={0，2}，則集合A*B的所有元素之和為(

) A．0 B．2 C．3 D．6參考答案：D考點：集合的確定性、互異性、無序性．分析：根據(jù)題意，結(jié)合題目的新運算法則，可得集合A*B中的元素可能的情況；再由集合元素的互異性，可得集合A*B，進而可得答案．解答： 解：根據(jù)題意，設(shè)A={1，2}，B={0，2}，則集合A*B中的元素可能為：0、2、0、4，又有集合元素的互異性，則A*B={0，2，4}，其所有元素之和為6；故選D．點評：解題時，注意結(jié)合集合元素的互異性，對所得集合的元素的分析，對其進行取舍．4.若雙曲線的焦點為，則雙曲線的漸近線方程為（***）A．B．C．D．參考答案：B略5.已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形,則該正方體的正視圖的面積不可能是（）A．

B． C． D．參考答案：C6.過點（0，1）與雙曲線僅有一個公共點的直線共有（

）A.1條

B.2條

C.3條

D.4條參考答案：D略7.已知是拋物線的焦點，是該拋物線上的兩點，，則線段的中點到拋物線準(zhǔn)線的距離為（

）A．1

B．

C．

D．2參考答案：C8.除以9的余數(shù)是（

）A．8

B．4

C．2

D．1參考答案：A9.一組數(shù)據(jù)共有7個數(shù)，記得其中有10,2,5,2,4,2，還有一個數(shù)沒記清，但知道這組數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，這個數(shù)的所有可能值的和為()A．9

B．3

C．17

D．－11參考答案：A略10.已知函數(shù)的圖象上一點及鄰近一點，則等于（）A．4B．C．D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在4次獨立重復(fù)試驗中，隨機事件恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率，則事件在一次試驗中發(fā)生的概率的取值范圍是

▲

．參考答案：12.已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，則x+y的最小值是．參考答案：2考點： 向量在幾何中的應(yīng)用．專題： 平面向量及應(yīng)用．分析： 建立直角坐標(biāo)系，求出三角形各頂點的坐標(biāo)，因為O為△ABC的外心，把AB的中垂線m方程和AC的中垂線n的方程，聯(lián)立方程組，求出O的坐標(biāo)，利用已知向量間的關(guān)系，待定系數(shù)法求x和y的值，最后利用基本不等式求最小值即可．解答： 解：如圖：以A為原點，以AB所在的直線為x軸，建立直角系：則A（0，0），B（2a，0），C（﹣，），∵O為△ABC的外心，∴O在AB的中垂線m：x=a上，又在AC的中垂線n上，AC的中點（﹣，），AC的斜率為tan120°=﹣，∴中垂線n的方程為y﹣=（x+）．把直線m和n的方程聯(lián)立方程組，解得△ABC的外心O（a，+），由條件=x+y，得（a，+）=x（2a，0）+y（﹣，）=（2ax﹣，），∴，解得x=+，y=，∴x+y=++=+（）=2．當(dāng)且僅當(dāng)a=1時取等號．故答案為：2．點評： 本題考查求兩條直線的交點坐標(biāo)的方法，三角形外心的性質(zhì)，向量的坐標(biāo)表示及向量相等的條件，待定系數(shù)法求參數(shù)值．屬中檔題．13.正方體中，與對角線異面的棱有

條.

參考答案：614.設(shè)曲線在點處的切線與軸，軸所圍成的三角形面積為，則的最大值為_________________．參考答案：15.已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，有，，若，則實數(shù)的取值范圍為

．參考答案：16.設(shè)直線與圓相交于兩點，，則的值為________．參考答案：0

17.橢圓C：的焦距是______．參考答案：8試題分析：由題意可知：，從而，即，所以焦距是.考點：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求幾何性質(zhì).三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知直線l：y＝x＋m，m∈R.(1)若以點M(2,0)為圓心的圓與直線l相切于點P，且點P在y軸上，求該圓的方程；(2)若直線l關(guān)于x軸對稱的直線為l′，問直線l′與拋物線C：x2＝4y是否相切？說明理由．參考答案：法一：(1)依題意，點P的坐標(biāo)為(0，m)．因為MP⊥l，所以×1＝－1，解得m＝2，即點P的坐標(biāo)為(0,2)．從而圓的半徑r＝|MP|＝＝2，故所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝8.(2)因為直線l的方程為y＝x＋m，所以直線l′的方程為y＝－x－m.由得x2＋4x＋4m＝0.Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．(1)當(dāng)m＝1，即Δ＝0時，直線l′與拋物線C相切；(2)當(dāng)m≠1，即Δ≠0時，直線l′與拋物線C不相切．綜上，當(dāng)m＝1時，直線l′與拋物線C相切；當(dāng)m≠1時，直線l′與拋物線C不相切．法二：(1)設(shè)所求圓的半徑為r，則圓的方程可設(shè)為(x－2)2＋y2＝r2.解得

所以所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝8.(2)同法一．

19.已知函數(shù)f（x）=x2﹣alnx．（1）若f（x）在上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）記g（x）=f（x）+（2+a）lnx﹣2（b﹣1）x，并設(shè)x1，x2（x1＜x2）是函數(shù)g（x）的兩個極值點，若，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）令f′（x）≤0在上恒成立，分離參數(shù)得a≥2x2，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可得出a的范圍；（2）令g′（x）=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=b﹣1，x1x2=1，化簡得g（x1）﹣g（x2）=2ln+（﹣），令=t，根據(jù)b的范圍得出t的范圍，利用函數(shù)單調(diào)性可求得h（t）=2lnt+（﹣t）的范圍，得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣alnx在上是單調(diào)減函數(shù)，∴f′（x）=2x﹣≤0在上恒成立，∴a≥2x2恒成立，x∈．∵y=2x2在上單調(diào)遞增，∴y=2x2在上的最大值為2×52=50，∴a≥50．（2）g（x）=x2﹣alnx+（2+a）lnx﹣2（b﹣1）x=x2+2lnx﹣2（b﹣1）x，∴g′（x）=2x+﹣2（b﹣1）=，令g′（x）=0得x2﹣（b﹣1）x+1=0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1，∴g（x1）﹣g（x2）=﹣=2ln+（x12﹣x22）+2（b﹣1）（x2﹣x1）=2ln+（x12﹣x22）+2（x1+x2）（x2﹣x1）=2ln+x22﹣x12=2ln+=2ln+（﹣），設(shè)=t，則0＜t＜1，∴g（x1）﹣g（x2）=2lnt+（﹣t），令h（t）=2lnt+（﹣t），則h′（t）=﹣﹣1=﹣＜0，∴h（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，∵b≥，∴（b﹣1）2≥，即（x1+x2）2==t++2≥，∴4t2﹣17t+4≥0，解得t≤或t≥4．又0＜t＜1，∴0．∴hmin（t）=h（）=2ln+（4﹣）=﹣4ln2．∴g（x1）﹣g（x2）的最小值為﹣4ln2．【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的計算，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡g（x1）﹣g（x2）是解題的關(guān)鍵點，屬于中檔題．20.某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口的O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇.（Ⅰ）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行時間應(yīng)為多少小時？（Ⅱ）為保證小艇在30分鐘內(nèi)（含30分鐘）能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；參考答案：答:希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇的航行時間為1/3小時（Ⅱ）設(shè)小艇與輪船在B處相遇由題意可知，（vt）2=202+（30t）2-2·20·30t·cos（90°-30°），化簡得：由于0＜t≤1/2，即1/t≥2所以當(dāng)=2時，取得最小值，即小艇航行速度的最小值為海里/小時解法二：（I）過點O作⊥,垂足為C，若希望相遇時航行距離最小，則相遇于點C處.如圖，在中，，,.答：（Ⅱ）設(shè)相遇處為B（B應(yīng)在AC的延長線上），設(shè)則輪船和小艇的航行時間解得：小艇的航行速度當(dāng)時取得最大值，取得最小值，此時略21.如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB=5，AC=6，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于點H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）證明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD為菱形，可得AD=CD，結(jié)合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，進一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由線面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）以H為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由已知求得所用點的坐標(biāo)，得到的坐標(biāo)，分別求出平面ABD′與平面AD′C的一個法向量，設(shè)二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角為θ，求出|cosθ|．則二面角B﹣D′A﹣C的正弦值可求．【解答】（Ⅰ）證明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，則EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，則EF⊥BD，∴EF⊥DH，則EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH==1，則DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，則D′H⊥OH，又OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，∵AB=5，AC=6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），，，設(shè)平面ABD′的一個法向量為，由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．∴．同理可求得平面AD′C的一個法向量，設(shè)二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角為θ，則|cosθ|=．∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值為sinθ=．22.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽．（1）求所選3人都是男生的概率；（2）求所選3人恰有一名女生的概率．參考答案：【考點】C3：概率的基本性質(zhì)．【分析】由題意知本題是一個古典概型，試驗所包含的所有事件是從6人中選3人共有C63種結(jié)果，（1）由于滿足條件的事件是所選3人都是男生有C43種結(jié)果，再根據(jù)古典概型公式得到結(jié)果．（2）由滿足條件的事件是所選3人中恰有1名女生