廣西壯族自治區(qū)桂林市桃江中學2022-2023學年高三數(shù)學理上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列說法正確的是A.命題“若x2=1,則x=1”的否命題是“若x2=1,則x≠1”B.命題“x∈R,x2﹣x＞0”的否定是“x∈R,x2﹣x＜0”C.命題“若函數(shù)f（x）=x2﹣ax+1有零點，則a≥2或a≤-2”的逆否命題為真命題D.“x=-1”是“x2﹣x﹣2=0”的必要不充分條件參考答案：【知識點】命題的真假判斷與應用.L4

【答案解析】C解析：對于A．命題“若x2=1，則x=1”的否命題是“若x2≠1，則x≠1”，故A錯；對于B．命題“x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“x∈R，x2﹣x≤0”，故B錯；對于C．命題“若函數(shù)f（x）=x2﹣ax+1有零點，則a≥2或a≤﹣2”即有△=a2﹣4≥0，則a≥2或a≤﹣2，故原命題為真，由于互為逆否命題為等價命題，故其逆否命題為真命題，故C對；對于D．“x=﹣1”可推出“x2﹣x﹣2=0”，反之不能推出，故為充分不必要條件，故D錯．故選C．【思路點撥】由命題的否命題是既對條件否定，又對結(jié)論否定，即可判斷A；由命題的否定是對結(jié)論否定，即可判斷B；先判斷原命題的真假，再由互為逆否命題為等價命題，即可判斷C；由充分必要條件的定義，即可判斷D.2.若函數(shù)的相鄰兩個零點的距離為，且它的一條對稱軸為，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略3.已知，若函數(shù)滿足，則稱為區(qū)間上的一組“等積分”函數(shù)，給出四組函數(shù)：①；

②；

③；

④函數(shù)分別是定義在上的奇函數(shù)且積分值存在．其中為區(qū)間上的“等積分”函數(shù)的組數(shù)是A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C

對于①，，或者利用積分的幾何意義（面積）直接可求得，而，所以①是一組“等積分”函數(shù)；對于②，，而，所以②不是一組“等積分”函數(shù)；對于③，由于函數(shù)的圖象是以原點為圓心，1為半徑的半圓，故，而，所以③是一組“等積分”函數(shù)；對于④，由于函數(shù)分別是定義在上的奇函數(shù)且積分值存在，利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱和定積分的幾何意義，可以求得函數(shù)的定積分，所以④是一組“等積分”函數(shù)，故選C4.函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間[－π，π]上的圖象大致是(

)A．

B．

C.

D．參考答案：A，可排除又∵f′(x)在x=0處取最大值；故排除B.故選A

5.若的展開式中第三項系數(shù)等于6，則n等于(

)．

(A)4

(B)8

(C)12

(D)16參考答案：C6.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若2a8＝6＋a11，則S9的值等于()A．54 B．45C．36 D．27參考答案：A7.若i是虛數(shù)單位，則復數(shù)等于（）A.

1+i

B.1﹣i

C.

﹣1+i

D.

﹣1﹣i參考答案：C略8.設D為△ABC中BC邊上的中點，且O為AD邊上靠近點A的三等分點，則（）A． B．C． D．參考答案：A【考點】9H：平面向量的基本定理及其意義．【分析】可先畫出圖形，根據(jù)條件及向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義即可得出【解答】解：∵D為△ABC中BC邊上的中點，∴=（+），∵O為AD邊上靠近點A的三等分點，∴=，∴=（+），∴=﹣=﹣（+）=（﹣）﹣（+）=﹣+．故選：A．9.已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列中，與的等比中項為，則的最小值為

A.16

B.8

C.

D.4參考答案：B因為，即，所以。則，當且僅當，即，時取等號，選B.10.設集合，，則中元素的個數(shù)是（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：A由中不等式變形得：，即由中，得解得，即則，即中元素的個數(shù)為1故答案選

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知二項式展開式的第項與第項之和為零,那么等于.參考答案：答案:

12.△ABC中，，，BC上的高，且垂足D在線段BC上，H為△ABC的垂心且（），則

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．參考答案：13.已知一個球的內(nèi)接正方體的棱長是2，則這個球的表面積是

參考答案：答案：

14.（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={3，5}，則?UA=

．參考答案：{1，2，4}考點： 補集及其運算．專題： 集合．分析： 根據(jù)集合的基本運算進行求解即可．解答：∵全集U={1，2，3，4，5}，A={3，5}，∴?UA={1，2，4}，故答案為：{1，2，4}．點評： 本題主要考查集合關(guān)系的應用，比較基礎．15.（2x﹣3y）2015的展開式中，所有項系數(shù)之和為．參考答案：﹣1【考點】二項式定理的應用．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理．【分析】在（2x﹣3y）2015的展開式中，令x=1，可得所有項系數(shù)之和．【解答】解：在（2x﹣3y）2015的展開式中，令x=1，可得所有項系數(shù)之和為﹣1，故答案為：﹣1．【點評】本題主要考查二項式定理的應用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于基礎題．16.已知函數(shù)f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m，若函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象上，則實數(shù)m的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，5）考點： 函數(shù)恒成立問題．

專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析： 函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，可轉(zhuǎn)化為不等式|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，利用不等式的性質(zhì)求出|x﹣2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范圍．解答： 解：f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，即為|x﹣2|＞﹣|x+3|+m對任意實數(shù)x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，又由不等式的性質(zhì)，對任意實數(shù)x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m＜5，∴m的取值范圍是（﹣∞，5）．故答案為：（﹣∞，5）．點評： 本題考查絕對值不等式的解法，分類討論的方法，以及不等式的性質(zhì)，是中檔題．17.在極坐標系中，曲線和相交于點、，則

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．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）已知函數(shù)，g（x）=lnx．（Ⅰ）如果函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；（Ⅱ）是否存在實數(shù)a＞0，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根？若存在，請求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；函數(shù)與方程的綜合運用．【專題】：計算題；壓軸題．【分析】：（1）由于函數(shù)的解析式中含有參數(shù)a，故我們要對a進行分類討論，注意到a出現(xiàn)在二次項系數(shù)的位置，故可以分a＞0，a=0，a＜0三種情況，最后將三種情況得到的結(jié)論綜合即可得到答案．（2）方程整理為ax2+（1﹣2a）x﹣lnx=0構(gòu)造函數(shù)H（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣lnx（x＞0），則原方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根即為函數(shù)H（x）在區(qū)間（）內(nèi)有且只有兩個零點，根據(jù)函數(shù)零點存在定理，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造不等式組，解不等式組即可得到結(jié)論．解：（Ⅰ）當a=0時，f（x）=2x在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，符合題意．當a＞0時，y=f（x）的對稱軸方程為，由于y=f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，所以，解得a≤﹣2或a＞0，所以a＞0．當a＜0時，不符合題意．綜上，a的取值范圍是a≥0．（Ⅱ）把方程整理為，即為方程ax2+（1﹣2a）x﹣lnx=0．設H（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣lnx（x＞0），原方程在區(qū)間（）內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根，即為函數(shù)H（x）在區(qū)間（）內(nèi)有且只有兩個零點=令H′（x）=0，因為a＞0，解得x=1或（舍）當x∈（0，1）時，H′（x）＜0，H（x）是減函數(shù)；當x∈（1，+∞）時，H′（x）＞0，H（x）是增函數(shù)．H（x）在（）內(nèi)有且只有兩個不相等的零點，只需即∴解得，所以a的取值范圍是（）．【點評】：遇到類二次方程/函數(shù)/不等式（即解析式的二次項系數(shù)含有參數(shù)）時，一般要進行分類討論，分類的情況一般有：①先討論二次項系數(shù)a是否為0，以確定次數(shù)②再討論二次項系數(shù)a是否大于0，以確定對應函數(shù)的開口方向，③再討論△與0的關(guān)系，以確定對應方程根的個數(shù)．19.（本小題滿分13分）已知三點O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲線C上任意一點M（x,y）滿足（1）求曲線C的方程；（2）點Q（x0,y0）(-2<x0<2)是曲線C上動點，曲線C在點Q處的切線為l，點P的坐標是（0，-1），l與PA，PB分別交于點D，E，求△QAB與△PDE的面積之比。

參考答案：20.對某校高二年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區(qū)服務的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下：分組頻數(shù)頻率100.252520.05合計M1

（Ⅰ）求出表中及圖中的值；（Ⅱ）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務的次數(shù)不少于20次的學生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率.參考答案：（Ⅰ），p=,.（Ⅱ）.解析：（Ⅰ）由分組內(nèi)的頻數(shù)是，頻率是知，，所以，…………2分

因為頻數(shù)之和為，所以，.

.………4分

因為是對應分組的頻率與組距的商，所以，………6分

（Ⅱ）這個樣本參加社區(qū)服務的次數(shù)不少于20次的學生共有人，設在區(qū)間內(nèi)的人為，在區(qū)間內(nèi)的人為.則任選人共有10種情況，

…………8分而兩人都在內(nèi)共有3種，………10分至多一人參加社區(qū)服務次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率.……12分

略21.設函數(shù)．（1）若是函數(shù)的一個極值點，試用a表示b，并求函數(shù)的減區(qū)間；（2）若，，證明：當時，．參考答案：（1），當時，函數(shù)的減區(qū)間為，，當時，函數(shù)的減區(qū)間為，；（2）見解析．（1）由，有，得．此時有．由是函數(shù)的一個極值點，可知，得．①當，即時，令，得或，函數(shù)的減區(qū)間為，．②當時，函數(shù)的減區(qū)間為，．（2）由題意有，要證，只要證：令有．則函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，則．故不等式成立．22.（12分）已知橢圓C1：和動圓C2：，直線與C1和C2分別有唯一的公共點A和B．（I）求的取值范圍；（II）求|AB|的最大值，并求此時圓C2的方程．參考答案：（Ⅰ）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．由于l與C1有唯一的公共點A，故△1=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=0，……2分從而m2=1+4k2①由，得（1+k2）x2+2kmx+m2﹣r2=0．由于l與C2有唯一的公共點B，故△2=4k2m2﹣4（1+k2）（m2﹣r2）=0，