《第7講權(quán)與定權(quán)的常用方法》主講人：李海峰提綱：一、權(quán)的概念二、測量中定權(quán)的常用方法三、協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣四、協(xié)因數(shù)及權(quán)倒數(shù)傳播定律一、權(quán)的概念在一組不等精度的觀測中，由于觀測值的精度不同，觀測值的可靠性也不一樣，觀測精度高的可靠程度大，觀測精度低的可靠程度小。這樣我們在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的時候就不能等同對待，即為了區(qū)別觀測值精度的高低，確定各自所占的比重，就必須引入權(quán)的概念。下面我先看一個例子。設(shè)對一個已知角A（無誤差，A=30°25′36″）進(jìn)行兩次不等精度觀測，其觀測值A(chǔ)1=30°25′34″，A2=30°25′42″，它們的中誤差分別為2.0″和4.0″。求該角的最或是值及其中誤差。一、權(quán)的概念(1)將上述兩個不等精度觀測值的可靠程度等同看待，用算術(shù)平均值作為最可靠值并評定精度，則有:

(2)按照A1:

A2=4:1的比例進(jìn)行數(shù)據(jù)處理,則有：一、權(quán)的概念(3)按照A1:A2=10:1的比例進(jìn)行數(shù)據(jù)處理,則有：

對比三種數(shù)據(jù)處理方法可知，第二種求得的最或是值最理想，精度最高。由此說明，如果觀測值的觀測精度不同，在做數(shù)據(jù)處理時，不能將觀測值等同看待，而是精度高的所占比例較大，精度低的所占比例較小，并且二者的比例也必須適當(dāng)。一、權(quán)的概念衡量不同精度觀測值在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時所占的分量的輕重測量上稱為權(quán),定義式Pi代表第i個觀測值的權(quán)為比例常數(shù)可以任意選取，但比例不變。上例中4:1的比例就是按照權(quán)之比確定的。就定義式而言，當(dāng)Pi=1時，也就是說是權(quán)為1的觀測值的中誤差，在測量中權(quán)為1的觀測值稱為單位權(quán)觀測值，其中誤差就是單位權(quán)中誤差，的真正含義就是單位權(quán)中誤差。盡管是任選的，但一經(jīng)選定就有其具體含義。即它是其它觀測值用來對比的精度標(biāo)準(zhǔn)。精度高于它的，權(quán)大于1，反之則小于1，而精度與之相等的，則權(quán)必為1。在同一個問題中只能選取一個。二、測量中定權(quán)的常用方法1、水準(zhǔn)測量的權(quán)假設(shè)水準(zhǔn)測量中，每一測站觀測高差的精度相同，且中誤差均為。若第i條水準(zhǔn)路線共ni站，則該條水準(zhǔn)路線觀測的高差中誤差為若令C個測站觀測高差中誤差為單位權(quán)中誤差，則根據(jù)權(quán)的定義式可知，水準(zhǔn)測量中高差的權(quán)為當(dāng)ni=1時，Pi=C;Pi=1時，ni=C

上式表明：當(dāng)各測站觀測精度相同時，水準(zhǔn)路線觀測高差的權(quán)與其測站數(shù)成反比。C是1測站的觀測高差的權(quán)；C是單位權(quán)觀測高差的測站數(shù)；二、測量中定權(quán)的常用方法1、水準(zhǔn)測量的權(quán)假設(shè)水準(zhǔn)測量中，每一公里觀測高差的精度相同，且中誤差均為。若第i條水準(zhǔn)路線共Si公里，則該條水準(zhǔn)路線觀測的高差中誤差為若令Ckm觀測高差中誤差為單位權(quán)中誤差，則根據(jù)權(quán)的定義式可知，水準(zhǔn)測量中高差的權(quán)為當(dāng)Si=1時，Pi=C;Pi=1時，Si=C

上式表明：當(dāng)每公里觀測精度相同時，水準(zhǔn)路線觀測高差的權(quán)與其測站數(shù)成反比；C是1公里的觀測高差的權(quán)；C是單位權(quán)觀測高差的公里數(shù)；二、測量中定權(quán)的常用方法【例7-1】設(shè)某條水準(zhǔn)網(wǎng)由三條水準(zhǔn)路線，各條水準(zhǔn)路線的高差分別為h1、h2、h3，已知各條水準(zhǔn)路線的測站數(shù)分別為n1=15n2=30、n3=60站，試求(1)若C=60站，求三條水準(zhǔn)路線的權(quán)及比例；(2)若C=30站，求三條水準(zhǔn)路線的權(quán)及比例。解：(1)根據(jù)公式Pi=C/ni且C=60得P1=60/15=4P2=60/30=2P3=60/60=1P1:P2:P3=4:2:1二、測量中定權(quán)的常用方法(2)根據(jù)公式Pi=C/ni且C=30得P1=30/15=2P2=30/30=1P3=30/60=1/2P1:P2:P3=4:2:1

說明：即使取不同的C值，但權(quán)之間的比例保持不變。二、測量中定權(quán)的常用方法2、三角高程的權(quán)用三角測量推算的高差觀測值，其精度隨邊長的增加而急劇下降，其兩點(diǎn)間高差觀測值的權(quán)的計算公式為

Si為任一邊的水平距離；C為任意常數(shù)二、測量中定權(quán)的常用方法3、同精度觀測值算術(shù)平均值的權(quán)設(shè)同精度獨(dú)立觀測值L1,L2,…,Ln,它們分別是N1,N2,…,Nn次觀測值的平均值。設(shè)每次觀測中誤差是，則Li的中誤差為令,則由權(quán)的定義可得

三、協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)陣1、協(xié)因數(shù)由權(quán)的定義可知權(quán)與觀測值的方差成反比，設(shè)有觀測值Li和Lj，它們的方差分別為令稱Qii、Qjj為觀測值Li和Lj的協(xié)因數(shù)或權(quán)倒數(shù)；Qij為觀測值Li和Lj的互協(xié)因數(shù)。不難理解，有類似的作用，也可作為比較觀測值精度高低的一種指標(biāo)。協(xié)因數(shù)與方差成正比；互協(xié)因數(shù)有正負(fù)之分，絕對值越大相關(guān)性越大。三、協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)陣2、協(xié)因數(shù)陣當(dāng)有一組觀測值L1,L2,…,Ln構(gòu)成觀測向量,每個觀測值均有自己的協(xié)因數(shù)，任意兩個觀測值之間存在互協(xié)因數(shù)，于是我們定義協(xié)因數(shù)陣(QLL)如下觀測值相互獨(dú)立三、協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)陣3、權(quán)陣協(xié)因數(shù)可以表示觀測向量的相對精度，但平差過程中經(jīng)常用其逆矩陣參與運(yùn)算，定義協(xié)因數(shù)的逆矩陣為權(quán)陣，表示如下

對單個觀測值而言，權(quán)和協(xié)因數(shù)互為倒數(shù)，對觀測向量而言互為逆矩陣，注意權(quán)陣主對角線上的元素并不一定是對應(yīng)觀測值的權(quán)，這要分兩種情況：若觀測值相互獨(dú)立則主對角線的各個元素代表觀測值的權(quán)，若不獨(dú)立需通過協(xié)因數(shù)陣來求權(quán)。

三、協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)陣【例7-2】已知觀測向量L的權(quán)陣為,試求觀測向量L的協(xié)因數(shù)陣及觀測值L1、L2的權(quán)。解：因?yàn)橛^測向量L的協(xié)因數(shù)陣為權(quán)陣的逆矩陣，所以L的協(xié)因數(shù)陣為

所以L1、L2的協(xié)因數(shù)為Q11=Q22=1/3L1、L2的權(quán)為P1=P2=3思考P=?四、協(xié)因數(shù)及權(quán)倒數(shù)傳播定律1、協(xié)因數(shù)傳播定律由于任意觀測向量的協(xié)方差總是等于單位權(quán)方差因子乘以該向量的協(xié)因數(shù)陣，因此可以方便的由協(xié)方差傳播定律推導(dǎo)出協(xié)因數(shù)傳播定律即四、協(xié)因數(shù)及權(quán)倒數(shù)傳播定律2、權(quán)倒數(shù)傳播定律設(shè)有一觀測值的函數(shù),各觀測值誤差相互獨(dú)立對其求全微分得：