2021屆高考第一輪復習導數(shù)及其應用第二節(jié)

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1高考引航目錄2必備知識3關鍵能力高考引航必備知識答案知識清單一、函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導:①若

f'(x)>0,則

f(x)在這個區(qū)間內(nèi)

單調(diào)遞增

;②若

f'(x)<0,則

f(x)在這個區(qū)間內(nèi)

單調(diào)遞減

;③若

f'(x)=0,則

f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是

常數(shù)函數(shù)

.二、導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系①在區(qū)間(a,b)內(nèi),f'(x)>0(或f'(x)<0)是f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的充分不必要條件;②若在(a,b)的任意子區(qū)間內(nèi),f'(x)=0不恒成立,則f'(x)≥0(或f'(x)≤0)是可導函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的充要條件.答案基礎訓練解析C【解析】由圖象可知,當x∈(4,5)時,f'(x)>0,故f(x)在(4,5)上單調(diào)遞增.答案解析【解析】因為當x∈(0,π)時,f'(x)=-sin

x-1<0,所以f(x)在(0,π)上單調(diào)遞減,故選D.2.函數(shù)

f(x)=cos

x-x

在(0,π)上的單調(diào)性是(

D

).A.先增后減C.單調(diào)遞增B.先減后增D.單調(diào)遞減3.函數(shù)

f(x)=x-ln

x

的單調(diào)遞減區(qū)間為

(0,1)

.答案解析【解析】由f'(x)=1-1<0,得1>1,即x<1,又x>0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞??

??減區(qū)間為(0,1).4.已知

f(x)=x3-ax

在[1,+∞)上是增函數(shù),則實數(shù)

a

的最大值是

3

.【解析】當x≥1

時,f'(x)=3x2-a≥0,即a≤3x2,所以a≤3,即實數(shù)a

的最大值是3.題型歸納題型一

求不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性解析關鍵能力【例1】(2019

年全國Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)=ln

x-??+1.??-1討論f(x)的單調(diào)性,并證明f(x)有且僅有兩個零點;設

x0

是

f(x)的一個零點,證明曲線

y=ln

x

在點

A(x0,lnx0)處的切線也是曲線

y=ex

的切線.【解析】(1)f(x)的定義域為(0,1)∪(1,+∞).??

(??-1)2因為

f'(x)=1+

2

>0,所以

f(x)在(0,1),(1,+∞)上單調(diào)遞增.因為f(e)=1-e+1<0,f(e2)=2-e2

+1=e2

-3>0,e-1

e2-1

e2

-1所以f(x)在(1,+∞)上有唯一零點x1,即f(x1)=0.又0<

1

<1,f?

1

?=-lnx1+??1

+1=-f(x1)=0,所以f(x)在(0,1)上有唯一零點

1

.??1

??1

??1

-1

??1綜上,f(x)有且僅有兩個零點.??0(2)因為

1

=e-ln

??0

,所以點B?-ln

??0,

1

?在曲線y=ex

上.0

0由題設知f(x

)=0,即ln

x=

0

??

+1??0,故直線AB

的斜率k=??0

1

-ln

??0??0

-1

-ln

??0

-??0

1

-??

0+1??

0-1-??

0+1-??0=

??

0

??

0-1

=1??0.曲線y=ex

在點B?-ln

??0,

1

?處切線的斜率是

1

,曲線y=ln

x

在點A(x0,ln

x0)處切線的??0

??0斜率也是

1

,??0所以曲線y=ln

x

在點A(x0,ln

x0)處的切線也是曲線y=ex

的切線.點撥：求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:確定函數(shù)f(x)的定義域;求f'(x);在定義域內(nèi)解不等式f'(x)>0,得單調(diào)遞增區(qū)間;(4)在定義域內(nèi)解不等式f'(x)<0,得單調(diào)遞減區(qū)間.提醒:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,一定要先確定函數(shù)的定義域,否則極易出錯.A.(0,1]C.(-∞,-1]∪(0,1]B.[1,+∞)D.[-1,0)∪(0,1](2)(2020

屆北京高考模擬)已知函數(shù)f(x)=x-2sin

x+1.①求曲線y=f(x)在x=0

處的切線方程;②求f(x)在(0,π)上的單調(diào)區(qū)間.答案解析【追蹤訓練1】(1)(2020

屆河北省二模)函數(shù)f(x)=x2-2ln

x

的單調(diào)遞減區(qū)間是(

A

).【解析】(1)f'(x)=2x-2=2??

2

-2(x>0),令f'(x)≤0,解得0<x≤1.??

??(2)①因為f(x)=x-2sin

x+1,所以f'(x)=1-2cos

x,則f(0)=1,f'(0)=-1,所以切線方程為y=-x+1.②令f'(x)=0,即cos

x=1,x∈(0,π),得x=π,2

3當x

變化時,f'(x),f(x)變化情況如下:x?0,

???3??3???

,???3f'(x)-0+f(x)↘極小值↗所以函數(shù)f(x)在(0,π)上的單調(diào)遞減區(qū)間為?0,π?,單調(diào)遞增區(qū)間為?π

,π?.3

3????

2

??

2【解析】f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=-

1

-1+??

=-??

2-????+1.①若a≤2,則f'(x)≤0,當且僅當a=2,x=1

時,f'(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.②若a>2,令f'(x)=0,得x=或x=??-???

2-4

??

+???

2-42

2.當x∈?0,?∪???-???

2-4

??+???

2-42

2,+∞?時,f'(x)<0;當x∈???-???

2-42,??+???

2-42?時,f'(x)>0.所以f(x)在?0,??-???

2-42?,???+???

2-42,+∞?上單調(diào)遞減,在???-???

2-42,??+???

2-42?上單調(diào)遞增.題型二

求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性解析??【例2】已知函數(shù)f(x)=1-x+aln

x,討論f(x)的單調(diào)性.點撥：解決含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題時應注意的兩點:研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性,要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,要在函數(shù)定義域內(nèi)討論,還要確定導數(shù)為

0的點和函數(shù)的間斷點.e??【追蹤訓練2】(2020

屆遼寧高考模擬)已知a≤0,設函數(shù)f(x)=????2+??+??,討論f(x)的單調(diào)性.【解析】f'(x)=-(??-1)(????+1-??).e??若a=0,則f'(x)=-??-1,當x<1

時,f'(x)>0,當x>1

時,f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,1)上單調(diào)e??遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.若a<0,由f'(x)=0

得x=1

或x=1-1,因為1-1>1,所以當x<1

或x>1-1時,f'(x)>0,當??

??

??1<x<1-1時,f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),?1-1

,+∞?上單調(diào)遞增,在?1,1-1?上單調(diào)遞減.??

??

??解析題型三

函數(shù)單調(diào)性的應用解析【例3】(2020

屆日照質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=ln

x,g(x)=1ax2+2x(a≠0).2若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實數(shù)a

的取值范圍;若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上單調(diào)遞減,求實數(shù)a

的取值范圍.【解析】(1)因為h(x)=ln

x-1ax2-2x,x∈(0,+∞),所以h'(x)=1-ax-2.2

??因為h(x)在(0,+∞)上存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以當x∈(0,+∞)時,1-ax-2<0

有解,即a>

1

-2有解,?? ??

2

????

2

??min設

G(x)=

1

-2,所以只要

a>G(x)

即可.??而G(x)=?1

-1?2-1,所以G(x)min=-1.所以a>-1.故實數(shù)a

的取值范圍為(-1,+∞).(2)由h(x)在[1,4]上單調(diào)遞減知,當x∈[1,4]時,h'(x)=1-ax-2≤0

恒成立,即a≥

1

-2恒成立.?? ??

2

??max??所以

a≥G(x) ,而

G(x)=?1

-1?2

-1,max因為x∈[1,4],所以1∈?1

,1?,所以G(x)??

4

16=-7

(此時x=4),所以a≥-

7

,故實數(shù)a

的取值范圍是?-7

,+∞?.16

16點撥：由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法:可導函數(shù)在區(qū)間(a,b)上單調(diào),實際上就是在該區(qū)間上f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立,得到關于參數(shù)的不等式,從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,求出參數(shù)的取值范圍.可導函數(shù)在區(qū)間(a,b)上存在單調(diào)區(qū)間,實際上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在該區(qū)間上存在解集,從而轉(zhuǎn)化為不等式問題,求出參數(shù)的取值范圍.若已知f(x)在區(qū)間Ⅰ上的單調(diào)性,區(qū)間Ⅰ上含有參數(shù)時,可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間,令Ⅰ是其單調(diào)區(qū)間的子集,從而求出參數(shù)的取值范圍.解析【追蹤訓練3】(2020

屆江蘇模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2-bx+ln

x(a,b∈R).若a=1,b=3,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.若b=0,不等式f(x)≤0

在[1,+∞)上恒成立,求實數(shù)a

的取值范圍.【解析】(1)由題意得,當x>0,a=1,b=3

時,f(x)=x2-3x+lnx,f'(x)=2x-3+1=(2??-1)(??-1),令f'(x)>0,解得0<x<1或x>1,??

??

22故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為?0,1?,(1,+∞).??

2(2)若b=0,則f(x)=ax2+ln

x,不等式f(x)≤0

在[1,+∞)上恒成立,即a≤-ln??在區(qū)間[1,+∞)上恒成立.令h(x)=-ln??(x≥1),則h'(x)=2ln

??-1,??

2

??

3令h'(x)>0,解得x>√e,令h'(x)<0,解得1<x<√e,2e故h(x)在(1,√e)上單調(diào)遞減,在(√e,+∞)上單調(diào)遞增,故h(x)min=h(√e)=-

1

,2e故a≤-

1

.2e故實數(shù)a

的取值范圍為?-∞,-

1

?.方法突破方法一巧用轉(zhuǎn)化思想,妙求參數(shù)轉(zhuǎn)化思想在導數(shù)研究函數(shù)中應用廣泛,如根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般方法是轉(zhuǎn)化為集合間的包含關系,建立不等式處理或轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題解決,即利用“若函數(shù)單調(diào)遞增,則f'(x)≥0;若函數(shù)單調(diào)遞減,則f'(x)≤0”來求解.【突破訓練1】(2020

屆河北武邑調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a∈R,e

為自然對數(shù)的底數(shù)).討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;若a=1,函數(shù)g(x)=(x-m)f(x)-ex+x2+x在(2,+∞)上為增函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍.解析【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域為R,f'(x)=ex-a.當a≤0

時,f'(x)>0,∴f(x)在R

上單調(diào)遞增.當a>0

時,由f'(x)=0

得x=ln

a,則當x∈(-∞,ln

a)時,f'(x)<0,∴函數(shù)f(x)在(-∞,ln

a)上單調(diào)遞減;當x∈(ln

a,+∞)時,f'(x)>0,∴函數(shù)f(x)在(ln

a,+∞)上單調(diào)遞增.(2)當a=1

時,g(x)=(x-m)(ex-x)-ex+x2+x.∵g(x)在(2,+∞)上為增函數(shù),∴g'(x)=xex-mex+m+1≥0

在(2,+∞)上恒成立,即m≤??e??

+1在(2,+∞)上恒成立.令h(x)=??e??

+1,x∈(2,+∞),則h'(x)=e2??

-??e??

-2e??

=e??

(e??

-??-2).e??

-1

e??

-1

(e??

-1)2

(e??

-1)2令L(x)=ex-x-2,則L'(x)=ex-1>0

在(2,+∞)上恒成立,即L(x)=ex-x-2

在(2,+∞)上單調(diào)遞增,∴L(x)>L(2)=e2-4>0,e??

-1∴h'(x)>0

在(2,+∞)上恒成立,即h(x)=??e??

+1在(2,+∞)上單調(diào)遞增,∴h(x)>h(2)=2e2+1,