歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助!歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助!感謝閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助!感謝閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助!歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助!感謝閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助!第三章效用、損失和風(fēng)險(xiǎn)(Utility,LossandRisk)本章主要參考文獻(xiàn)：60，56，86，87，92，129，156，169，183，184§3—1效用的定義和公理系統(tǒng)一、引言·為什么要引入效用決策問題的特點(diǎn)：自然狀態(tài)不確定——以概率表示；后果價(jià)值待定：以效用度量。1.無形后果，非數(shù)字量(如信譽(yù)、威信、出門帶傘問題的后果)需以數(shù)值度量；2.即使是數(shù)值量(例如貨幣)表示的后果，其價(jià)值仍有待確定，后果的價(jià)值因人而異。例一：同是100元錢，對窮人和百萬富翁的價(jià)值絕然不同；對同一個(gè)人，身無分文時(shí)的100元，與已有10000元再增加100元的作用不同，這是錢的邊緣價(jià)值問題。例二：上圖作為商業(yè)、經(jīng)營中實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型有普遍意義有人認(rèn)為打賭不如禮品,即*由上面兩個(gè)例子可知：在進(jìn)行決策分析時(shí)，存在如何描述(表達(dá))后果的實(shí)際價(jià)值，以便反映決策的人偏好次序(preferenceorder)的問題*偏好次序是決策人的個(gè)性與價(jià)值觀的反映，與決策人所處的社會、經(jīng)濟(jì)地位，文化素養(yǎng)，心理和生理(身體)狀態(tài)有關(guān)。*除風(fēng)險(xiǎn)偏好之外，還時(shí)間偏好。i,折扣率ii,其他而效用(Utility)就是偏好的量化，是數(shù)(實(shí)值函數(shù)).DanielBernoulli在1738年指出：若一個(gè)人面臨從給定行動集(風(fēng)險(xiǎn)性展望集)中作選擇的決策問題，如果他知道與給定行動有關(guān)的將來的自然狀態(tài)，且這些狀態(tài)出現(xiàn)的概率已知或可以估計(jì)，則他應(yīng)選擇對各種可能后果的偏好的期望值最高的行動。二、效用的定義1.符號i,AB(即APB)讀作A優(yōu)于B：(Prefer(ed)AtoB)AB(即ARB)A不劣于BA～B(即AIB)A無差別于B(Indifference)ii,展望(prospect):可能的前景即各種后果及后果出現(xiàn)概率的組合P=(……)既考慮各種后果(consequence)又考慮了各種后果的概率(probabilityorlikelihood)分布所有P的集合記作piii,抽獎(jiǎng)(lottery)與確定當(dāng)量若(;)則稱確定性后果為抽獎(jiǎng)(;)的確定當(dāng)量2.效用的定義(A)在集合p上的實(shí)值函數(shù)u，若它和p上的優(yōu)先關(guān)系一致，即:若p,iffu()≥u()則稱u為效用函數(shù)三、效用存在性公理理性行為公理VonNeumann-Morenstern,1994[169]·公理1連通性(Connectivity)又稱可比性p,則oror·公理2傳遞性(Transitivity)p,若,則·公理3替代性公理(加等量時(shí)優(yōu)先關(guān)系不變)若p,且01則對任何∈p,必有+(1-)+(1-)或者表達(dá)成：,則+(1-)+(1-)即二種后果中，決策人所偏好的后果出現(xiàn)機(jī)會較大的情況是決策人所喜愛的?！す?連續(xù)性公理----偏好的有界性若則存在01,01,使+(1-)+(1-)由+(1-)可知不是無窮劣,即u()由+(1-)可知不是無窮優(yōu),即u()即使是死亡，亦不至于無窮劣例：i,過馬路若死亡為無窮劣，則不能過馬路ii,狂犬病疫苗上述公理看來是合乎理性的，事實(shí)上并不盡然.例：Allais悖論（Paradox〕例如，1953年Allais在一次學(xué)術(shù)會議上提出如下問題，請效用理論權(quán)威Svage回答Savage的回答是A組寧擇i，B組寧擇ii，Allais指出：B組的i,ii,均以0.89的$500,000取代0.89的$0，即與A組的i,ii,相對應(yīng)，照公理3、A、B兩組中i,ii,的優(yōu)先關(guān)系應(yīng)當(dāng)不變。Savage當(dāng)時(shí)語塞。·效用的公理化定義在上述公理系統(tǒng)中，若p上存在實(shí)值函數(shù)u，使i,當(dāng)且僅當(dāng)u()＞u()ii.u(α,;1-α,)=αu()+(1-α)u()iii,對滿足上述條件的,必有()=b()+c,其中b,c∈,b＞0則u(P)稱為(基數(shù))效用函數(shù)*關(guān)于線性：將ii.u(α,;1-α,)=αu()+(1-α)u()推廣到一般,若∈p;≥0,i=1,2,…m;=1;則u()=u()四、基數(shù)效用與序數(shù)效用(Cardinal&OrdinalUtility)基數(shù)：實(shí)數(shù)：1，2，3,π序數(shù)：第一，二，…，4，3，2，1·區(qū)別：1.基數(shù)效用定義在展望集p上(考慮后果及其概率分布),是實(shí)數(shù);序數(shù)效用定義在后果集C上，不涉及概率，可以是整正數(shù)2.基數(shù)效用反映偏好強(qiáng)度：(正線性變換下唯一)原數(shù)列可變換為:b+c,2b+c,3b+c,πb+c;其中b,c∈,b＞0.而序數(shù)效用不反映偏好強(qiáng)度，(保序變換下唯一),原序數(shù)列可變換為16,9,4,1;或8,6,4,2,或10,7,6,1等.·序數(shù)效用的存在性公理1.連通性(可比)2.傳遞性3.對任何確定的后果x，優(yōu)勢集與劣勢集均為閉集。(教材：P29§3.1)§3.2效用函數(shù)的構(gòu)造一、離散型的概率分布后果元素有限·各后果效用設(shè)定的步驟NM法由公理4:若,則可找到0<α<1,使α+(1-α)第一步：選定,C,使令u()=0,u()=1所選擇的、應(yīng)使比較易于進(jìn)行.第二步：對,求α(0<α<1),使α+(1-α)則u()=u(α+(1-α))=αu()+(1-α)u()第三步：若,求α(0<α<1),使α+(1-α)則u()=u(α+(1-α))=αu()+(1-α)u()u()=α/(α-1)第四步：若,求α(0<α<1),使α+(1-α)則u()=u(α+(1-α))=αu()u()=1/α第五步：一致性校驗(yàn)設(shè)且,,已知，由α+(1-α)求得u’()若u’()與已知的u()不符，則反復(fù)進(jìn)行二、三、四步，直到一致性校驗(yàn)通過.例設(shè)一、u()=0,u()=1二、0.7+0.3u()=0.7三、0.4+0.6u()=0.4校驗(yàn)設(shè)0.4+0.6u’()=0.66≠0.7重復(fù)二、三、若u()不變u()=0.5則通過校驗(yàn).二、連續(xù)型后果集·當(dāng)C為連續(xù)變量時(shí),u(c)是光滑的，因此可分段構(gòu)造，求特征點(diǎn)的效用，再連成光滑曲線例1.每天學(xué)習(xí)時(shí)間的效用曲線在10～12小時(shí)／日處效用最大8小時(shí)／日處效率最高(效用／小時(shí))例2.見講義P31之例·注意：效用的唯一性(在正線性變換下唯一)使效用的值域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)軸，而不必限于[0,1]§3.3風(fēng)險(xiǎn)與效用一、效用函數(shù)包含的內(nèi)容1.對風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度風(fēng)險(xiǎn)厭惡(RiskAversion)風(fēng)險(xiǎn)中立(RiskNeutralness)風(fēng)險(xiǎn)追求(RiskProneness)即有冒險(xiǎn)傾向以上是初期對風(fēng)險(xiǎn)的解釋(PrattC.,1964)2.對后果的偏好強(qiáng)度錢的邊緣價(jià)值：設(shè)某人現(xiàn)有積蓄為0，增加800地的作用(價(jià)值)與有了800元后再加1200元相等,則此人的財(cái)富的價(jià)值函數(shù)是凹函數(shù)。若他認(rèn)為800元(0.5,0;0.5,2000),則與其說此人是風(fēng)險(xiǎn)厭惡不如說他是相對風(fēng)險(xiǎn)中立。為此有必要對確定性后果的偏好強(qiáng)度加以量化。3.效用表示時(shí)間偏好十分復(fù)雜，我們在第八章再介紹。二、可測價(jià)值函數(shù)——確定性后果偏好強(qiáng)度的量化定義：在后果空間X上的實(shí)值函數(shù)v，對ω，x,y,z∈X有i,ωxyz當(dāng)且僅當(dāng)υ(ω)-υ(x)≥υ(y)-υ(z),且ii,v對正線性變換是唯一確定的。則稱υ為可測價(jià)值函數(shù)說明：i，ωxyz表示ω,x之間偏好強(qiáng)度之差超過y,z之間偏好強(qiáng)度之差,ii,由定義之ii，可測價(jià)值函數(shù)具有基數(shù)性質(zhì)但與基數(shù)效用不同：VF不反映DMer的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度。iii，它定在后果空間上，能起序數(shù)效用的作用但又與OUF不同：能反映后果的偏好強(qiáng)度.三、相對風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度設(shè)效用函數(shù)u和測價(jià)值函數(shù)v在X上都是單調(diào)遞增，且連續(xù)二次可微。1.風(fēng)險(xiǎn)的局部測度>0u在x處凹,風(fēng)險(xiǎn)厭惡r(x)=-u”(x)/u’(x)=0u在x處線性,風(fēng)險(xiǎn)中立<0u在x處凸,風(fēng)險(xiǎn)追求2.偏好強(qiáng)度的局部測度>0在x處有遞減的邊緣價(jià)值m(x)=-v”(x)/v’(x)=0在x處有不變的邊緣價(jià)值<0在x處有遞增的邊緣價(jià)值3.真正的(相對)風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的定義若m(x)＜r(x)稱為在X'區(qū)內(nèi)相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡m(x)=r(x)稱為在X'內(nèi)相對風(fēng)險(xiǎn)中立m(x)=r(x)稱為在X'內(nèi)相對風(fēng)險(xiǎn)追求四、風(fēng)險(xiǎn)酬金kE(x)-S這是決策人為了避免風(fēng)險(xiǎn)而顧意損失的金額k=f(v,P)五、錢的效用1.性質(zhì)i,單調(diào)遞增：愈多愈好有界：全世界財(cái)富總量不足$,u()與u()幾乎無差異ii,x較小(相對于決策人資產(chǎn)而言)時(shí),u(x)近乎線性iii,x>0時(shí)u(x)通常是凹的遞減的邊緣價(jià)值風(fēng)險(xiǎn)厭惡x>0與x<0的形狀不同,負(fù)債較多有追求風(fēng)險(xiǎn)的傾向.2.錢的效用曲線的構(gòu)成設(shè)某人現(xiàn)有1000元存款(某商店有資產(chǎn)10萬，企業(yè)有1000萬等等)i,NM法(見§3.2)利用～α+(1-α)ii,修正的NM法利用～0.5+0.5例:設(shè)u(0)=0),u(1000)=1有300～0.5<0>+0.5<1000>u(300)=0.5又125～0.5<0>+0.5<100>u(125)=0.25550～0.5<300>+0.5<1000>u(550)=0.75由0～0.5<a>+0.5<500>設(shè)a=-250則u(-250)=-u(500)=-0.72-250～0.5<b>+0.5<0>原因：i,價(jià)值函數(shù)是S型ii,在一定范圍內(nèi)相對風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度不變iii,負(fù)債到一定程度以上有冒險(xiǎn)傾向Friedmann-Savage效用曲線(1948):§3.4損失、風(fēng)險(xiǎn)和貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)一、損失函數(shù)L有些文獻(xiàn)采用損失函數(shù)進(jìn)行分析∵u(c)=u(θ,a)∴l(xiāng)(θ,a)-u(θ,a)則損失函數(shù)與效用作用相同為了使損失值非負(fù)，可取l(θ,a)=u(θ,a)-u(θ,a)二、風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)自然狀態(tài)集Θ-----參數(shù)空間行動集A-----決策空間觀察值集X-----測度空間決策規(guī)則δ:x→a,,Δ為策略空間損失l(