§7.1.1數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：從實數(shù)系擴充到復(fù)數(shù)系的過程與方法，復(fù)數(shù)的概念.內(nèi)容解析：本節(jié)課選自《普通高中課程標準數(shù)學(xué)教科書-必修第二冊》（人教A版）第七章第1節(jié)的內(nèi)容．本節(jié)內(nèi)容是數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念，基于之前所學(xué)的數(shù)系的發(fā)展歷程，由一元二次方程的根的問題導(dǎo)入，將數(shù)學(xué)擴充到復(fù)數(shù)范圍，并研究復(fù)數(shù)的概念，為復(fù)數(shù)的運算打好基礎(chǔ)。復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴充，引入復(fù)數(shù)以后，這不僅可以使學(xué)生對于數(shù)的概念有一個初步的、完整的認知，也為進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ).通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，要使學(xué)生在問題情境中了解數(shù)系擴充的過程以及引入復(fù)數(shù)的必要性，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的一些基本知識，體會人類理性思維在數(shù)系擴充中的作用.二、目標和目標解析目標：（1）了解引進虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)集的擴充過程．（2）理解復(fù)數(shù)的概念、表示法及相關(guān)概念．（3）掌握復(fù)數(shù)的分類及復(fù)數(shù)相等的充要條件．目標解析：（1）能夠通過方程的解，感受引入復(fù)數(shù)的必要性，體會實際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾(數(shù)的運算規(guī)則、方程求根)在數(shù)系擴充過程中的作用．（2）學(xué)生能夠從自然數(shù)系逐步擴充到實數(shù)系的過程中，歸納出數(shù)系擴充的一般“規(guī)則"，體會擴充的合理性及人類理性思維在數(shù)系擴充中的作用．（3）學(xué)生能說明虛數(shù)i的由來，能夠明晰復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的基本結(jié)構(gòu)，會對復(fù)數(shù)進行分類，會用Venn圖表示復(fù)數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系；知道兩個復(fù)數(shù)相等的含義，能利用復(fù)數(shù)概念和復(fù)數(shù)相等的含義解決相關(guān)的簡單問題．基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點定為：復(fù)數(shù)的分類及復(fù)數(shù)相等的充要條件．三、教學(xué)問題診斷分析1．教學(xué)問題一：因為現(xiàn)實生活中沒有任何事物支持虛數(shù)，學(xué)生可能會懷疑引入復(fù)數(shù)的必要性，在教學(xué)中，如果單純地講解或介紹復(fù)數(shù)的概念會顯得枯燥無味，學(xué)生不易接受．解決方案：適當介紹數(shù)的發(fā)展簡史，增強學(xué)生學(xué)習(xí)的生動性．2．教學(xué)問題二：由于知識儲備和認知能力的限制，學(xué)生對數(shù)系擴充的一般規(guī)則并不熟悉，對虛數(shù)單位的引入，以及虛數(shù)單位和實數(shù)進行形式化運算的理解會出現(xiàn)一定困難．解決方案：通過解方程問題引導(dǎo)，借助已有的數(shù)系擴充的經(jīng)驗，特別是從有理數(shù)系擴充到實數(shù)系的經(jīng)驗，從特殊到一般，幫助學(xué)生梳理出數(shù)系擴充過程中體現(xiàn)的“規(guī)則”，進而在“規(guī)則”的引導(dǎo)下進行從實數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴充，感受引入復(fù)數(shù)的必要性和合理性．3．教學(xué)問題三：學(xué)生以前學(xué)習(xí)過的數(shù)都是單純的一個數(shù)，而復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是兩項和的形式，學(xué)生比較陌生，因此理解上會存在一定困難．解決方案：引導(dǎo)學(xué)生按照“規(guī)則”自主探究出復(fù)數(shù)集中可能存在的各種數(shù)，并歸納總結(jié)出復(fù)數(shù)的一般表示方法，經(jīng)歷復(fù)數(shù)形式化的過程．基于上述情況，本節(jié)課的教學(xué)難點定為：理解復(fù)數(shù)的概念、表示法及相關(guān)概念．四、教學(xué)策略分析本節(jié)課的教學(xué)目標與教學(xué)問題為我們選擇教學(xué)策略提供了啟示．為了讓學(xué)生類比得到復(fù)數(shù)的概念，應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造積極探究的平臺，可以讓學(xué)生從被動學(xué)習(xí)狀態(tài)轉(zhuǎn)到主動學(xué)習(xí)狀態(tài)中來．在教學(xué)設(shè)計中，采取問題引導(dǎo)方式來組織課堂教學(xué)．問題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問題主線，通過自主探究達到突出教學(xué)重點，突破教學(xué)難點．在教學(xué)過程中，重視復(fù)數(shù)概念的理解和表示，讓學(xué)生體會數(shù)系擴充的基本過程．五、教學(xué)過程與設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)問題或任務(wù)師生活動設(shè)計意圖復(fù)習(xí)回顧，溫故知新[問題1]N、Z、Q、R分別代表什么？它們的如何發(fā)展得來的？[問題2]若給方程SKIPIF1<0一個解SKIPIF1<0，則這個解SKIPIF1<0要滿足什么條件？SKIPIF1<0是否在實數(shù)集中？實數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相乘、相加的結(jié)果應(yīng)如何？教師1：提出問題1．學(xué)生1：學(xué)生思考．教師2：提出問題2．學(xué)生2：學(xué)生思考．通過復(fù)習(xí)數(shù)系的擴充過程，引入本節(jié)新課。建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力。探索交流，解決問題閱讀課本，思考以下問題：[問題3]實數(shù)系經(jīng)過擴充后得到的新數(shù)集是什么？[問題4]什么是復(fù)數(shù)？[問題5]復(fù)數(shù)如何表示？什么是復(fù)數(shù)的實部和虛部？[問題6]如何確定兩個復(fù)數(shù)是否相等？[問題7]復(fù)數(shù)集如何分類？[問題8]兩個復(fù)數(shù)一定能比較大小嗎？[問題9]復(fù)數(shù)z＝a＋bi的虛部b可以為零嗎？教師3：提出問題3．學(xué)生3：復(fù)數(shù)集.教師4：提出問題4．學(xué)生4：復(fù)數(shù)定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i2＝－1．全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.教師5：提出問題5．學(xué)生5：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，代數(shù)形式為z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實部與虛部．教師6：提出問題6.學(xué)生6：在復(fù)數(shù)集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個數(shù)a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我們規(guī)定：a＋bi與c＋di相等當且僅當a＝c且b＝d.教師7：提出問題7.學(xué)生7：對于復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)，當且僅當b＝0時，它是實數(shù)；當且僅當a＝b＝0時，它是實數(shù)0；當b≠0時，叫做虛數(shù)；當a＝0且b≠0時，叫做純虛數(shù).這樣，復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)可以分類如下：復(fù)數(shù)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(實數(shù)（b＝0），,虛數(shù)（b≠0）（當a＝0時為純虛數(shù)）.))教師8：提出問題8.學(xué)生8：不一定，只有當這兩個復(fù)數(shù)是實數(shù)時，才能比較大小.教師9：提出問題9.學(xué)生9：可以.當b＝0時，z為實數(shù).通過思考，引入虛數(shù)單位，提高學(xué)生分析問題、概括能力。典例分析，舉一反三1.復(fù)數(shù)的概念例1下列命題中，正確命題的個數(shù)是()①若x，y∈C，則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y(tǒng)＝1；②若a，b∈R且a>b，則a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，則x＝y(tǒng)＝0；④一個復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是這個復(fù)數(shù)的實部等于零；⑤－1沒有平方根；⑥若a∈R，則(a＋1)i是純虛數(shù)．A．0B．1C．2D．32.復(fù)數(shù)的分類例2實數(shù)x分別取什么值時，復(fù)數(shù)z＝eq\f(x2－x－6,x＋3)＋(x2－2x－15)i是(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)．3.復(fù)數(shù)相等的充要條件例3根據(jù)下列條件，分別求實數(shù)x，y的值．(1)x2－y2＋2xyi＝2i；(2)(2x－1)＋i＝y(tǒng)－(3－y)i.[課堂練習(xí)1]實數(shù)m為何值時，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)．[課堂練習(xí)2]已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求實數(shù)m的值．教師10：完成例題1.學(xué)生10：全部錯誤，答案選A教師11：完成例題2.學(xué)生11：(1)x＝5時，z是實數(shù)．(2)x≠－3且x≠5時，z是虛數(shù)．(3)x＝－2或x＝3時，z是純虛數(shù)．教師12：完成例題3．學(xué)生12：(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝4.))．教師13：布置課堂練習(xí)1、2．學(xué)生13：完成課堂練習(xí)，并核對答案．通過例題1，進一步鞏固復(fù)數(shù)的概念，提高學(xué)生的概括問題的能力、解決問題的能力。通過例題2、3進一步鞏固復(fù)數(shù)的分類和相等，提高學(xué)生的概括問題的能力、解決問題的能力。[課堂練習(xí)1]鞏固復(fù)數(shù)的分類．[課堂練習(xí)2]鞏固復(fù)數(shù)的相等.課堂小結(jié)升華認知[問題10]通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？[課后練習(xí)]1.已知復(fù)數(shù)z＝a2－(2－b)i的實部和虛部分別是2和3，則實數(shù)a，b的值分別是()A.eq\r(2)，1B.eq\r(2)，5C.±eq\r(2)，5D.±eq\r(2)，12.下列復(fù)數(shù)中，滿足方程x2＋2＝0的是()A.±1B.±iC.±eq\r(2)iD.±2i3.i202