4-6.4.3余弦定理、正弦定理第1課時(shí)正弦定理教材分析：本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)-必修第二冊(cè)》（人教A版）第六章《平面向量及其應(yīng)用》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)正弦定理，用正弦定理來(lái)解三角形?！墩叶ɡ怼肥侨切卫碚撝械囊粋€(gè)重要內(nèi)容,與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊和角的基本關(guān)系有密切的聯(lián)系。在此之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)、余弦定理,知識(shí)儲(chǔ)備已足夠。它是后續(xù)課程中解三角形的理論依據(jù),也是解決實(shí)際生活中許多測(cè)量問(wèn)題的工具。因此熟練掌握正弦定理能為接下來(lái)學(xué)習(xí)解三角形打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ),并能在實(shí)際應(yīng)用中靈活變通。教學(xué)目標(biāo)及核心素養(yǎng)：課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A理解并掌握正弦定理的推導(dǎo)過(guò)程；B.運(yùn)用正弦定理解三角形；C.探索正弦定理的多種證明方法。1.數(shù)學(xué)抽象：正弦定理的識(shí)記；2.邏輯推理：正弦定理的證明；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：用正弦定理解三角形；教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的幾種形式以及兩類主要的應(yīng)用。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：正弦定理的推導(dǎo)與證明。學(xué)習(xí)方法：自主學(xué)習(xí)、合作探究教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué)教學(xué)過(guò)程：一、情景導(dǎo)入，點(diǎn)然激情從金字塔的建造到尼羅河兩岸的土地丈量，從大禹治水到都江堰的修建，從天文觀測(cè)到精密儀器的制造，人們都離不開(kāi)對(duì)幾何圖形的測(cè)量、設(shè)計(jì)和計(jì)算．測(cè)量河流兩岸兩碼頭之間的距離，確定待建隧道的長(zhǎng)度，確定衛(wèi)星的角度與高度等等，所有這些問(wèn)題，都可以轉(zhuǎn)化為求三角形的邊或角的問(wèn)題，這就需要我們進(jìn)一步探索三角形中的邊角關(guān)系．二、合作探究、“三會(huì)”培養(yǎng)探究1觀察：在直角三角形ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊的長(zhǎng)分別a,b,c.則各角的正弦如何表示？sinA=,sinB=,sinC==c===在Rt中，我們得到。探究2猜想：對(duì)于任意三角形，這個(gè)結(jié)論還成立嗎？(1)，，(2)，，(3)，，(4)，，三、師生釋疑、深度學(xué)習(xí)把學(xué)生分成兩組：第一組，驗(yàn)證結(jié)論對(duì)于銳角三角形是否成立；第二組，驗(yàn)證結(jié)論對(duì)于鈍角三角形是否成立．師生共同活動(dòng)，注意啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生作輔助線，將銳角、鈍角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，進(jìn)而探索證明過(guò)程．經(jīng)過(guò)討論，可歸納出如下證法．證法一：（1）直角三角形（已證）（2）銳角三角形D證明：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥ABD則因此，。同理可得（1）的證明（2）的證明(3)鈍角三角形（與在銳角三角形中的證明有何異同）相同之處:原理相同，轉(zhuǎn)化的思想不同之處：sinB的表示（結(jié)探究過(guò)程：觀察—類比—猜想—證明;分類討論；轉(zhuǎn)化的思想）得到結(jié)論：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦之比相等，即證法二利用三角形的面積轉(zhuǎn)化，先作出三邊上的高、、，則，，．所以==，每項(xiàng)同時(shí)除以，得探究3充分挖掘三角形中的等量關(guān)系，可以探索出不同的證明方法，我們知道向量也是解決問(wèn)題的重要工具，因此能否從向量的角度來(lái)證明這個(gè)結(jié)論呢？在中，有，設(shè)為最大角，過(guò)點(diǎn)作于，（圖3），于是，設(shè)與的夾角為，則，其中，當(dāng)為銳角或者直角時(shí)，；當(dāng)為鈍角時(shí)，．故可得，即．同理可得．因此．這里運(yùn)用向量的數(shù)量積將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量等式，我們運(yùn)用不同的方法證明了三角形中的一個(gè)重要定理．探究4正弦定理說(shuō)明在一個(gè)三角形中，各邊與所對(duì)角的正弦的比相等，你能想辦法求出這個(gè)比值嗎？ABABCD由此可得，任意三角形中，每一條邊長(zhǎng)和對(duì)角正弦的比值都等于三角形外接圓直徑。正弦定理內(nèi)容：我們把三角形邊角關(guān)系的這條性質(zhì)稱為正弦定理（lawofsines），即在任意一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)的角的正弦的比相等，即：根據(jù)正弦定理這個(gè)等式，如果把期中某一個(gè)量看做未知量，那么根據(jù)方程思想，我們就可以解決三角形的哪些問(wèn)題呢？（1）如果已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，求三角形的另一個(gè)角和另兩邊。如：；（2）如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，求另一邊與另兩個(gè)角。如：四、拓展延伸、升華素養(yǎng)1.例題講解：例1：在中，已知解三角形。分析：已知三角形中兩角及一邊，求其他元素，第一步可由三角形內(nèi)角和求出第三個(gè)角，再由正弦定理求其他兩邊。例2：在中，已知解三角形。分析：已知三角形兩邊與其中一邊的對(duì)角，第一步可以根據(jù)正弦定理得到B的正弦，會(huì)出現(xiàn)兩種情形，接下來(lái)就要進(jìn)行分類討論。2.能力提升：（1）在中，a=3,b=3,B=60,求a邊所對(duì)角的正弦值。（2）在中，A=60，B=75，a=10,求邊c。五、課堂小結(jié)本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？有什么收獲？（學(xué)生小結(jié)，相互補(bǔ)充。）1、正弦定理的內(nèi)容（）及其證明的思想方法；2、正弦定理的主要應(yīng)用：已知三角形的兩角及一邊，求其他元素；已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他元素；3、轉(zhuǎn)化化歸的思想、方程的思想、分類討論的思想。六、課后作業(yè)教材48頁(yè)1，2，3題?！窘虒W(xué)反思】本節(jié)課較好的完成了教學(xué)任務(wù)，實(shí)現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)。在教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)上充分考慮了學(xué)生的實(shí)際情況，從復(fù)習(xí)初中所學(xué)的直角三角形的邊角關(guān)系引入，為學(xué)生接下來(lái)探究三角形的面積做好鋪墊和引導(dǎo)。而不會(huì)讓學(xué)生感到很突兀，不知道從哪個(gè)角度入手。我的這個(gè)引入設(shè)計(jì)看上去很簡(jiǎn)單，但卻是有心之作，是以學(xué)生為中心的一個(gè)設(shè)計(jì)。從后面對(duì)三角形面積的探究來(lái)看，這一個(gè)引入做的還是很成功的。本節(jié)課的第一個(gè)探究環(huán)節(jié)是對(duì)三角形面積公式的研究推導(dǎo)，學(xué)生先獨(dú)立思考再小組交流討論，讓他們有了一定的結(jié)論和方法之后再交流討論，很好的保護(hù)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的空間，又給予了他們展示自己解決問(wèn)題能力的機(jī)會(huì)，同時(shí)學(xué)會(huì)了傾聽(tīng)別人的想法，讓基礎(chǔ)較差的同學(xué)在交流中得到點(diǎn)撥，成績(jī)較好的同學(xué)在爭(zhēng)論中加深了自己對(duì)問(wèn)題的理解和思考。最后由學(xué)生展示探究結(jié)果，教師給予適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)和鼓勵(lì)，讓學(xué)生有學(xué)習(xí)的成就感，讓他們有了繼續(xù)學(xué)習(xí)的動(dòng)力和興趣。本節(jié)課的第二個(gè)探究環(huán)節(jié)是由三角形的面積公式變形推導(dǎo)出正弦定理，這一環(huán)節(jié)比較簡(jiǎn)單，操作性強(qiáng)，學(xué)生一點(diǎn)就通。正弦定理的證明方法有很多，比如利用三角形全等、三角形的外接圓、向量法等，本節(jié)課我對(duì)教材做了改編，利用三角形的面積公式來(lái)推導(dǎo)正弦定理，思路自然，目標(biāo)明確，易于學(xué)生接受和探究。在具體推導(dǎo)時(shí)，要注重學(xué)生思維的發(fā)展過(guò)程，這是數(shù)學(xué)的靈魂。本節(jié)課的第三個(gè)探究環(huán)節(jié)是探尋比值的值。這一環(huán)節(jié)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)。在教學(xué)中恰當(dāng)?shù)氖褂昧硕嗝襟w技術(shù)，利用幾何畫(huà)板探尋比值的值，由動(dòng)到靜，取得了很好的效果。也讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)是很有趣的。在完成了正弦定理的推導(dǎo)之后，設(shè)計(jì)了兩個(gè)簡(jiǎn)單的求邊角問(wèn)題。讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉正弦定理的形式和結(jié)構(gòu)特征。并讓學(xué)生在每組的