剛體運(yùn)動(dòng)的描述1

剛體的基本運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)剛體（rigidbody）：特殊的質(zhì)點(diǎn)系，在力的作用其形狀和體積均不發(fā)生形變的物體，理想化的模型。平動(dòng)（translation）：剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行的運(yùn)動(dòng)。一、剛體運(yùn)動(dòng)的基本形式可以用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的方法來(lái)處理剛體的平動(dòng)問(wèn)題。注：2轉(zhuǎn)動(dòng)（rotation）:剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其上各點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)：這條直線稱為轉(zhuǎn)軸。剛體上各質(zhì)點(diǎn)都作半徑不同的圓周運(yùn)動(dòng)。（角位移、角速度、角加速度）角量完全相同各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的線量一般不同（線位移、線速度、線加速度）轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)則稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（fix-axisrotation）3描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角量可由剛體上任一點(diǎn)P點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的角量來(lái)表示。剛體的角速度、角加速度：二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述轉(zhuǎn)動(dòng)平面

方向:右手螺旋方向定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)方向可以用角速度的正負(fù)來(lái)表示.4定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上任一點(diǎn)的速度和加速度三.勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為恒量時(shí)，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng).

剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)5定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律力矩角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量6P*O剛體繞Oz軸旋轉(zhuǎn),力作用在剛體上點(diǎn)P,

且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi),為由點(diǎn)O到力的作用點(diǎn)P的徑矢.對(duì)轉(zhuǎn)軸Z的力矩

一、對(duì)軸的力矩

1）若力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量其中對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩7a)在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題中，力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩等于轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。b)同一個(gè)力對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的矩不一樣；c)通常規(guī)定:說(shuō)明：沿轉(zhuǎn)軸方向沿轉(zhuǎn)軸反方向8質(zhì)元mi對(duì)轉(zhuǎn)軸Z的角動(dòng)量為：對(duì)組成剛體的所有質(zhì)元的角動(dòng)量求和從以角速度ω作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體內(nèi)取一質(zhì)元mi，其對(duì)O的角動(dòng)量為：二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)軸的角動(dòng)量9剛體繞OZ軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體繞OZ軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量注意：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、角動(dòng)量都是相對(duì)量，都必須指明它們是相對(duì)于哪個(gè)軸。由質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理可得:三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理令10即其中定軸情況下，可不寫下標(biāo)z，記作：之間的夾角與牛頓第二定律相比，有：M相應(yīng)F，J相應(yīng)m，相應(yīng)a。轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的力----剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度.11轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由質(zhì)量對(duì)軸的分布決定，與下列因素有關(guān)：（1）密度大?。?）質(zhì)量分布（3）轉(zhuǎn)軸位置定軸zrimiΔ轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的意義：J反映了轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的大小。四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算12例：半徑為R

質(zhì)量為

M的圓環(huán)，繞垂直于圓環(huán)平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。解：分割質(zhì)量元dm圓環(huán)上各質(zhì)量元到軸的距離相等，繞圓環(huán)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為13oR例2

一質(zhì)量為m，半徑為R的均勻圓盤，求對(duì)通過(guò)盤中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。rdr

解設(shè)圓盤面密度為，在盤上取半徑為，寬為的圓環(huán)14例

求長(zhǎng)度為L(zhǎng)，質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒AB的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（1）對(duì)于通過(guò)棒的一端與棒垂直的軸。

（2）對(duì)于通過(guò)棒的中心與棒垂直的軸。解（1）細(xì)桿為線質(zhì)量分布，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為：（2）對(duì)于通過(guò)棒的中心的軸153.平行軸定理上例中JC表示對(duì)剛體質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，JA表示對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。兩軸平行，相距L/2。推廣上述結(jié)論，可得平行軸定理。剛體繞平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，等于繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JC加上剛體質(zhì)量與兩軸間的距離平方的乘積。剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。16應(yīng)記住的幾個(gè)常用結(jié)果:（1）細(xì)圓環(huán)（3）均勻圓盤、圓柱（2）均勻細(xì)棒計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J的三條有用的定理：

（1）疊加定理:對(duì)同一轉(zhuǎn)軸J有可疊加性17（2）平行軸定理:所以Jc總是最小的.mJACdJC平行（3）垂直軸定理:（對(duì)薄平板剛體）yxzyixiO18例：求對(duì)薄圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的可疊加性和平行軸定理：例：寫出下面剛體對(duì)O軸（垂直屏幕）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量RMOOmL圓盤細(xì)桿19剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用解題思路:（1）選物體（2）看運(yùn)動(dòng)（3）查受力（注意:畫隔離體受力圖）（4）列方程（注意:建立坐標(biāo)）20例1

定滑輪看作勻質(zhì)圓盤，軸光滑，無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，桌面水平光滑。已知m1,m2,m3，R.求：兩側(cè)繩拉力。

m1

m2

m3RT1解：選豎直向下為坐標(biāo)軸正向，垂直紙面向里為轉(zhuǎn)軸正向，對(duì)m1,m2，由牛頓定律對(duì)m3,由轉(zhuǎn)動(dòng)定理無(wú)相對(duì)滑動(dòng)：解得21例2

如圖所示，一均勻細(xì)棒，可繞通過(guò)其端點(diǎn)并與棒垂直的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。已知棒長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，開(kāi)始時(shí)棒處于水平位置。令棒由靜止下擺，求：（1）棒在任意位置時(shí)的角加速度；（2）角為300，900時(shí)的角速度。解(1)選垂直紙面向里為轉(zhuǎn)軸正向細(xì)棒在任意位置時(shí)棒上的dr質(zhì)元所受的對(duì)O的重力矩2223例3：一勻質(zhì)細(xì)桿，長(zhǎng)為l質(zhì)量為m，在摩擦系數(shù)為的水平桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)，求摩擦力的力矩M阻。解：桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，但各質(zhì)元受的摩擦阻力矩不同，靠近軸的質(zhì)元受阻力矩小，遠(yuǎn)離軸的質(zhì)元受阻力矩大，細(xì)桿的質(zhì)量密度質(zhì)元質(zhì)量質(zhì)元受阻力矩：細(xì)桿受的阻力矩24轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能一.力矩的功設(shè)剛體上P點(diǎn)受到外力的作用，,功為,位移為力矩：力矩對(duì)剛體所作的功：25二.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能:（可對(duì)比質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能）……定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理.即26三.剛體的重力勢(shì)能

hc----質(zhì)心的高度由于剛體仍是個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，所以對(duì)于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機(jī)械能守恒定律仍成立.四.應(yīng)用舉例27例

一半徑為R，質(zhì)量為m的均勻圓盤平放在粗糙的水平面上。若它的初速度為0，繞中O心旋轉(zhuǎn)，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間圓盤才停止。（設(shè)摩擦系數(shù)為）Or解：drR2829求:桿下擺到角時(shí)，角速度？

【解】“桿+地球”系統(tǒng)，(1)(2)由(1)、(2)解得：只有重力作功，E機(jī)

守恒。

已知：均勻直桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，軸o光滑，初始靜止在水平位置。例.EP重=0θ·ω0CABl,ml/430剛體：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律：剛體系：

M外z=0時(shí)，對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒此時(shí)角動(dòng)量可在系統(tǒng)內(nèi)部各剛體間傳遞，而卻保持剛體系對(duì)轉(zhuǎn)軸的總角動(dòng)量不變。31例如：花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員的“旋”動(dòng)作，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員旋轉(zhuǎn)時(shí)伸臂時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大，轉(zhuǎn)速較慢；收臂時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減小，轉(zhuǎn)速加快。再如：跳水運(yùn)動(dòng)員的“團(tuán)身--展體”動(dòng)作，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員跳水時(shí)團(tuán)身，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較小，轉(zhuǎn)速較快；在入水前展體，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增大，轉(zhuǎn)速降低，垂直入水。強(qiáng)調(diào)：由質(zhì)點(diǎn)和剛體組成的系統(tǒng)中，即有質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，又有剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。在這種情況下，一般按轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題來(lái)處理比較方便。當(dāng)研究的是質(zhì)點(diǎn)與剛體的碰撞問(wèn)題時(shí)，可以把質(zhì)點(diǎn)和剛體看成一個(gè)系統(tǒng)，在碰撞期間，由于系統(tǒng)所受的合外力矩為零，所以可對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律。32例

一長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m0的桿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為m，速度為v的子彈射入距支點(diǎn)為a的棒內(nèi)。若棒偏轉(zhuǎn)角為30°。問(wèn)子彈的初速度為多少。解：角動(dòng)量守恒：機(jī)械能守恒：oalv30°33質(zhì)量m長(zhǎng)l的均勻細(xì)桿可繞過(guò)其中點(diǎn)處的水平光滑固定軸0轉(zhuǎn)動(dòng)，如果一質(zhì)量為

m’的小球以速度豎直落到棒的一端，發(fā)生彈性碰撞（忽略軸處摩擦）。例2.lm’mo【解】求：碰后小球的速度及桿的角速度。桿的角速度肯定如圖，假設(shè)小球碰后瞬時(shí)的速度向上，如圖所示。系統(tǒng)：小球+桿條件：M外=0角動(dòng)量守恒（軸力無(wú)力矩；小球的重力矩與碰撞的內(nèi)力矩相比可以忽略）34因?yàn)閺椥耘鲎?

動(dòng)能守恒聯(lián)立(1)(2)解得討論1.量綱對(duì)2.>0對(duì)3.當(dāng)m>3m’時(shí),v>0（向上）當(dāng)m=3m’時(shí),v=0（瞬時(shí)靜止）當(dāng)m<3m’時(shí),v<0（向下）35例3.已知:泥球質(zhì)量為m,半徑為R的均質(zhì)圓盤質(zhì)量為M=2m,它可繞水平光滑軸o軸轉(zhuǎn)動(dòng).泥球與它正下方的圓盤上的P點(diǎn)距離為h，=60。

求:（1）碰撞后的瞬間m、M共同角速度（2）P點(diǎn)轉(zhuǎn)到x軸時(shí)，角速度

角加速度【解】對(duì)“泥球+地球”系統(tǒng)，只有保守力作功，故機(jī)械能守恒：m下落過(guò)程：對(duì)第（1）問(wèn)36

碰撞過(guò)程:對(duì)“m+M”系統(tǒng)，碰撞時(shí)間極小，沖力遠(yuǎn)大于重力，重力（外力）對(duì)0的力矩可忽略，故角動(dòng)量守恒：37(1)(3)代入(2)得：轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程：對(duì)“m+M+地球”系統(tǒng)，對(duì)第（2）問(wèn)只有重力作功，故E機(jī)守恒：令P點(diǎn)與x軸重合時(shí)，EP重=0(3)(4)代入(5)得：P點(diǎn)轉(zhuǎn)到x軸時(shí)，38例1：在摩擦系數(shù)為桌面上有細(xì)桿，質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為l，以初始角速度0繞垂直于桿的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，問(wèn)細(xì)桿經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間停止轉(zhuǎn)動(dòng)。解：以細(xì)桿為研究對(duì)象，受力分析，重力及桌面的支持力不產(chǎn)生力矩，只有摩擦力產(chǎn)生力矩。確定細(xì)桿受的摩擦力矩分割質(zhì)量元dm細(xì)桿的質(zhì)量密度為：質(zhì)元受的摩擦力矩細(xì)桿受的摩擦力矩39始末兩態(tài)的角動(dòng)量為：由角動(dòng)量定理：本題也可用運(yùn)動(dòng)學(xué)方法求解，由M=J,和=0+

t,求出

t=-0/。40剛體和質(zhì)點(diǎn)力學(xué)規(guī)律的對(duì)照