2021年遼寧省沈陽市智達(dá)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足(OB-OC)·(OB+OC-2OA)=0，則的形狀為(

）A．正三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．斜三角形參考答案：C2.已知，則的大小關(guān)系是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C3.命題“存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是()A．任意一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)B．任意一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)C．存在一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D．存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)參考答案：B4.在同一平面的直角坐標(biāo)系中，直線變成直線的伸縮變換是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C5.下面框圖所給的程序運(yùn)行結(jié)果為S＝28，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于k的條件是()A．?

B．k≤7?

C．k<7?

D．k>7?參考答案：D6.函數(shù)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A. B.(0,+∞) C.(－∞,0) D.參考答案：A【分析】求解出，將在上有兩個(gè)不等實(shí)根，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，通過二次函數(shù)圖像得到不等式，求解出的范圍.【詳解】由題意得：設(shè)，又，可知存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)等價(jià)于在上存在兩個(gè)不同零點(diǎn)由此可得：，即

本題正確選項(xiàng)：A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，解題關(guān)鍵在于通過求導(dǎo)將極值點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，確定二次函數(shù)圖像主要通過以下三個(gè)方式：①判別式；②對(duì)稱軸；③區(qū)間端點(diǎn)值符號(hào).7.某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖，圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5℃，下面敘述不正確的是（）A．各月的平均最低氣溫都在0℃以上B．七月的平均溫差比一月的平均溫差大C．三月和十一月的平均最高氣溫基本相同D．平均最高氣溫高于20℃的月份有5個(gè)參考答案：D【考點(diǎn)】進(jìn)行簡單的合情推理．【分析】根據(jù)平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖進(jìn)行推理判斷即可．【解答】解：A．由雷達(dá)圖知各月的平均最低氣溫都在0℃以上，正確B．七月的平均溫差大約在10°左右，一月的平均溫差在5°左右，故七月的平均溫差比一月的平均溫差大，正確C．三月和十一月的平均最高氣溫基本相同，都為10°，正確D．平均最高氣溫高于20℃的月份有7，8兩個(gè)月，故D錯(cuò)誤，故選：D8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入n=3，則輸出的S=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B試題分析：由題意得，輸出的S為數(shù)列的前三項(xiàng)和，而，∴，故選B.9.已知集合,，則=A、

B、

C、

D、參考答案：B10.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若點(diǎn)取得最小值時(shí)，點(diǎn)B的個(gè)數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.無數(shù)個(gè)參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則▲參考答案：112.以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程是______.參考答案：【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出雙曲線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，從而求出雙曲線的方程．【詳解】橢圓的焦點(diǎn)為F（±1，0），頂點(diǎn)為（±，0）；則雙曲線的頂點(diǎn)為（±1，0），焦點(diǎn)為（±，0），∴a＝1，c＝，∴b1，∴雙曲線的方程為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．13.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為

▲

.參考答案：略14.如圖是一個(gè)組合幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是_______________________.參考答案：由三視圖還原可知該幾何體是一個(gè)組合體，下面是一個(gè)圓柱，上面是一個(gè)三棱柱，故所求體積為。15.已知函數(shù)，且，則____．參考答案：6分析：由可求得，先求得的值，從而可得的值.詳解：函數(shù)，且，，即，，，，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)解不等式，屬于中檔題.對(duì)于分段函數(shù)解析式的考查是命題的動(dòng)向之一，這類問題的特點(diǎn)是綜合性強(qiáng)，對(duì)抽象思維能力要求高，因此解決這類題一定要層次清楚，思路清晰.16.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，則P=__________．參考答案：試題分析：直接利用二項(xiàng)分布的期望與方差列出方程求解即可．解：隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，則p=，故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的期望以及方差的求法，考查計(jì)算能力．17.如下程序圖表示的算法功能是

參考答案：求使成立的最小正整數(shù)n的值加2。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

已知：二項(xiàng)式展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，

（1）求的值；

（2）若展開式所有項(xiàng)的系數(shù)和為，其中為有理數(shù)，求和的值.參考答案：（1）由題意，，

………………4分

（2）展開式的通項(xiàng)為（）…………6分則，

…………8分

……………………10分【方法二】令，則，因?yàn)楣?，?19.國家“十三五”計(jì)劃，提出創(chuàng)新興國，實(shí)現(xiàn)中國創(chuàng)新，某市教育局為了提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，把行動(dòng)落到實(shí)處，舉辦一次物理、化學(xué)綜合創(chuàng)新技能大賽，某校對(duì)其甲、乙、丙、丁四位學(xué)生的物理成績（x）和化學(xué)成績（y）進(jìn)行回歸分析，求得回歸直線方程為y=1.5x﹣35．由于某種原因，成績表（如表所示）中缺失了乙的物理和化學(xué)成績．

甲乙丙丁物理成績（x）75m8085化學(xué)成績（y）80n8595綜合素質(zhì)（x+y）155160165180（1）請(qǐng)?jiān)O(shè)法還原乙的物理成績m和化學(xué)成績n；（2）在全市物理化學(xué)科技創(chuàng)新比賽中，由甲、乙、丙、丁四位學(xué)生組成學(xué)校代表隊(duì)參賽．共舉行3場比賽，每場比賽均由賽事主辦方從學(xué)校代表中隨機(jī)抽兩人參賽，每場比賽所抽的選手中，只要有一名選手的綜合素質(zhì)分高于160分，就能為所在學(xué)校贏得一枚榮譽(yù)獎(jiǎng)?wù)拢粲洷荣愔汹A得榮譽(yù)獎(jiǎng)?wù)碌拿稊?shù)為ξ，試根據(jù)上表所提供數(shù)據(jù)，預(yù)測該校所獲獎(jiǎng)?wù)聰?shù)ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）求出物理與化學(xué)的平均值，代入回歸直線方程，然后求解即可．（2）推出ξ的可能值，求出概率，即可得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（1）由已知可得，，因?yàn)榛貧w直線y=1.5x﹣35過點(diǎn)樣本中心，所以，∴3m﹣2n=80，又m+n=160，解得m=80，n=80．（2）在每場比賽中，比賽中贏得榮譽(yù)獎(jiǎng)?wù)碌拿稊?shù)為ξ的可能值為：0，1，2，3．獲得一枚榮譽(yù)獎(jiǎng)?wù)碌母怕蔖=1﹣=，ξ～B（3，），P（ξ=0）==；P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，所以預(yù)測ξ的分布列為：ξ0123P故預(yù)測Eξ=nP=3×=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，回歸直線方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．20.(12分)已知函數(shù)

(1)求最小正周期.

(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.參考答案：解：（1）最小正周期……………..(4分)(2)由得

………(10分)所以所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為…(12分)21.設(shè)向量，，x∈R，記函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，，求△ABC面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可求f（x）=sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．（2）由已知可求sin（2A﹣）=，結(jié)合△ABC為銳角三角形，可得A，利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2+，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．【解答】（本題滿分為12分）解：（1）∵=sinxcosx+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），…3分∴令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：，k∈Z…5分（2）∵，∴sin（2A﹣）=，結(jié)合△ABC為銳角三角形，可得：2A﹣=，∴A=，…7分∵在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：2=b2+c2﹣bc≥（2﹣）bc，（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立）∴bc≤=2+，又∵sinA=sin=，…10分∴S△ABC=bcsinA=bc≤（2+）=，（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立）∴△ABC面積的最大值為…12分【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的內(nèi)積運(yùn)算，三角函數(shù)的化簡及性質(zhì)的探討，并與解三角形知識(shí)相互交匯，對(duì)基本運(yùn)算能力、邏輯推理能力有一定要求，難度為中等．22.如圖，在三棱錐S﹣ABC中，△ABC是邊長為2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=SA=SC，M為AB的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：AC⊥SB；（Ⅱ）求點(diǎn)B到平面SCM的距離．參考答案：【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；空間角．【分析】（Ⅰ）先證明線面垂直，從而證明出線線垂直；（Ⅱ）求出SE的長，得到三角形BMC的面積，從而求出B到平面SCM的距離．【解答】（Ⅰ）證明：如圖，取AC的中點(diǎn)D，連接DS，DB．因?yàn)镾A=SC，BA=BC，所以AC⊥DS，且AC⊥DB，DS∩DB=D，所以AC⊥平