陜西省榆林市玉林名山中學高三數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.己知集合M＝{a,0｝，N＝｛x｜2x2－5x＜0，xZ｝，如果MN，則a等于（）

A.B.1C.2D.1或2參考答案：D2.設當x=θ時，函數f（x）=3sinx+4cosx取得最小值，則sinθ=（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】三角函數的最值．【分析】利用輔助角公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的最小值．解出θ，【解答】解：，其中，，由f（θ）=5sin（θ+φ）=﹣5，可得sin（θ+φ）=﹣1，∴，k∈Z，，k∈Z，∴，故選：C．【點評】本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于基礎題．3.已知長方體的底面是邊長為1的正方形，高為，其俯視圖是一個面積為1的正方形，側視圖是一個面積為2的矩形，則該長方體的正視圖的面積等于（）A．1 B． C．2 D．參考答案：C【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】空間位置關系與距離．【分析】通過三視圖判斷正視圖的形狀，結合數據關系直接求出正視圖的面積即可．【解答】解：長方體的底面是邊長為1的正方形，高為，其俯視圖是一個面積為1的正方形，側視圖是一個面積為2的矩形，說明側視圖是底面對角線為邊，長方體的高為一條邊的矩形，幾何體放置如圖：那么正視圖的圖形與側視圖的圖形相同，所以側視圖的面積為：2．故選：C【點評】本題考查幾何體的三視圖形狀，側視圖的面積的求法，判斷幾何體的三視圖是解題的關鍵，考查空間想象能力．4.若且則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略5.設，若函數在區(qū)間（-1，1）內有極值點，則的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B6.記函數f（x）（＜x≤e，e=2.71828…是自然對數的底數）的導數為f′（x），函數g（x）=（x﹣）f′（x）只有一個零點，且g（x）的圖象不經過第一象限，當x＞時，f（x）+4lnx+＞，f[f（x）+4lnx+]=0，下列關于f（x）的結論，成立的是（）A．當x=e時，f（x）取得最小值 B．f（x）最大值為1C．不等式f（x）＜0的解集是（1，e） D．當＜x＜1時，f（x）＞0參考答案：B【考點】利用導數求閉區(qū)間上函數的最值．【分析】設t=f（x）+4lnx+，由f（t）=0，求出t的值，從而求出f（x）的解析式，求出函數f（x）的導數，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的最大值，求出答案即可．【解答】解：∵f[f（x）+4lnx+]=0，故可設t=f（x）+4lnx+，即f（x）=﹣4lnx﹣+t，由f（t）=0，得：﹣4lnx﹣+t=0，∴l(xiāng)nt=0或lnt=﹣，∴t=1或t=，∵t＞，故t=1，∴f（x）=﹣4lnx﹣+1，則f′（x）=[﹣4]，∵＜x≤e，∴﹣1＜lnx≤1，故x∈（，）時，f′（x）＞0，x∈（，e）時，f′（x）＜0，∴f（x）最大值=f（x）極大值=f（）=1，故選：B．【點評】本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，求出函數f（x）的解析式是解題的關鍵，本題是一道中檔題．7.已知向量（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B8.已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，若在雙曲線的右支上存在一點P，使得|PF1|=3|PF2|，則雙曲線的離心率e的取值范圍為（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：C9.一個四棱錐與半圓柱構成的幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（

）A.16+8π B.16+12π C.48+12π D.48+8π參考答案：B【分析】根據三視圖作出直觀圖，算出組合體的體積為半圓柱和四棱錐的體積，進而求解【詳解】由圖得，，，，可知半圓柱，四棱錐該幾何體的體積答案選B【點睛】本題考查組合體的三視圖體積的計算，屬于簡單題10.定義在上的函數滿足，，則等于（

）A．2

B．3

C．6

D．9參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.的展開式中的常數項是,則=

.參考答案：15

略12.若函數在處取極值，則a＝________.參考答案：313.函數的導函數的部分圖像如圖所示，其中，P為圖像與y軸的交點，A，C為圖像與x軸的兩個交點，B為圖像的最低點.若時，點P的坐標為，則______.參考答案：3【分析】對原函數求導，得到導函數解析式，利用點在圖像上，代入求出結果【詳解】，當時，點的坐標為時解得故答案為3【點睛】本題主要考查了三角函數的圖象，需要先運用求導法則求出導函數，然后再計算，較為基礎14.在約束條件下，目標函數的最大值為_____________.參考答案：215.在平面直角坐標系中，定義為,兩點之間的“折線距離”．則原點與直線上一點的“折線距離”的最小值是

▲

．參考答案：設,直線與坐標軸的交點坐標為，直線的斜率為。過P做于,則原點與直線上一點的“折線距離”為,因為為等腰三角形，所以,由圖象可知，此時在的內部，所以原點與直線上一點的“折線距離”的最小距離為。16.定義域為R的函數滿足，當時，，若時，恒成立，則實數t的取值范圍是________.參考答案：【分析】本題首先可以求出時函數的最小值，然后根據求出當時函數的最小值以及時函數的最小值，再然后根據恒成立得出，最后通過運算即可得出結果.【詳解】當時，，當時，，所以當時，的最小值為.因為函數滿足，所以當時，的最小值為，所以當時，的最小值為，因為時，恒成立，所以，即，解得，故答案為：.【點睛】本題考查不等式恒成立問題，若恒成立，則函數與差的最小值大于零，考查函數最值的求法，考查推理能力，是中檔題.17.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y2＝2x的焦點為F.設M是拋物線上的動點，則的最大值為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某車間將10名技工平均分為甲、乙兩組來加工某種零件，在單位時間內每個技工加工零件若干個，其中合格零件的個數如表：1號2號3號4號5號甲組457910乙組56789（1）分別求出甲、乙兩組技工在單位時間內完成合格零件的平均數及方差，并由此分析兩組

技工的技術水平；（2）評審組從該車間甲、乙兩組中各隨機抽取1名技工，對其加工的零件進行檢測，若兩人完成合格零件個數之和超過14件，則稱該車間“生產率高效”，求該車間“生產率高效”的概率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數及事件發(fā)生的概率．【分析】（Ⅰ）先分別求出，和S甲2，S乙2，由此能夠比較兩組員工的業(yè)務水平．（Ⅱ）記“優(yōu)秀團隊”為事件A，從甲乙兩組中各抽取一名員工完成銷售數的基本事件共25種，事件A包含的基本事件共11種，由此能求出“優(yōu)秀團隊”的概率．【解答】解：（Ⅰ）依題意，=（4+5+7+9+10）=7，=（5+6+7+8+9）=，S==5.2，S==2．∵=，S甲2＞S乙2，∴兩組員工的總體水平相同，甲組員工的業(yè)務水平差異比乙組大．（Ⅱ）記“優(yōu)秀團隊”為事件A，則從甲乙兩組中各抽取一名員工完成銷售數的基本事件為：（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9），（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），共25種，事件A包含的基本事件為：（7，8），（7，9），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），共11種，∴P（A）=．【點評】本題考查平均數、方差的求法，考查古典概率的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意列舉法的合理運用．19.設函數f（x）=xex﹣ae2x（a∈R）（I）當a≥時，求證：f（x）≤0．（II）若函數f（x）有兩個極值點，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值；利用導數求閉區(qū)間上函數的最值．【分析】（Ⅰ）利用分析法，構造函數g（x）=x﹣aex，利用導數和函數的最值的關系即可求出，（Ⅱ）函數f（x）有兩個極值點，等價于y=f'（x）有兩個變號零點，即方程有兩個不相同的根，構造函數，利用導數求出函數的最值，問題得以解決．【解答】解：（I）證明：f（x）=xex﹣ae2x=ex（x﹣aex）∵ex＞0，只需證：當即可﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，g（x）=x﹣aex，g'（x）=1﹣aex=0∴，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣，∴當從而當時，f（x）≤0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）f'（x）=（x+1）ex﹣2ae2x=ex（x+1﹣2aex）函數f（x）有兩個極值點，等價于y=f'（x）有兩個變號零點即方程有兩個不相同的根﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣設，，x∈（﹣∞，0），h'（x）＞0，h（x）遞增；x∈（0，+∞），h'（x）＜0，h（x）遞減﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，h（x）max=h（0）=1，h（﹣1）=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，x＞﹣1，h（x）＞0，x→+∞，h（x）→0，x→﹣∞，h（x）→﹣∞當有兩個交點方程有兩個不相同的根，函數f（x）有兩個極值點﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20.在平面直角坐標系中，直線交軸于點A，設是上一點，M是線段OP的垂直平分線上一點，且滿足∠MPO=∠AOP.（1）當點P在上運動時，求點M的軌跡E的方程；（2）已知,設H是E上動點,求+的最小值，并給出此時點H的坐標；（3）過點且不平行與y軸的直線與軌跡E有且只有兩個不同的交點，求直線的斜率的取值范圍.參考答案：解：（1）如圖1，設MQ為線段OP的垂直平分線，交OP于點Q， 因此即① 另一種情況，見圖2（即點M和A位于直線OP的同側）。 MQ為線段OP的垂直平分線， 又因此M在軸上，此時，記M的坐標為 為分析的變化范圍，設為上任意點 由（即）得， 故的軌跡方程為② 綜合①和②得，點M軌跡E的方程為（2）由（1）知，軌跡E的方程由下面E1和E2兩部分組成（見圖3）： ； 當時，過Ｔ作垂直于的直線，垂足為，交E1于。 再過H作垂直于的直線，交 因此，（拋物線的性質）。 （該等號僅當重合（或H與D重合）時取得）.

當時，則

綜合可得，|HO|+|HT|的最小值為3，且此時點H的坐標為

（3）方法1:由圖3知，直線的斜率不可能為零。 設 故的方程得： 因判別式 所以與E中的E1有且僅有兩個不同的交點。 又由E2和的方程可知，若與E2有交點， 則此交點的坐標為有唯一交點，從而與軌跡E有三個不同的交點。 因此，直線的取值范圍是方法2:由圖3可計算,因為在拋物線內部,當時必與拋物線有兩個不同交點,所以直線的取值范圍是

略21.已知函數．（1）求不等式的解集；（2）若函數的定義域為R,求實數a的取值范圍．參考答案：(1)(2)【分析】（1）分類討論，去掉絕對值，化為與之等價的三個不等式組，求得每個不等式組的解集，再取并集即可．（2）要使函數的定義域為R，只要的最小值大于0即可,根據絕對值不等式的性質求得最小值即可得到答案．【詳解】（1）不等式或或，解得或，即x>0,所以原不等式的解集為．（2）要使函數的定義域為R，只要的最小值大于0即可，又，當且僅當時取等，只需最小值，即．所以實數a的取值范圍是．【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，考查利用絕對值三角不等式求最值，屬基礎題．22.函數f(x)＝1－2a－2acosx－2sin2x的最小值為g(a)(a∈R)．(1)求g(a)；(2)若g(a)＝，求a及此時f(x)的最大值．參考答案：解：(1)由f(x)＝1－2a－2acosx－2sin2x＝1－2a－2acosx－2(1－cos2x)＝2cos2x－2acosx－(2a＋1)＝22－－2a－1.這里－1≤c