空間點、直線、平面

之間的位置關系第七章立體幾何與空間向量1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、

直線、平面的位置關系的定義.2.了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題.考試要求

內容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.基本事實1：經過_______________的3個點，有且只有一個平面.基本事實2：如果一條直線上的_______在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有_____過該點的公共直線.不在一條直線上兩個點一條2.“三個”推論推論1：經過一條直線與直線外一點，有且只有一個平面.推論2：經過兩條______直線，有且只有一個平面.推論3：經過兩條______直線，有且只有一個平面.3.空間中直線與直線的位置關系相交平行相交共面直線_____直線：在同一平面內，有且只有一個公共點；_____直線：在同一平面內，沒有公共點；異面直線：不同在_____一個平面內，沒有公共點.平行任何

圖形語言符號語言公共點直線與平面相交

____________個平行

___________個在平面內

_____________個4.空間中直線與平面、平面與平面的位置關系a∩α＝A1a∥α0a?α無數(shù)平面與平面平行

___________個相交

______________個α∥β0α∩β＝l無數(shù)5.等角定理如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行，并且方向相同，那么這兩個角相等.6.異面直線所成的角(1)定義：一般地，如果a，b是空間中的兩條異面直線，過空間中任意一點，分別作與a，b___________的直線a′，b′，則a′與b′所成角的大小，稱為異面直線a與b所成角的大小.(2)范圍：______.平行或重合1.過平面外一點和平面內一點的直線，與平面內不過該點的直線是異面直線.2.分別在兩個平行平面內的直線平行或異面.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)沒有公共點的兩條直線是異面直線.(

)(2)直線與平面的位置關系有平行、垂直兩種.(

)(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.(

)(4)兩兩相交的三條直線共面.(

)××××1.(多選)如圖是某正方體的平面展開圖，則在這個正方體中，下列說法正確的是A.BM與ED平行B.CN與BM成60°角C.CN與BE是異面直線D.DM與BN是異面直線√√正方體的直觀圖如圖所示.很顯然，BM與ED不平行，故A錯誤；連接AN，AC，易知△ACN是等邊三角形，CN與BM所成角即為∠ANC＝60°，故B正確；連接BE，易知CN∥BE，故C錯誤；連接BN，DM，易知DM與BN是異面直線，故D正確.2.已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與bA.一定是異面直線B.一定是相交直線C.不可能是平行直線D.不可能是相交直線由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b∥c，則a∥b，與已知a，b為異面直線相矛盾.√3.如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則(1)當AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為菱形；AC＝BD∴四邊形EFGH為平行四邊形，∵四邊形EFGH為菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)當AC，BD滿足條件__________________時，四邊形EFGH為正方形.AC＝BD且AC⊥BD∵四邊形EFGH為正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∴AC＝BD且AC⊥BD.探究核心題型第二部分例1

已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點共面；題型一基本事實的應用如圖所示，連接B1D1.因為EF是△D1B1C1的中位線，所以EF∥B1D1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD確定一個平面，即D，B，F(xiàn)，E四點共面.(2)若A1C交平面DBFE于點R，則P，Q，R三點共線；在正方體ABCD－A1B1C1D1中，連接A1C，設A1，C，C1確定的平面為α，又設平面BDEF為β.因為Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α與β的公共點，同理，P是α與β的公共點.所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.則R∈PQ，故P，Q，R三點共線.(3)DE，BF，CC1三線交于一點.因為EF∥BD且EF＜BD，所以DE與BF相交，設交點為M，則由M∈DE，DE?平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三線交于一點.共面、共線、共點問題的證明(1)共面：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內.(2)共線：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.(3)共點：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點.思維升華跟蹤訓練1

(1)如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必經過A.點AB.點BC.點C但不過點MD.點C和點M√因為AB?γ，M∈AB，所以M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.根據基本事實3可知，M在γ與β的交線上.同理可知，點C也在γ與β的交線上.所以γ與β的交線必經過點C和點M.①證明：四邊形BCHG是平行四邊形；故GH∥BC且GH＝BC，所以四邊形BCHG是平行四邊形.②C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？C，D，F(xiàn)，E四點共面.理由如下：由①知BG∥CH，所以EF∥CH.故EC，F(xiàn)H共面.又點D在直線FH上，所以C，D，F(xiàn)，E四點共面.命題點1空間位置關系的判斷例2

(1)(多選)下列推斷中，正確的是A.M∈α，M∈β，α∩β＝l?M∈lB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC.l?α，A∈l?A?αD.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合√題型二空間位置關系的判斷√√對于A，因為M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事實3可知M∈l，A正確；對于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直線AB?α，AB?β，即α∩β＝AB，B正確；對于C，若l∩α＝A，則有l(wèi)?α，A∈l，但A∈α，C錯誤；對于D，有三個不共線的點在平面α，β中，故α，β重合，D正確.(2)(2023·龍巖模擬)若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是A.異面或平行 B.異面或相交C.異面 D.相交、平行或異面√如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，①若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線B1A1記為直線c，此時a和c相交；②若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線DD1記為直線c，此時a和c平行；③若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線C1D1記為直線c，此時a和c異面.命題點2異面直線所成的角例3

(1)如圖所示，圓柱O1O2的底面半徑為1，高為2，AB是一條母線，BD是圓O1的直徑，C是上底面圓周上一點，∠CBD＝30°，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為√連接AO2，設AO2的延長線交下底面圓周上的點為E，連接CE，易知∠CAE(或其補角)即為異面直線AC與BD所成的角，連接CD(圖略)，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BD＝2，∠CBD＝30°，得BC＝

，CD＝1.(2)(2023·長治模擬)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝2，E為BB1上一點，平面AEC1將三棱柱分為上、下體積相等的兩部分，則AE與B1C1所成角的余弦值為√如圖，作C1H⊥A1B1于點H，設B1E＝x，易得AC⊥平面BB1C1C，平面AEC1將三棱柱分為兩個體積相等的四棱錐C1－A1AEB1和A－BCC1E，即

＝

，則x＝1，所以E為BB1的中點，取CC1中點為F，連接EF，則EF∥B1C1，∠AEF(或其補角)即為異面直線AE與B1C1所成角，(1)點、直線、平面位置關系的判定，注意構造幾何體(長方體、正方體)模型來判斷，常借助正方體為模型.(2)求異面直線所成角的方法方法解讀平移法將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的平行線或者作平行線，

形成三角形求解補形法在該幾何體的某側補接上同樣一個幾何體，在這兩個幾何體中找異面直線相應的位置，形成三角形求解跟蹤訓練2

(1)(多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，以下四個選項正確的是A.直線AM與CC1是相交直線B.直線AM與BN是平行直線C.直線BN與MB1是異面直線D.直線AM與DD1是異面直線√√因為點A在平面CDD1C1外，點M在平面CDD1C1內，直線CC1在平面CDD1C1內，CC1不過點M，所以直線AM與CC1是異面直線，故A錯；取DD1的中點E，連接AE(圖略)，則BN∥AE，但AE與AM相交，故B錯；因為點B1與直線BN都在平面BCC1B1內，點M在平面BCC1B1外，BN不過點B1，所以BN與MB1是異面直線，故C正確；同理D正確.(2)如圖，在圓錐SO中，AB，CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝

SB，則異面直線SC與OE所成角的正切值為√如圖，過點S作SF∥OE，交AB于點F，連接CF，則∠CSF(或其補角)為異面直線SC與OE所成的角.∴在等腰△SCF中，(3)平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為√例4

(1)(多選)用一個平面α截正方體，把正方體分為體積相等的兩部分，則下列結論正確的是A.這兩部分的表面積一定不相等B.截面不會是三角形C.截面不會是五邊形D.截面可以是正六邊形題型三空間幾何體的切割(截面)問題√√√如圖，一個平面α截正方體，把正方體分為體積相等的兩部分，則平面α一定過正方體的中心，所以這兩部分的表面積相等，根據對稱性，截面不會是三角形、五邊形，但可以是正六邊形(如圖).(2)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60°，以D1為球心，

為半徑的球面與側面BCC1B1的交線長為______.如圖，連接B1D1，易知△B1C1D1為正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分別取B1C1，BB1，CC1的中點M，G，H，連接D1M，D1G，D1H，由題意知G，H分別是BB1，CC1與球面的交點.由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，(1)作截面應遵循的三個原則：①在同一平面上的兩點可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線.(2)作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實3作交線；②利用線面平行及面面平行的性質定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據性質作出交線.跟蹤訓練3

(1)(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和C1C上(異于端點)，則過三點A，F(xiàn)，E的平面被正方體截得的圖形(截面)可能是A.矩形 B.菱形

C.正方形 D.梯形√√√當BE＝CF時，截面是矩形；當2BE＝CF時，截面是菱形；當BE>CF時，截面是梯形；截面不可能是正方形.(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中點，平面α經過直線BD且與直線C1E平行，若正方體的棱長為2，則平面α截正方體所得的多邊形的面積為_____.如圖，過點B作BM∥C1E交B1C1于點M，過點M作BD的平行線，交C1D1于點N，連接DN，則平面BDNM即為符合條件的平面α，由圖可知M，N分別為B1C1，C1D1的中點，設等腰梯形MNDB的高為h，∴梯形MNDB的面積為課時精練第三部分1.若直線上有兩個點在平面外，則A.直線上至少有一個點在平面內B.直線上有無窮多個點在平面內C.直線上所有點都在平面外D.直線上至多有一個點在平面內12345678910111213141516√基礎保分練根據題意，兩點確定一條直線，那么由于直線上有兩個點在平面外，則直線在平面外，只能是直線與平面相交，或者直線與平面平行，那么可知直線上至多有一個點在平面內.2.(多選)下列命題中不正確的是A.空間四點共面，則其中必有三點共線B.空間四點不共面，則其中任意三點不共線C.空間四點中有三點共線，則此四點不共面D.空間四點中任意三點不共線，則此四點不共面√12345678910111213141516√√12345678910111213141516對于平面四邊形來說不成立，故A不正確；若四點中有三點共線，則根據“直線與直線外一點可以確定一個平面”知四點共面，與四點不共面矛盾，故B正確；由B的分析可知C不正確；平面四邊形的四個頂點中任意三點不共線，但四點共面，故D不正確.123456789101112131415163.已知平面α，β，γ兩兩垂直，直線a，b，c滿足a?α，b?β，c?γ，則直線a，b，c不可能滿足以下哪種關系A.兩兩垂直 B.兩兩平行C.兩兩相交 D.兩兩異面√12345678910111213141516如圖1，可得a，b，c可能兩兩垂直；如圖2，可得a，b，c可能兩兩相交；如圖3，可得a，b，c可能兩兩異面.123456789101112131415164.在底面半徑為1的圓柱OO1中，過旋轉軸OO1作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB＝2，E是

的中點，F(xiàn)是AB的中點，則A.AE＝CF，AC與EF是共面直線B.AE≠CF，AC與EF是共面直線C.AE＝CF，AC與EF是異面直線D.AE≠CF，AC與EF是異面直線√12345678910111213141516如圖，由題意知，圓柱的軸截面ABCD為邊長為2的正方形，E是

的中點，F(xiàn)是AB的中點，AC?平面ABC，EF與平面ABC相交，且與AC無交點，所以AC與EF是異面直線，故A，B錯誤；5.如圖，已知四面體ABCD

的各條棱長均等于4，E，F(xiàn)

分別是棱AD，BC

的中點.若用一個與直線EF垂直，且與四面體的每一個面都相交的平面α

去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積的最大值為√12345678910111213141516將正四面體補成正方體如圖所示，由于EF⊥平面α，且平面α與四面體的每一個面都相交，故截面為平行四邊形MNKL，且KL＋KN＝4，又KL∥BC，KN∥AD，且AD⊥BC，∴KN⊥KL，∴

平行四邊形MNKL

為矩形，1234567891011121314151612345678910111213141516當且僅當KN＝KL＝2時取等號.123456789101112131415166.(2021·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為√12345678910111213141516方法一如圖，連接C1P，因為ABCD－A1B1C1D1是正方體，且P為B1D1的中點，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP?平面B1BP，所以C1P⊥BP.12345678910111213141516方法二以B1為坐標原點，B1C1，B1A1，B1B所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略)，12345678910111213141516方法三如圖所示，連接BC1，A1B，A1P，PC1，則易知AD1∥BC1，所以直線PB與AD1所成的角等于直線PB與BC1所成的角.根據P為正方形A1B1C1D1的對角線B1D1的中點，易知A1，P，C1三點共線，且P為A1C1的中點.123456789101112131415167.(2023·廣州模擬)如圖為四棱錐A－DEFG的側面展開圖(點G1，G2重合為點G)，其中AD＝AF，G1D＝G2F.E是線段DF的中點，請寫出四棱錐A－DEFG中一對一定相互垂直的異面直線____________________________________.(填上你認為正確的一個結論即可，不必考慮所有可能的情形)AE，DF(或AE，DG或AE，GF或AG，DF)還原該四棱錐的直觀圖如圖所示，連接DF和GE，相交于點O，連接AO，∵DG＝FG，DE＝EF，GE＝GE，∴△GDE≌△GFE，∴∠DGO＝∠FGO，又∵DG＝FG，GO＝GO，∴△DGO≌△FGO，∵AD＝AF，OD＝OF，∴AO⊥DF，1234567891011121314151612345678910111213141516∵AO∩OE＝O，AO，OE?平面AOE，∴DF⊥平面AOE，又AE?平面AOE，∴DF⊥AE.8.如圖是某機械零件的幾何結構，該幾何體是由兩個相同的直四棱柱組合而成的，且前后、左右、上下均對稱，每個四棱柱的底面都是邊長為2的正方形，高為4，且兩個四棱柱的側棱互相垂直.則這兩個四棱柱的表面相交的交線段總長度為______.12345678910111213141516由題可知，這兩個四棱柱的表面相交的交線段由8條長度相等的線段構成，如圖所示，選取一個側面進行分析，其中AC，AB均為交線段，且AC＝AB，BC為底面的對角線長，D為BC的中點，123456789101112131415169.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.12345678910111213141516(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；12345678910111213141516因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EF∥BD.所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F(xiàn)，G，H四點共面.(2)設EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線.12345678910111213141516因為EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P為平面ABC與平面ADC的公共點.又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點共線.(1)三棱錐P－ABC的體積；12345678910111213141516(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值.1234567891011121314151612345678910111213141516如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補角).12345678910111213141516綜合提升練√√√12345678910111213141516將三棱錐補形為長方體，如圖所示.其中BE＝BN＝1，BF＝2，連接MF，則AM∥BF，AM＝BF，所以四邊形AMFB為平行四邊形，所以AB∥MF，又四邊形MCFD為正方形，所以MF⊥CD，所以AB⊥CD，故A正確；12345678910111213141516長方體的體積V1＝1×1×2＝2，12345678910111213141516長方體的外接球也是三棱錐A－BCD的外接球，連接MN，交AD于點O，因為MN∥BC，所以∠AOM(或其補角)為異面直線AD與BC所成的角，1234567891011121314151612.如圖，E，F(xiàn)分別為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，C1D1的中點，若AB＝6，則過A，E，F(xiàn)三點的截面的面積為12345678910111213141516√12345678910111213141516連接EF，作直線EF分別與直線DC，DD1的延長線相交于點P，Q，連接AP交BC于點M，連接AQ交A1D1于點N，連接NF，ME.則五邊形AMEFN即為過A，E，F(xiàn)三點的截面，如圖所示.123456789101112131415161234567891011121314151660°12345678910111213141516在平面ABD中，過E作EG∥AB，交DB于點G，連接GF，如圖，則GF∥CD，∴∠EGF(或其補角)即為AB與CD所成角，12345678910111213141516∴∠EGF＝120°，∴AB與CD所成角的大小為60°.1234567891011121314151652π(1)球O的表面積為_____；123456789101112131415164π(2)若D是BC的中點，過點D作球O