1.1.2空間向量的數(shù)量積運算激趣誘思知識點撥物理中,我們學習了力做功的計算方法.如圖所示,一輛小車在力F的作用下向前移動了s個單位長度,力與小車前進方向的夾角為θ,那么力作的功W=|F|·|s|cosθ,這是一個具體的數(shù),可以為正,為負,也可以為零.激趣誘思知識點撥一、空間向量的夾角

名師點析1.由定義知,只有兩個非零空間向量才有夾角,當兩個非零空間向量共線同向時,夾角為0,共線反向時,夾角為π.2.對空間任意兩個非零向量a,b有:①<a,b>=<b,a>;②<-a,b>=<a,-b>=π-<a,b>;③<-a,-b>=<a,b>.∠AOB<a,b>[0,π]a⊥b激趣誘思知識點撥微練習在正四面體ABCD中,

的夾角等于(

)

A.30°

B.60°

C.150°

D.120°答案:D

激趣誘思知識點撥二、空間向量的數(shù)量積1.定義:已知兩個非零向量a,b,則

叫做a,b的數(shù)量積,記作

.

即a·b=|a||b|cos<a,b>.特別地,零向量與任意向量的數(shù)量積為

.

2.數(shù)量積的運算性質(zhì)a·e=|a|cos<a,e>(e為單位向量)若a,b是非零向量,則a⊥b?a·b=0若a與b同向,則a·b=|a||b|;若a與b反向,則a·b=-|a||b|.|a·b|≤|a||b|(當且僅當a,b共線時等號成立)

|a||b|cos<a,b>a·b0激趣誘思知識點撥3.向量a在向量b上的投影向量在空間,向量a向向量b投影,得到與向量b共線的向量c,c=|a|cos<a,b>

稱為向量a在向量b上的投影向量.5.數(shù)量積的運算律:(λa)·b=

;a·b=

(交換律);

a·(b+c)=

(分配律).λ(a·b)b·aa·b+a·c激趣誘思知識點撥名師點析1.對空間向量數(shù)量積的理解(1)兩個空間向量的數(shù)量積是數(shù)量,而不是向量,它可以是正數(shù)、負數(shù)或零;(2)空間向量的數(shù)量積運算不滿足消去律和結(jié)合律,即a·b=a·c?b=c,(a·b)·c=a·(b·c)都不成立.

量夾角,特別是兩異面直線夾角的問題;(3)利用關(guān)系a⊥b?a·b=0可以證明空間兩直線的垂直.激趣誘思知識點撥微練習1

答案:C

激趣誘思知識點撥微判斷對不為0的三個實數(shù)a,b,c,有(ab)c=a(bc)成立,所以對三個非零向量a,b,c,也有(a·b)c=a(b·c)成立.(

)微練習2已知空間向量a,b的夾角為120°,且|a|=1,|b|=2,則a·(2a-3b)=

.

×答案:5探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測求空間向量的數(shù)量積例1已知三棱錐O-ABC的各個側(cè)面都是等邊三角形,且邊長為2,點M,N,P分別為AB,BC,CA的中點.試求:思路分析求出每個向量的模及它們的夾角,然后按照數(shù)量積的定義求解,必要時,對向量進行分解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟空間向量運算的方法與步驟方法:(1)利用定義,直接利用a·b=|a||b|cos<a,b>并結(jié)合運算律進行計算.(2)利用圖形,計算兩個向量的數(shù)量積,可先將各向量移到同一頂點,利用圖形尋找夾角,再代入數(shù)量積公式進行運算.(3)利用向量分解,在幾何體中進行向量的數(shù)量積運算時,要充分利用幾何體的性質(zhì),把待求向量用已知夾角和模的向量表示后再進行運算.步驟:(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的線性組合形式;(2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開,轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積;(3)代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解析:如圖,連接AG并延長,與BC交于點D,∵點G是底面△ABC的重心,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測利用數(shù)量積求夾角

思路分析求兩個向量的夾角,可以把其中一個向量平移到與另一個向量的起點重合,從而轉(zhuǎn)化為求平面角的大小;也可以用兩個向量的數(shù)量積定義a·b=|a||b|cos<a,b>,求出cos<a,b>=

的值,然后確定<a,b>的大小.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟兩個非零向量夾角求法的兩個途徑(1)轉(zhuǎn)化求角:把向量夾角轉(zhuǎn)化為平面幾何中的對應(yīng)角,利用解三角形的知識求解;探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2(1)若非零空間向量a,b滿足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,則a與b的夾角為(

)A.30°

B.60° C.120° D.150°答案:C

解析:設(shè)a與b的夾角為θ,則由(2a+b)·b=0,得2|a||b|cos

θ+|b|2=0.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測(2)已知空間四面體OABC各邊及對角線長都等于2,E,F分別為AB,OC的中點,則向量

所成角的余弦值為

.

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測利用數(shù)量積證明垂直問題例3如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中點,O是底面ABCD的中心.求證:OB1⊥平面PAC.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟利用數(shù)量積證明垂直問題的一般方法將所證垂直問題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直,然后把直線轉(zhuǎn)化為向量,并用已知向量表示未知向量,然后通過向量的線性運算以及數(shù)量積運算,證明直線所在向量的數(shù)量積等于零,即可證明線線垂直.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練3已知空間四邊形OABC中,M,N,P,Q分別為BC,AC,OA,OB的中點,若AB=OC,求證:PM⊥QN.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測利用數(shù)量積求距離或長度例4如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿著它的對角線AC將△ACD折起,使AB與CD成60°角,求此時B,D間的距離.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟求兩點間的距離或線段長度的方法(1)將此線段用向量表示;(2)用其他已知夾角和模的向量表示該向量;探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練4正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都為2,E,F分別是AB,A1C1的中點,則EF的長是(

)答案:C

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測利用向量的數(shù)量積求兩異面直線所成角典例如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,AA1=

,求異面直線BA1與AC所成角的余弦值.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測【答題模板】

第1步:確定兩兩垂直的向量,把待求直線看作向量,用相關(guān)向量表示.?第2步:計算直線BA1與AC對應(yīng)向量的數(shù)量積.?第3步:利用數(shù)量積公式計算兩個向量夾角的余弦值.?第4步:將兩向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩直線夾角的余弦值.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測失誤警示通過閱卷統(tǒng)計分析,發(fā)現(xiàn)造成失分的原因主要如下:(1)解題時忽視條件∠ABC=90°,從而得不出兩兩垂直的向量;探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列各對向量夾角為45°的是(

)答案:A

解析:四個選項中兩個向量的夾角依次是45°,135°,90°,180°,故選A.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:D

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,則AC1與CE的位置關(guān)系是(

)A.重合 B.平行C.垂直 D.無法確定答案:C

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測4.如圖,在長方體ABCD-A1B1C