第六章

均勻化理論和多尺度方法高等復(fù)合材料力學(xué)AdvancedMechanicsofCompositeMaterials陳玉麗航空科學(xué)與工程學(xué)院2023/7/2116.1引言在考察實際復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)狀態(tài)變量和材料系數(shù)的演化時，由于熱載荷和機械載荷都是施加在宏觀結(jié)構(gòu)層面，所以研究采用的細觀力學(xué)模型必須能夠把細觀響應(yīng)和宏觀行為聯(lián)系起來。單胞模型通過在非均勻結(jié)構(gòu)中提取出一個代表性體積單元(RVE)從而可以求得有效的材料響應(yīng)和演化過程。這里假設(shè)微結(jié)構(gòu)是周期性重復(fù)排列的單胞，與復(fù)合材料的宏觀尺寸相比，它的不均勻性是很小的，此種類型的材料被稱作具有周期性微觀結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料（第三章）。但是，單胞法還是存在許多不足。周期性假設(shè)用于預(yù)測最優(yōu)材料性能非常有效，然而實際的非均勻材料很少具有完全的周期性微結(jié)構(gòu)，宏觀結(jié)構(gòu)上不同的點可能具有不同的微結(jié)構(gòu)形態(tài)。這種假設(shè)在處理復(fù)雜載荷條件下非線性非均勻結(jié)構(gòu)變形問題時也存在不足。為了解決上述問題，單胞模型應(yīng)該包含大的區(qū)域，采用大的模型。22023/7/216.1引言20世紀(jì)70年代，學(xué)者們在研究非均勻材料時引入了一種替代的數(shù)學(xué)方法，Benssousan和Sanchez-Palencia等稱之為均勻化理論。這種方法用于分析具有兩個或者多個尺度的物質(zhì)系統(tǒng)，它可以把含有第二相空間的細觀尺度和整體結(jié)構(gòu)上的宏觀尺度聯(lián)系起來。通過對位移和應(yīng)力場進行漸進展開以及適當(dāng)?shù)淖兎衷?，均勻化方法不僅可以求出等效的（均勻化）材料常數(shù)，而且可以得到兩個尺度上的應(yīng)力和應(yīng)變分布。相對于單胞法，這種方法的優(yōu)點在于不必作全局的周期性假設(shè)，在宏觀結(jié)構(gòu)的不同點可以有不同的微結(jié)構(gòu)。然而，這種分析通過引入空間重復(fù)排列單胞作了局部周期性假設(shè)。Toledano和Murakami，Guedes和Kikuchi以及Devries等成功地把有限元方法和均勻化方法結(jié)合起來用于分析復(fù)合材料的線彈性問題。在這些研究當(dāng)中，通過計算機模擬宏觀結(jié)構(gòu)的平均應(yīng)力和應(yīng)變場得到了全局的響應(yīng)，同時借助局部應(yīng)力和應(yīng)變場的描述得到了微結(jié)構(gòu)的行為。32023/7/216.2多尺度模型4一具有周期性結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料彈性體Ω，受體力f，邊界Γt上受表面力t，邊界Γu上給定位移邊界條件。宏觀某點x處的細觀結(jié)構(gòu)可以看成是非均勻單胞在空間中周期性重復(fù)堆積而成。單胞的尺度y相對于宏觀幾何尺度為小量。xfy2023/7/216.2多尺度模型50432104321xy=x/ε宏觀尺度：

微觀尺度：

例如：宏觀尺度為m，微觀尺度為nm，ε

=10-9實際為1m的尺寸，即x=1(m)，在微觀尺度下y=x/ε=109

(nm)實際為1nm的尺寸，即y=1(nm)，在宏觀尺度下x=yε=10-9

(m)y2023/7/216.2多尺度模型6對于非均勻的復(fù)合材料，當(dāng)宏觀結(jié)構(gòu)受外部作用時，位移和應(yīng)力等結(jié)構(gòu)場變量將隨宏觀位置的改變而不同。同時由于細觀結(jié)構(gòu)的高度非均勻性，使得這些結(jié)構(gòu)場變量在宏觀位置x非常小的鄰域ε

內(nèi)也會有很大變化。因此所有變量都假設(shè)依賴于宏觀與細觀兩種尺度，即：上標(biāo)

ε

表示該函數(shù)具有兩尺度的特征。Y-周期性：微觀單胞的周期為Y2023/7/216.2多尺度模型7在中，彈性張量和柔度張量

分別為

假設(shè)應(yīng)力場和位移場都滿足平衡方程、幾何方程和本構(gòu)方程，有

其中

是細觀坐標(biāo)系y中的具有

Y-周期的位移場。同時，在給定力邊界和給定位移邊界分別滿足

2023/7/21均勻化方法83）以傅里葉變換為基礎(chǔ)的多尺度方法2）泰勒級數(shù)近似法（TaylorSeriesApproximation）1）漸進展開法（Asymptoticexpansion）2023/7/216.3漸進展開法9在均勻化理論中，Y-周期位移場可以近似為宏觀坐標(biāo)x的展開式，漸進展開是其中比較常用的一種展開方法中，其展開形式為：注意到任意一個依賴于兩個尺度的函數(shù)Φ

對宏觀坐標(biāo)x的偏微分為應(yīng)變張量Asymptoticexpansion2023/7/216.3漸進展開法10代入本構(gòu)方程，可得應(yīng)力場的漸進展開式：其中將應(yīng)力的漸進展開式代入平衡方程，有2023/7/216.3漸進展開法11令εi(i=-2,-1,0,1…)的系數(shù)為零，得到一系列控制方程：（1）（2）（3）2023/7/216.3漸進展開法12根據(jù)Y-周期性，可以證明（Devriesetal.1989）可以得到（2）式（1）式其中細觀平衡方程細觀本構(gòu)方程2023/7/216.3漸進展開法13在Y內(nèi)積分，有均勻化彈性常數(shù)（3）式均勻化的宏觀平衡方程令宏觀彈性問題的解2023/7/216.3漸進展開法14xy=x/ε宏觀

微觀尺度z=x/ε2對位移漸進展開代入平衡方程得到控制方程得到均勻化方程動態(tài)問題怎么辦？……2023/7/216.4含時間的漸進展開（1）15彈性動力學(xué)問題:參考文獻：Fish,J.andChen,W.(2001).Higher-OrderHomogenizationofInitial/Boundary-ValueProblem.J.Eng.Mech.,127(12),1223–1230.xy=x/ε2023/7/216.4含時間的漸進展開（1）16令εi(i=-2,-1,0,1…)的系數(shù)為零，得到一系列控制方程：不同階的應(yīng)力為：2023/7/216.4含時間的漸進展開（1）172023/7/216.4含時間的漸進展開（1）18

線性問題通解：

代入原式得：如何求解L(y)？提示：1.周期性（Periodicity）：2.連續(xù)性（Continuity）：3.正交性（Normalization）：請求出L(y)（分段表達），進而求出2023/7/216.4含時間的漸進展開（1）19均勻化后的材料性質(zhì)與靜態(tài)問題是一致的。因此，0階問題是無色散的。為了反映波的色散效應(yīng)（dispersioneffect），必須考慮更高階的項。請證明2023/7/216.4含時間的漸進展開（1）20其中，Ed表征了非均勻?qū)暧^行為的影響。Ed具有如下特性：1）正比于單元尺寸的平方；2）均勻材料（α=0或α=1）Ed=0。右端力項正比于宏觀應(yīng)變梯度，梯度越小，右端項越小。2023/7/216.4含時間的漸進展開（1）21其中，Eg表征了微觀結(jié)構(gòu)對宏觀行為的影響。Eg具有如下特性：1）強依賴于單元尺寸；2）均勻材料（α=0或α=1）Eg=0。如果材料的非均勻尺度很小，則色散效應(yīng)可以忽略。

若，界面沒有反射，則波不發(fā)生色散。（物理角度）2023/7/216.4含時間的漸進展開（2）22空

間

尺

度

0432104321xy=x/ε宏觀尺度：

微觀尺度：

時間

尺

度

0432104321τ=ε2tη=t慢尺度：

快尺度：

彈性動力學(xué)問題:2023/7/216.4含時間的漸進展開（2）23彈性動力學(xué)問題:參考文獻：Fish,J.et.al.(2002).Non-localdispersivemodelforwavepropagationinheterogeneousmedia:one-dimensionalcase.Int.J.Numer.Meth.Engng,54,331–346.xy=x/ε2023/7/216.4含時間的漸進展開（2）24令εi(i=-2,-1,0,1…)的系數(shù)為零，得到一系列控制方程：2023/7/216.4含時間的漸進展開（2）252023/7/21本章結(jié)束高等復(fù)合材料力學(xué)AdvancedMechanicsofCompositeMaterials2023/7/2126高等復(fù)合材料力學(xué)AdvancedMechanicsofCompositeMaterials第一章緒論+張量基礎(chǔ)復(fù)合材料力學(xué)的三個重要特征、各向異性本構(gòu)張量的基本概念、愛因斯坦求和約定符號ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程

張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分、高斯公式（散度定理）2023/7/2127高等復(fù)合材料力學(xué)AdvancedMechanicsofCompositeMaterials第二章復(fù)合材料的有效性質(zhì)和均質(zhì)化方法

尺度和代表單元(RVE)周期單元的選取

局部化和均勻化等效柔度和等效剛度

Reuss近似和Voigt近似等效性質(zhì)的能量定義2023/7/2128高等復(fù)合材料力學(xué)AdvancedMechanicsofCompositeMaterials第三章單層復(fù)合材料剛度的細觀力學(xué)分析

長纖維復(fù)合材料剛度的細觀力學(xué)分析

E2

、E2

、ν21和ν12

、G12

材料力學(xué)和彈性理論分析

周期性邊界條件

最小勢能原理和最小余能原理（Voigt上限和Reuss下限）長纖維復(fù)合材料強度的細觀力學(xué)分析

Xt

、Xc

、Yt

、Yc

、S熱膨脹的力學(xué)分析（a1、a2）短纖維復(fù)合材料的細觀力學(xué)分析

應(yīng)力傳遞理論(剪滯法)、剛度、強度2023/7/2129高等復(fù)合材料力學(xué)AdvancedMechanicsofCompositeMaterials第四章復(fù)合材料的單夾雜問題

Green函數(shù)彈性力學(xué)的一般解

橢球型夾雜問題

Eshelby夾雜理論夾雜的能量2023/7/2130高等復(fù)合材料力學(xué)AdvancedMechanicsofCompositeMaterials第五章復(fù)合材料線性有效模量預(yù)測的近似方法宏觀整體坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系稀疏方法

Mori-Tanaka方法

自洽方法廣義自洽方法

有效自洽方法

微分法

Hashin-Shtrikman界限幾種方