高一年級(jí)數(shù)學(xué)探索旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象中的變量關(guān)系模型

——任意角三角函數(shù)概念橫桿回顧滑塊滑軌勻速圓周運(yùn)動(dòng)回顧1——角的擴(kuò)充將角進(jìn)行擴(kuò)充：轉(zhuǎn)角物體運(yùn)動(dòng)圖形運(yùn)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)

大小方向靜態(tài)

動(dòng)態(tài)始邊終邊逆時(shí)針順時(shí)針實(shí)數(shù)正負(fù)絕對(duì)值符號(hào)勻速圓周運(yùn)動(dòng)回顧2——弧度制研究角的度量：角度制，弧度制將“角”與“距離”在度量上實(shí)現(xiàn)了統(tǒng)一度量的關(guān)鍵：?jiǎn)挝唤嵌戎疲喝倭种恢芑《戎疲簣A的半徑

兩種度量制的聯(lián)系：圓

勻速圓周運(yùn)動(dòng)循環(huán)往復(fù)的平移運(yùn)動(dòng)回顧3——坐標(biāo)系中的角勻速圓周運(yùn)動(dòng)循環(huán)往復(fù)的平移運(yùn)動(dòng)回顧3——坐標(biāo)系中的角勻速圓周運(yùn)動(dòng)循環(huán)往復(fù)的平移運(yùn)動(dòng)回顧3——坐標(biāo)系中的角勻速圓周運(yùn)動(dòng)循環(huán)往復(fù)的平移運(yùn)動(dòng)回顧3——坐標(biāo)系中的角將角放在坐標(biāo)系中來(lái)研究：

確定角

確定終邊

確定終邊上一點(diǎn)勻速圓周運(yùn)動(dòng)循環(huán)往復(fù)的平移運(yùn)動(dòng)分析：發(fā)現(xiàn)并關(guān)聯(lián)到銳角三角函數(shù)本課核心任務(wù)建立平移與旋轉(zhuǎn)之間的關(guān)系模型任務(wù)1：當(dāng)終邊在初始位置，與軸正半軸重合時(shí)：任務(wù)2：當(dāng)終邊首次旋轉(zhuǎn)到第一象限時(shí)：任務(wù)3：當(dāng)終邊首次旋轉(zhuǎn)到與軸正半軸重合時(shí)：任務(wù)4：當(dāng)終邊首次旋轉(zhuǎn)到第二象限時(shí)：任務(wù)5：當(dāng)終邊首次旋轉(zhuǎn)到與軸負(fù)半軸重合時(shí)：任務(wù)6：當(dāng)終邊首次旋轉(zhuǎn)到第三象限時(shí)：任務(wù)7：當(dāng)終邊首次旋轉(zhuǎn)到與軸負(fù)半軸重合時(shí)：任務(wù)8：當(dāng)終邊首次旋轉(zhuǎn)到第四象限時(shí):任務(wù)9：當(dāng)終邊第二次旋轉(zhuǎn)到與軸正半軸重合時(shí)：任務(wù)10：當(dāng)終邊第二次旋轉(zhuǎn)到第一象限時(shí):任務(wù)11：表達(dá)模型這僅是旋轉(zhuǎn)的第一圈情況任務(wù)11：表達(dá)模型旋轉(zhuǎn)的第2圈情況任務(wù)11：表達(dá)模型第k圈情況這也是變量模型的完整表達(dá)式探索活動(dòng)的回顧、評(píng)價(jià)與反思學(xué)而不思則罔：不經(jīng)過(guò)反思和抽象，對(duì)事物或?qū)嵺`的認(rèn)識(shí)就難以進(jìn)入深刻。反思抽象是實(shí)現(xiàn)“由厚到薄”的必經(jīng)之路。探索活動(dòng)的回顧、評(píng)價(jià)與反思發(fā)現(xiàn)：在描述旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象中的變量關(guān)系時(shí)，銳角三角函數(shù)概念有很大的局限性。數(shù)學(xué)史小知識(shí)：銳角三角函數(shù)原本是因測(cè)距的需求而產(chǎn)生的（例如，在天文學(xué)領(lǐng)域不可直接測(cè)量的天體間距離）。任務(wù)12：如何優(yōu)化模型呢？困境：缺乏好用的合適數(shù)學(xué)工具。破局：將銳角三角函數(shù)概念擴(kuò)充到任意角三角函數(shù)概念。任務(wù)12：如何優(yōu)化模型呢？思考：如何定義任意角三角函數(shù)的概念呢？需要消除：在連續(xù)旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象中暴露出的“銳角”局限性；平移量相對(duì)于原點(diǎn)方位的正、負(fù)符號(hào)表達(dá)。需要注意：包容銳角三角函數(shù)含義。定義任意角三角函數(shù)概念對(duì)于任意角來(lái)說(shuō)，設(shè)是角終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，.一般地，稱為角的正弦，記為；稱為角的余弦，記為；稱為角的正切，記為.用任意角三角函數(shù)概念簡(jiǎn)化模型表達(dá)這樣，就極大簡(jiǎn)化了平移量與旋轉(zhuǎn)量的關(guān)系模型任意角三角函數(shù)概念解決了描述旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象中變量關(guān)系模型的兩個(gè)問(wèn)題：

平移量的符號(hào)和角的表達(dá)的繁瑣性反思、抽象、感悟想一想，在以前的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們還曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)哪些數(shù)學(xué)對(duì)象的擴(kuò)充？數(shù)系的擴(kuò)充，角的擴(kuò)充，冪指數(shù)的擴(kuò)充等等。當(dāng)下是禁忌事項(xiàng)將來(lái)未必還是！感受數(shù)學(xué)抽象之美，領(lǐng)悟抽象的意義。反思、抽象、感悟?qū)W習(xí)體驗(yàn)：對(duì)事實(shí)不進(jìn)行還原難以認(rèn)識(shí)其本來(lái)面目，不抽象對(duì)其理解就難以走向深刻。正如哲學(xué)家康德：“感性無(wú)知性則盲，知性無(wú)感性則空?！彼枷胗^念的認(rèn)識(shí)：從銳角三角函數(shù)概念到任意角三角函數(shù)概念的發(fā)展，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的思想、精神

與文化的深刻內(nèi)涵。分析：由任意角三角函數(shù)的概念可知，由終邊上非原點(diǎn)的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，可以計(jì)算出r的值，然后依據(jù)定義就可以依次求出角的正弦值、余弦值和正切值。例1已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求

的值.解：例1已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求

的值.任意角三角函數(shù)概念的直觀模型——單位圓若，則所以，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為.弧長(zhǎng)三角函數(shù)定義可否再簡(jiǎn)明一些呢？想象一下，生活在平面上的二維動(dòng)物的眼中，循環(huán)往復(fù)地做著勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)P在做怎樣的運(yùn)動(dòng)呢？從左向右看是怎樣的？從上向下看是怎樣的？任意角三角函數(shù)——單位圓上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)模型任意角三角函數(shù)——單位圓上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)模型任意角三角函數(shù)——單位圓上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)模型任意角三角函數(shù)——單位圓上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)模型任意角三角函數(shù)概念，在本質(zhì)上，反映了單位圓上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。若質(zhì)點(diǎn)P的角速度為1rad每秒，則角.任意角三角函數(shù)——單位圓上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)模型質(zhì)點(diǎn)P在橫軸上的投影點(diǎn)相對(duì)于原點(diǎn)O的位移量x

關(guān)于時(shí)間t

的函數(shù)。任意角三角函數(shù)概念，在本質(zhì)上，反映了單位圓上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。若質(zhì)點(diǎn)P的角速度為1rad每秒，則角.

刻畫的就是任意角三角函數(shù)——單位圓上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)模型質(zhì)點(diǎn)P在縱軸上的投影點(diǎn)相對(duì)于原點(diǎn)O的位移量y

關(guān)于時(shí)間t

的函數(shù)。任意角三角函數(shù)概念，在本質(zhì)上，反映了單位圓上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。若質(zhì)點(diǎn)P的角速度為1rad每秒，則角.

刻畫的就是例2確定下列各值的符號(hào).負(fù)負(fù)反思：任意角三角函數(shù)值,隨角的終邊所在象限的位置變化，呈現(xiàn)出哪些規(guī)律性的特征呢？反思：任意角三角函數(shù)值,隨角的終邊所在象限的位置變化，呈現(xiàn)出哪些規(guī)律性的特征呢？例2確定下列各值的符號(hào).正正你可以求出下列各角的正弦、余弦和正切嗎？分析：由三角函數(shù)的直觀化解釋模型，我們知道：角的正弦值和余弦值就是角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)，所以只需確定角的終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)即可.例3求下列各角的正弦、余弦和正切.角0的終邊在x軸正半軸上，它與單位圓交點(diǎn)為（1，0），因此解：例3求下列各角的正弦、余弦和正切.解：角

的終邊在x軸負(fù)半軸上，它與單位圓交點(diǎn)為，因此例3求下列各角的正弦、余弦和正切.解：不存在角

的終邊在y軸負(fù)半軸上，它與單位圓交點(diǎn)為

，因此小結(jié)：核心任務(wù)：探索并建立平移量與旋轉(zhuǎn)量之間的關(guān)系模型銳角三角函數(shù)概念任意角三角函數(shù)概念擴(kuò)充關(guān)聯(lián)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的精神與文化直觀化模型小結(jié)：核心任務(wù)：探索并建立平移量與旋轉(zhuǎn)量之間的關(guān)系模型銳角三角函數(shù)概念任意角三角函數(shù)概念擴(kuò)充關(guān)聯(lián)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的精神與文化直觀化模型小結(jié)：核心任務(wù)：探索并建立平移量與旋轉(zhuǎn)量之間的關(guān)系模型銳角三角函數(shù)概念任意角三角函數(shù)概念擴(kuò)充關(guān)聯(lián)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的精神與文化周期運(yùn)動(dòng)模型發(fā)展性作業(yè)——挑戰(zhàn)自我任意角三角函數(shù)概念的直觀化模型——單位圓具有豐富的幾何