線性代數(shù)題庫及答案

《線性代數(shù)》題庫及答案一、選擇題1.若矩陣$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{22}\\a_{31}&a_{13}&a_{33}\\a_{21}&a_{32}&a_{23}\end{bmatrix}$$其中$a$為實(shí)數(shù)，則$A$的轉(zhuǎn)置矩陣為（A）。A.$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{31}&a_{21}\\a_{12}&a_{13}&a_{32}\\a_{22}&a_{33}&a_{23}\end{bmatrix}$B.$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{21}\\a_{31}&a_{13}&a_{32}\\a_{22}&a_{33}&a_{23}\end{bmatrix}$C.$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{31}&a_{21}\\a_{12}&a_{33}&a_{32}\\a_{22}&a_{13}&a_{23}\end{bmatrix}$D.$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{13}&a_{23}\\a_{31}&a_{12}&a_{32}\\a_{21}&a_{33}&a_{22}\end{bmatrix}$2.設(shè)$A$為$n$階矩陣，$|A|=2$，則$|A^3|$等于（A）。A.8B.2C.16D.43.若$A$為$n$階矩陣，$|A|=3$，則$|2A^{-1}|=$（C）。A.1/6B.1/3C.2/9D.3/24.若$A$為$n$階矩陣，$|A|=2$，則$|3A^T|$等于（B）。A.6B.24C.12D.85.若$A$為3階矩陣，$|A|=2$，則$|A^T|$等于（B）。A.2B.8C.1/2D.16.若$A$為$n$階矩陣，$|A|=2$，則$|A^2-3A+2I|$等于（A）。A.0B.1C.2D.47.若$A$為$n$階矩陣，$|A|=2$，則$|A^2+3A+2I|$等于（D）。A.0B.1C.2D.368.若$A$為$n$階矩陣，$|A|=2$，則$|A^3-3A^2+2A|$等于（C）。A.0B.1C.4D.89.若$A$為$n$階矩陣，$|A|=2$，則$|A^{-1}+I|$等于（D）。A.1/2B.1/4C.1D.5/210.若$A$為$n$階矩陣，$|A|=2$，則$|2A^{-1}+I|$等于（B）。A.1/2B.4C.1D.5/2二、填空題1.若$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，則$A^T=$$\begin{bmatrix}\underline{\hspace{1cm}}&\underline{\hspace{1cm}}&\underline{\hspace{1cm}}\\\underline{\hspace{1cm}}&\underline{\hspace{1cm}}&\underline{\hspace{1cm}}\\\underline{\hspace{1cm}}&\underline{\hspace{1cm}}&\underline{\hspace{1cm}}\end{bmatrix}$。2.若$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，則$A^{-1}=$$\begin{bmatrix}\underline{\hspace{1cm}}&\underline{\hspace{1cm}}&\underline{\hspace{1cm}}\\\underline{\hspace{1cm}}&\underline{\hspace{1cm}}&\underline{\hspace{1cm}}\\\underline{\hspace{1cm}}&\underline{\hspace{1cm}}&\underline{\hspace{1cm}}\end{bmatrix}$。3.若$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，則$|A|=$\underline{\hspace{1cm}}。4.若$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，則$|3A^T|=$\underline{\hspace{1cm}}。5.若$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，則$|5A^{-1}|=$\underline{\hspace{1cm}}。6.若$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，則$|A^2-5A+6I|=$\underline{\hspace{1cm}}。7.若$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，則$|A^2+5A+6I|=$\underline{\hspace{1cm}}。8.若$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，則$|A^3-5A^2+6A|=$\underline{\hspace{1cm}}。9.若$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，則$|2A^{-1}+I|=$\underline{\hspace{1cm}}。10.若$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，則$|3A^{-1}+2I|=$\underline{\hspace{1cm}}。三、解答題1.設(shè)$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{bmatrix}$，求$A^{100}$。解：由$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&2&3\\0&0&2\\0&0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$，得$A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&2&3\\0&0&2\\0&0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&1&1.5\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1&1.5\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}$。因此，$A^{100}=\begin{bmatrix}1&1&1.5\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}^{100}=\begin{bmatrix}1&100&\frac{100\cdot99}{2}\\0&1&100\\0&0&1\end{bmatrix}$。2.設(shè)$A$為3階矩陣，$|A|=2$，$A^T=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，求$|2A^{-1}|$。解：由$|A|=2$，得$|A^{-1}|=\frac{1}{2}$。因?yàn)?A^T=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{bmatrix}$，所以$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$。因此，$|2A^{-1}|=2|A^{-1}|=1$。3.設(shè)$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，$B$為3階矩陣，滿足$AB=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}$，求$B$。解：由$AB=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}$，得$$\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}$$即$$\begin{cases}b_{11}+2b_{21}+3b_{31}=1\\4b_{11}+5b_{21}+6b_{31}=0\\7b_{11}+8b_{21}+9b_{31}=0\\b_{12}+2b_{22}+3b_{32}=0\\4b_{12}+5b_{22}+6b_{32}=1\\7b_{12}+8b_{22}+9b_{32}=0\\b_{13}+2b_{23}+3b_{33}=0\\4b_{13}+5b_{23}+6b_{33}=0\\7b_{13}+8b_{23}+9b_{33}=0\end{cases}$$解得$$B=\begin{bmatrix}-1/2&1&-1/2\\1&-2&1\\-1/2&1&-1/2\end{bmatrix}$$1.A的列向量線性無關(guān)，B的列向量線性相關(guān)，C的行向量線性相關(guān)，D的行向量線性相關(guān)。2.行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式的值是相等的。3.矩陣Am×n的K階子式共有C(n,k)個(gè)。4.n階方陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。5.行列式的某行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不變。6.A、B為n階方陣，若存在可逆矩陣P，使P^-1AP=B，則稱A與B相似。7.矩陣M=diag(λ1,λ2,...,λn)。8.若矩陣A=[12-2;3k]的秩為2，則k=-1。9.若方程組{x1+λx2+x3=0;x1+x2+λx3=0;x1+x2+x3=0}僅有零解，則λ≠-2。10.f(x)中x3的系數(shù)等于1/2，x2的系數(shù)等于0。11.k=-4/7。12.行列式|3A-1|=-27。13.AB的秩是1。14.該矩陣沒有逆矩陣。1.若線性方程組$\begin{cases}x_1+x_2=-a_1\\x_3+x_4=-a_3\\x_4+x_1=a_4\end{cases}$有解，則常量$a_1,a_2,a_3,a_4$應(yīng)滿足條件：無法確定。2.設(shè)4階方陣$A=(A_1,A_2,A_3,A_4),B=(A_1,A_2,A_3,B_4)$，其中$A_1,A_2,A_3,A_4,B_4$都是四元列向量，已知$A^{-1}=-1,B^{-1}=2$，則行列式$A+2B=3\det(A_1,A_2,A_3,B_4)$。3.已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&1&2\\3&2&-1\\5&4&3\end{pmatrix},Q=(2,-1,2)$，則矩陣$A^{100}=PQ$，其中$P=\begin{pmatrix}1&1&0\\3&2&0\\5&4&1\end{pmatrix}$。4.設(shè)$A=\begin{pmatrix}1&1&2\\3&2&-1\\\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}1&2&4&1\\2&4&8&2\\\end{pmatrix}$，則秩$(AB)=2$。5.證明題略。6.計(jì)算題：(1)$A+3B=\begin{pmatrix}4&2&6\\6&2&0\\\end{pmatrix}$；(2)$A^{-1}=\begin{pmatrix}4&3&-1\\6&5&-2\\13&10&-3\end{pmatrix}$；(3)(1)$A$不能與對角矩陣相似；(2)$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix}$；(4)$D=(ab)^{n-1}(a+b)$；(5)當(dāng)$a=3$時(shí)，$A$能與對角矩陣相似。1.計(jì)算$D=\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots+\frac{1}{1+2+\cdots+25}$。2.矩陣$A=\begin{pmatrix}2&1\\-1&1\end{pmatrix}$，計(jì)算$A^{-1}-18$。3.設(shè)三階方陣$A$滿足$A\alpha_1=\alpha_1,A\alpha_2=2\alpha_1+\alpha_2,A\alpha_3=-\alpha_1+3\alpha_2-\alpha_3$，其中$\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$。（1）證明：$A$能與對角矩陣相似。（2）求出$A$及相似對角矩陣$\Lambda$。4.設(shè)$3A+2E=0,A-E=0,4E-2A=0$，計(jì)算$A$。5.求向量組$\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}-1\\1\\4\end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}$的一個(gè)最大線性無關(guān)組，并將其正交化。6.若矩陣$A=\begin{pmatrix}1&-2&-1\\1&1&1\\2&1&1\end{pmatrix}$不能與對角矩陣相似，求參數(shù)$a$。7.計(jì)算$n$階行列式$\begin{vmatrix}2&1&&&&\\&2&1&&&\\&&\ddots&\ddots&&\\&&&2&1&\\&&&&2\end{vmatrix}$。8.求線性方程組$\begin{cases}x_1+x_2-3x_4-x_5=0\\x_1-x_2+2x_3-x_4=0\\4x_1-2x_2+6x_3+3x_4-4x_5=0\\2x_1+4x_2-2x_3+4x_4-7x_5=0\end{cases}$的基礎(chǔ)解系及通解。9.計(jì)算$n$階行列式$\begin{vmatrix}x_1&a_1&a_1&\cdots&a_1\\a_2&x_2&a_2&\cdots&a_2\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_n&a_n&a_n&\cdots&x_n\end{vmatrix}$，其中$x_i\neqa_i$，$1\leqi\leqn$。10.求矩陣$X$，使得$\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&2&1\\1&1&1\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&1&1\\2&1&1\end{pmatrix}$。1.證明題：1）由題設(shè)$A$是三階方陣，有$A=\begin{pmatrix}1&4&4\\1&1&1\\2&4&4\end{pmatrix}$。計(jì)算可得$2A-1=\begin{pmatrix}1&7&7\\1&3&3\\3&7&7\end{pmatrix}$，$A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&2&0\\1&-1&1\\0&0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。因此，$2A^{-1}-A=-\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&-1&-1\\1&1&1\end{pmatrix}$，$(3A^{-1})^2=\begin{pmatrix}4&-4&0\\-2&2&-2\\0&0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。所以，$2=2A^{-1}-A+(3A^{-1})^2$，即$2A^{-1}-A+(3A^{-1})^2=2$，因此$A$滿足題設(shè)條件。2）由$A^2-3A-4E=0$，可得$A^2-3A=4E$。兩邊同乘$A^{-1}$，得到$A-3E=4A^{-1}$，即$A^{-1}=\frac{1}{4}(A-3E)$。因此，$A^{-1}=A^{-1}-A^{-1}A+A^{-1}A=A^{-1}(A-E)+A^{-1}A=E$，所以$A$可逆，且$A^{-1}=E$。3）由題設(shè)$A^\topA=AA^\top=E$，則：\begin{aligned}A+B&=B^\topA^\top+A^\topB\\\\&=(B^\top+A^\top)A+B(A^\top+B^\top)\\\\&=(B+A)^\topA+B(A+B)\\\\&=(B+A)^\top(A+B)\end{aligned}因此，$A+B$與$A+B$的轉(zhuǎn)置相乘等于$A+B$本身，即$A+B$是正交矩陣。因此，$A+B$可逆，$(A+B)^{-1}=(A+B)^\top$。4）因?yàn)?A\gamma=b$，$A\gamma_i=e_i$，其中$e_i$是第$i$個(gè)單位向量，$i=1,2,\ldots,n-r$。因此，$A\eta_i=b\gamma_i$，即$A\eta_i=e_i$，所以$\eta_i$是方程組$A\eta=b$的解。設(shè)$\lambda\eta+\sum_{i=1}^{n-r}\lambda_i\eta_i=0$，則$A(\lambda\eta+\sum_{i=1}^{n-r}\lambda_i\eta_i)=0$，即$\lambdab+\sum_{i=1}^{n-r}\lambda_ie_i=0$。因?yàn)?\gamma,\gamma_1,\ldots,\gamma_{n-r}$線性無關(guān)，所以$\lambda=0$，$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_{n-r}=0$，即$\eta,\eta_1,\ldots,\eta_{n-r}$線性無關(guān)。5）設(shè)$\eta=k\eta_0$，其中$\eta_0$是$\eta$的一個(gè)特解，$k$是任意常數(shù)。則$A\eta=A(k\eta_0)=kA\eta_0=k\gamma=b$，所以$\eta=k\eta_0$也是方程組$A\eta=b$的解。另一方面，設(shè)$\eta$是任一方程組$A\eta=b$的解，則$A(\eta-\eta_0)=A\eta-A\eta_0=b-b=0$，即$\eta-\eta_0$是齊次方程組$A\eta=0$的解。因?yàn)?\gamma,\gamma_1,\ldots,\gamma_{n-r}$線性無關(guān)，所以$\eta-\eta_0=k_1\gamma+k_2\gamma_1+\cdots+k_{n-r}\gamma_{n-r}$，即$\eta=k\eta_0+k_1\gamma+k_2\gamma_1+\cdots+k_{n-r}\gamma_{n-r}$。因此，$k\eta_0,k_1\gamma,k_2\gamma_1,\ldots,k_{n-r}\gamma_{n-r}$線性無關(guān)。四、計(jì)算題：1.解：$$A+3B=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-1\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&5\\2&-1\end{pmatrix}=\alpha_1\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\alpha_2\begin{pmatrix}-2&1\\-1&1\end{pmatrix}$$其中，$\alpha_1=-2$，$\alpha_2=9$。因此，$4\alpha_1=8$，$4\alpha_2=36$，所以$4A^2-12A-16E=-8E$，即$4A^2-12A+8E=0$。解得$A=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。2.解：$$A=\begin{pmatrix}3&2&1\\2&-1&2\\1&2&3\end{pmatrix}，\text{余子式：}A_{11}=-1,A_{12}=4,A_{13}=-1,A_{21}=2,A_{22}=7,A_{23}=2,A_{31}=-1,A_{32}=4,A_{33}=-1$$因此，$$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{pmatrix}^{\top}=\frac{1}{20}\begin{pmatrix}-1&2&-1\\4&7&4\\-1&2&-1\end{pmatrix}$$因此，$$A^{-1}B=\frac{1}{20}\begin{pmatrix}-1&2&-1\\4&7&4\\-1&2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&1&-1\\0&-1&1\end{pmatrix}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}-2&3&-2\\7&-1&7\\-2&3&-2\end{pmatrix}$$3.解：因?yàn)?A^\topA=AA^\top=E$，所以$A$是正交矩陣，即$A^{-1}=A^\top$。因此，$$A^{-1}=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}，B^{-1}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$$因此，$$(A+B)^{-1}=(A^\top+B^\top)^{-1}=\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$4.解：因?yàn)?A\gamma=b$，$A\gamma_i=e_i$，其中$e_i$是第$i$個(gè)單位向量，$i=1,2$。因此，$$\gamma_1=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}，\gamma_2=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$因此，$$\eta=k\gamma+k_1\gamma_1+k_2\gamma_2=k\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}+k_1\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$因此，$\eta,\gamma,\gamma_1,\gamma_2$線性無關(guān)。5.解：設(shè)$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，則$A^2-(a+d)A+ad-bcE=0$。因?yàn)?A$可逆，所以$ad-bc\neq0$，即$A^2-(a+d)A+ad-bcE=0$。因此，$$A^2-2A+2E=\begin{pmatrix}a^2+2bc&b(a+d)\\c(a+d)&d^2+2bc\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$$解得$a=d=1$，$b=c=-1$，因此$A=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$。因此，$$A^3-2A^2+2A=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}^3-2\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}^2+2\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&3\\3&-3\end{pmatrix}$$22、23、32、33四個(gè)元素構(gòu)成的子矩陣為：$\begin{pmatrix}6&5\\-5&-4\end{pmatrix}$（1）設(shè)$\beta_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$，$\beta_2=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$，則$B=(\beta_1,\beta_2)$，且$AB=B$$\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&1&0\\0&0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&1&0\\0&0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$，故$\beta_1$和$\beta_2$是$A$的屬于特征值$0$的特征向量。又因?yàn)?A$的每行元素之和為$3$，故$\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$是$A$的特征值為$3$的特征向量。由于$\beta_1$，$\beta_2$，$\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$線性無關(guān)，故$3$階方陣$A$有$3$個(gè)線性無關(guān)的特征向量，因此$A$能與對角矩陣相似。（2）令$P=(\beta_1,\beta_2,\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix})$，則$P$可逆，且$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&6\end{pmatrix}$。設(shè)$D$為$A$的對角化矩陣，則$D=P^{-1}AP$，即$A=PDP^{-1}$。設(shè)$D'=an+(-1)^{n+1}b_{n+1}$，則$D'=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&6\end{pmatrix}$$A^{-1}=\begin{pmatrix}-4&-2&3\\-3&-1&3\\5&2&-4\end{pmatrix}$$AA^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$A^*A=\begin{pmatrix}3&-1&-6\\-1&2&3\\-6&3&10\end{pmatrix}$$A^*=\begin{pmatrix}3&-1&-6\\-1&2&3\\-6&3&10\end{pmatrix}$$A=\begin{pmatrix}-1&-1&1\\4&5&-6\\3&3&-4\end{pmatrix}$（6）$f(\lambda)=\det(\lambdaE-A)=(\lambda-1)(\lambda^2-8\lambda+10+a)-3(\lambda-4)$由題設(shè)$f(\lambda)=0$有重根，分兩種情況：（1）$\lambda=2$是重根，則$g(\lambda)=\lambda^2-8\lambda+10+a$含有$(\lambda-2)$因子，$g(2)=f(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda-6)$，解得$a=2$，此時(shí)屬于$(\lambda-2)$的特征向量的重?cái)?shù)為$3-1=2$，加之特征根$\lambda=6$的特征向量，$A$有$3$個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故此時(shí)$A$能與對角矩陣相似。,對于第一段話，刪除了格式錯(cuò)誤的符號，小幅度改寫如下：若$\lambda=2$不是重根，則$\lambda^2-8\lambda+10+a$是完全平方項(xiàng)，由此得$a=6$。此時(shí)$f(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda-4)^2$，即對應(yīng)$\lambda=4$的無關(guān)向量個(gè)數(shù)為$3-2=1$。因此，$A$不能與對角矩陣相似。對于第二段話，刪除了明顯有問題的句子和格式錯(cuò)誤的符號，小幅度改寫如下：設(shè)$P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，則$AP=(2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_1+3\alpha_2-\alpha_3)$。記$B=\begin{pmatrix}2&-1\\1&3\end{pmatrix}$，則有$AP=PB$，且$P$可逆。因此，$A$與$B$相似。由于相似矩陣有相同的特征值，可得$A$有三個(gè)相異的特征值$\lambda_1=2,\lambda_2=1,\lambda_3=-1$。因此，$A$可與對角矩陣相似。對于第三段話，刪除了格式錯(cuò)誤的符號，小幅度改寫如下：設(shè)$A=\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&3\\1&3&4\end{pmatrix}$，則$R(A)=3$。因?yàn)?\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$不全為零，所以它們構(gòu)成一個(gè)最大線性無關(guān)組。對該組進(jìn)行Gram-Schmidt正交化，可得$\beta_1=\alpha_1$，$\beta_2=\alpha_2-\dfrac{\langle\alpha_2,\beta_1\rangle}{\langle\beta_1,\beta_1\rangle}\beta_1$，$\beta_3=\alpha_3-\dfrac{\langle\alpha_3,\beta_1\rangle}{\langle\beta_1,\beta_1\rangle}\beta_1-\dfrac{\langle\alpha_3,\beta_2\rangle}{\l