數(shù)字電路與系統(tǒng)1第二章、邏輯代數(shù)基礎(chǔ)Part

2第二章習(xí)題2第五版2.1-(2,6,7)；2.15-(2,5,8,9)2.20-(c,d)；2.26-(2,5)；2.10-(2,4)； 2.11-(4,5)2.18-(6,7)；2.18-(8)；2.19-(2,5)；2.2-(2,3)2.12-(1,3)；2.13-(2,3)；2.22-(1,4)第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)3§

2.1§

2.2§

2.3邏輯代數(shù)運算邏輯函數(shù)的表示方法及其標(biāo)準(zhǔn)形式邏輯函數(shù)的化簡§2.2

邏輯函數(shù)的表示和標(biāo)準(zhǔn)形式4回顧：邏輯變量和邏輯函數(shù)（參見§2.2.1）邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量；用字母A、B、C、…表示；只能有兩種可能的取值：真或假；習(xí)慣上，把真記作“1”，假記作“0”；“1”和“0”不表示數(shù)量的大小,表示完全對立的兩種狀態(tài)?！?.2.1

邏輯函數(shù)的表示方法如何描述邏輯函數(shù)？有幾種方法？（四種?五種？）邏輯函數(shù)表達式組成：邏輯變量、邏輯常量，邏輯運算符號。例：真值表卡諾圖一種特殊的真值表，見§2.3。邏輯圖用邏輯門符號構(gòu)成的邏輯函數(shù)關(guān)系圖形；物理實現(xiàn)的原理圖。Y

=

AB

+

ACABCY000000110100011110001010110111115§2.2.1

邏輯函數(shù)的表示方法6波形圖將邏輯函數(shù)輸入變量每一種可能出現(xiàn)的取值與對應(yīng)的輸出取值按時間順序排列起來，就得到了表示該邏輯函數(shù)的波形圖。也稱為時序圖。如：邏輯分析儀——通過實驗觀察波形檢驗邏輯功能。筆者不將波形圖歸入邏輯函數(shù)的表示方法，因為：一般地，波形圖是時序邏輯的表示方法，隱含著邏輯變量與函數(shù)隨時序（即：離散時間參量）變化的過程關(guān)系；完備地波形圖的繪制工作量較大。但是，波形圖是描述邏輯功能的手段之一?！?.2.1

邏輯函數(shù)的表示方法7表示方法之間的相互轉(zhuǎn)換由邏輯表達式列出真值表將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一代入邏輯式求出函數(shù)值，列成表，即得真值表；輸入變量取值的組合一般按自然二進制數(shù)遞增的順序排列。例：Y

=

A

+

BC

+

ABCABC為了避免差錯，可以將表達式中部分的項算出，再最終計算邏輯函數(shù)的值Y000000001101010011011000100001101101110001111001BCABC8§2.2.1

邏輯函數(shù)的表示方法由真值表寫出邏輯表達式找出使邏輯函數(shù)Y為1的變量取值組合；每個使函數(shù)Y為1的變量取值組合對應(yīng)一個乘積項（即：

“與項”），其中取值為1的寫入原變量，取值為0的寫入反變量；將這些乘積項相或，即得到Y(jié)的邏輯表達式。ABCY00000011010001101000101111001110A

BCABCY

=

A

BC

+

ABC9§2.2.1

邏輯函數(shù)的表示方法由邏輯式畫出邏輯圖用圖形符號代替邏輯式中的運算符號，并按運算的優(yōu)先順序?qū)⑺鼈冞B接起來。Y

=

AB

+

AC10§2.2.1

邏輯函數(shù)的表示方法由邏輯圖寫出邏輯式從輸入端到輸出端逐級寫出圖形符號對應(yīng)的邏輯式。Y

=

A

+

B

+

A

+

B=

(

A

+

B)(

A

+

B)=

AB

+

AB=

A

ˉ

B11§2.2.2

邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式12標(biāo)準(zhǔn)“與或”表達式（最小項之和）標(biāo)準(zhǔn)“或與”表達式（最大項之積）§2.2.2

邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式13函數(shù)的最小項及其性質(zhì)最小項在一個有n個變量的邏輯函數(shù)中，包含全部n個變量的乘積項稱為最小項，其中每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。最小項有時也稱為全積項或者標(biāo)準(zhǔn)乘積項。三變量最小項及其編號最小項使最小項為1的變量取值十進制編號ABCA

B

C0000m0A

BC0011m1AB

C0102m2ABC0113m3A

B

C1004m4A

BC1015m5AB

C1106m6ABC1117m714§2.2.2

邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式最小項的性質(zhì)每一個最小項與變量的一組取值相對應(yīng)，只有該組取值才使其為1。例如：全體最小項之和恒為1。即：AB

C

0

1

0任意兩個不同的最小項的乘積恒為0。例如：(

ABC)(

ABC)

”

0152

-1ni=0

mi

”1§2.2.2

邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式16標(biāo)準(zhǔn)與或表達式每個與項都是最小項的“與或”表達式，稱為標(biāo)準(zhǔn)與或表達式，也稱為最小項之和表達式。從真值表求標(biāo)準(zhǔn)與或表達式找出使邏輯函數(shù)Y為1的變量取值組合；寫出使函數(shù)Y為1的變量取值組合相對應(yīng)的最小項；將這些最小項相“或”，即得到標(biāo)準(zhǔn)與或表達式。從真值表求標(biāo)準(zhǔn)與或表達式（續(xù)）ABCY00000010010001111000101111011111Y

=

ABC

+

ABC

+

ABC

+

ABCY

=

m3

+

m5

+

m6

+

m7Y

=

m(3,5,6,7)17§2.2.2

邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式例如：從一般與或表達式求標(biāo)準(zhǔn)與或表達式方法：利用基本公式A

+A

=1

（互補律）補全與項中的變量。Y

=

AB

+

BC

+

AC=

AB(C

+

C)

+

BC(

A

+

A)

+

AC(B

+

B)=

ABC

+

ABC

+

ABC

+

ABC=

m3

+

m5

+

m6

+

m7

=

m(3,5,6,7)對于任何一個邏輯函數(shù)，它的真值表是唯一的，因而它的標(biāo)準(zhǔn)與或表達式（不考慮順序）也是唯一的18從一般與或表達式求標(biāo)準(zhǔn)與或表達式（續(xù)）熟練后……例題：Y

=

ABC

+

BC

+

D……19§2.2.2

邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式20函數(shù)的最大項及其性質(zhì)最大項在一個有n個變量的邏輯函數(shù)中，包含全部n個變量的和項（確切地說，是“或項”）稱為最大項，其中每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。最大項有時也稱為全和項或者標(biāo)準(zhǔn)和項。三變量最大項及其編號最大項使最大項為0的變量取值十進制編號ABCA

+

B

+

C0000M

0A

+

B

+

C0011M1A

+

B

+

C0102M

2A

+

B

+

C0113M

3A

+

B

+

C1004M

4A

+

B

+

C1015M

5A

+

B

+

C1106M

6A

+

B

+

C1117M

721§2.2.2

邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式最大項的性質(zhì)每一個最大項與變量的一組取值對應(yīng)，即只有這一組取值才使該最大項為0。全體最大項之積恒為0。任意兩個不同的最大項之和恒為1。最大項和最小項之間的關(guān)系：M

i

=mi1

0

1i=0例如：A

+

B

+

C2n

-1Mi

”

0Mi

+

M

j

”1

"

i,

j;i

?

j例如：(

A

+

B

+

C

)

+

(

A

+

B

+

C

)

=

1例如：A

+

B

+

C

=

A

B

C22§2.2.2

邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)或與表達式每個或項都是最大項的或與表達式稱為標(biāo)準(zhǔn)或與表達式，也稱為最大項之積表達式從函數(shù)真值表求標(biāo)準(zhǔn)或與表達式在真值表中找出使邏輯函數(shù)Y為0的行；對于Y=0的行，寫出對應(yīng)的最大項；將所得到的最大項相與。實際步驟23§2.2.2

邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)或與表達式每個或項都是最大項的或與表達式稱為標(biāo)準(zhǔn)或與表達式，也稱為最大項之積表達式從函數(shù)真值表求標(biāo)準(zhǔn)或與表達式在真值表中找出使邏輯函數(shù)Y為0的行；對于Y=0的行，由變量取值“0”、“1”對應(yīng)最大項“原”、“反”變量的關(guān)系，寫出標(biāo)準(zhǔn)或與表達式；M

(...)3)

根據(jù)“或項”確定最大項的編號，可例寫題和成說明的形式。24從真值表求標(biāo)準(zhǔn)或與表達式（續(xù)）ABCY00000010010001111000101111011111Y

=

(

A

+

B

+

C)(

A

+

B

+

C)(

A

+

B

+

C)(

A

+

B

+

C)Y

=

(0,1,2,4)42Y

=

M

0

M1

M

M1

2

3關(guān)鍵：如何對應(yīng)最大項的編號注意：最大項編號/變量取值的對應(yīng)關(guān)系。表達式25方法一、由最大項的定義，根據(jù)最大項變量取值與最大項編號的對應(yīng)關(guān)系從真值表求標(biāo)準(zhǔn)或與表達式（續(xù)）ABCY00000010010001111000101111011111Y

=

(

A

+

B

+

C)(

A

+

B

+

C)(

A

+

B

+

C)(

A

+

B

+

C)m0m1m2m3m4m5m6m7Y

=

(0,1,2,4)42Y

=

M

0

M1

M

M關(guān)鍵：如何對應(yīng)最大項的編號表達式1

2

3方法二、注意到…在以A,B,C原變量列出的真值表中，Y=0的對應(yīng)利用Mi

=mi

的關(guān)系，對應(yīng)得到最大項Mi

的編號。i；反mi演展開后這樣，也可以先確定所含最大項的編號，再根據(jù)最大項編號和變量取值的對應(yīng)關(guān)系，寫出以邏輯變量表達的最大項之積表達式26ABCY0000001001000111100010111101111127k

?i§2.2.2

邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)與或表達式和標(biāo)準(zhǔn)或與表達式如果函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達式為：Y

=

mii函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與表達式則為：Y

=

Mk例如：Y

=

m(3,5,6,7)

Y

=

M

(0,1,2,4)所以，可以從與或表達式求或與表達式Y(jié)

=

miik

?ik

?ik

?i=

mk

=

MkY

=

mk1

”

mi