、全微分的定義由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得Jf(x+△x,y)-f(x,y)≈f(x,y)△rf(x,y+Ay)-f(x,y)f,(r,y)AJ二元函數(shù)二元函數(shù)對(duì)和對(duì)y的偏增量對(duì)x和對(duì)y的偏微分王頁(yè)圓下頁(yè)返回全增量的概念如果函數(shù)z=∫(x,y)在點(diǎn)(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義,并設(shè)P(x+▲x,y+△y)為這鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn),則稱這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差f(x+Ar,y+Ay)-f(x,y)為函數(shù)在點(diǎn)P對(duì)應(yīng)于自變量增量Ax,△y的全增量,記為A,SFfp4z=f(x+Ax,y+Ay)-f(,y).王頁(yè)圓下頁(yè)返回引例:設(shè)矩形的長(zhǎng)、寬分別用x,y表示,則矩形的面積S為s=xy若測(cè)量x,y時(shí)產(chǎn)生的誤差為Ax,△y,則該矩形面積產(chǎn)生的誤差為△S=(x+△r)(y+△y)-xyy△r+xy+Ay上式右端包含兩部分,一部分是y△x+x△y它是壓關(guān)△4的線性函數(shù)另部分是△當(dāng)(△x,△y)→>(00),即P=VAx)2+(Ay)2→>0時(shí),王頁(yè)圓下頁(yè)返回△x△y是比p高階的無(wú)窮小,因此略去高階無(wú)窮小,而用yAx+x4y近似表示AS,則其差△S-(y△x+x△y)=△x△y是一個(gè)比P高階的無(wú)窮小,稱yAx+x△y為函數(shù)S=在(x,y)處的全微分王頁(yè)圓下頁(yè)返回定義如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全增量4=∫(x+4x,y+4y)-f(x,y)可以表示為Az=A△x+B△y+o(p),其中A,B不依賴于Ax,△y而僅與x,y有關(guān),p=(△x)2+(△y)2,則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分,AAx+B△y稱為函數(shù)z=∫(x,y)在點(diǎn)(x,)的全微分,記為d,即dz=A△+B△y王頁(yè)圓下頁(yè)返回若函數(shù)在某區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處處可微分,則稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分如果函數(shù)=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分,則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。事實(shí)上Az=A△r+B△y+0(p),lim△z=0,limf(x+Ax,y+Ay)=limlf(,y)+AzI△y→>0P>0f(r,y)故函數(shù)x=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù)王頁(yè)圓下頁(yè)返回王二、偏導(dǎo)數(shù)在研究一元函數(shù)時(shí),從研究函數(shù)的變化率上引入了導(dǎo)數(shù)的概念,對(duì)于多元函數(shù)同樣需要討論它的變化率。由于多元函數(shù)不止一個(gè)自變量,因此首先考慮多元函數(shù)關(guān)于其中一個(gè)自變量的變化率,就是我們下面的偏導(dǎo)數(shù)概念王頁(yè)圓下頁(yè)返回1.偏導(dǎo)數(shù)的定義定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y)的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)y固定在y而x在x處有增量A時(shí),相應(yīng)地函數(shù)有增量∫(xo+^x,y0)-f(x0,y0)著limf(xo+Ax,yo)f(xo,yo△r存在,則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù),記為王頁(yè)圓下頁(yè)返回azyx或廠(x0,y0)crx=x即f(x0,y)=i∫(x0+Δx,y0)-f(xo,y△r->0王同理可定義函數(shù)z=f(xy)在點(diǎn)(xy1)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)為f(x0,yo+y)-∫(xo,y)(2)△y→>0△y記為,3k=或f(00xy=yo王頁(yè)圓下頁(yè)返回如,設(shè)z=f(x,y)=√xl,求f10,0),0.0)解f(0,0)=im0+4x,0)-f(0,0)x→>0∠x(chóng)∠x(chóng).0|-0=Im=0x→0∠x(chóng)f,(0.0)=0如果函數(shù)=f(x,y