第6章 結構位移計算與虛功-能量法簡述變形體虛功原理變形體虛功原理的應用剛體虛功原理的應用互等定理6-1

虛功原理6-1-1虛位移虛力

虛功虛位移：與對應的力無關的位移，△→FP虛力：與對應的位移無關的力，F(xiàn)P

→△虛功：彼此無關的位移與力的乘積，F(xiàn)P

△△FP狀態(tài)1狀態(tài)26-1-2虛功原理適用條件1力系平衡條件分布荷載與截面內(nèi)力之間的關系QQ(1)yd

FN

+

pd

x

=

0

d

F

+

q

d

x

=

0

d

M

+

F

d

x

=

0Fx

=

0F

=

0M

=

02變形協(xié)調(diào)條件wAuAqAuBqBwBuqw變形與位移協(xié)調(diào):位移連續(xù)、桿件變形后不斷開、不重疊。位移與約束協(xié)調(diào):位移函數(shù)在約束處的數(shù)值等于約束位移。wM+dwMwMqq+dqwqwq+dwqg0dxuu+dudu

=ed

x1：dw1

=g0

d

xw

由剪切變形引起的豎向位移2：dw2

=qd

xw

由彎曲變形引起的豎向位移6-1-2

變形體虛功原理的證明d

FN

+

pd

x

=

0d

FQ

+

q

d

x

=

0d

M

+

FQ

d

x

=

0

(a)BAN

1

2

Q1

2

Q+qdM]+[pu+]dx

=0[udF

+(w

+w

)dFq(w

+w

)+F

q

(c)將含有“dx”的項合并，得由力的平衡方程：2Q

1NQBA[(dF+

pdx)u+(dF

+qdx)(w

+w

)+(dM+F

dx)q]=0

(b)得根據(jù)公式d[uFN

+(w1

+w2)FQ

+qM]=[udFN

+(w1

+w2)dFQ

+qdM]+[FN

du+FQ

d(w1

+w2)+Mdq]（c）式積分號中第一項代入式（c），得1Q212QBBNAABBAA+[

pu

+

q(wF

q

d

x

=

0d[uFN

+(w1

+

w2

)FQ+qM]-[F

d

u

+

F

d(w

+

w

)

+

M

dq]d

x+

w

)]d

x

+

(d)d(uw)=udw+wdu得將式（d）第一項積分號去掉，得1QQ212BBN

1

2

QNAABBAAq]dxqM]

-

[Fdu+F+[pu+q(wd(w

+w

)+Md+w

)]dx+F

qdx

=0[uF

+(w

+w

)F

+

(e)BA+(

pd

x)u+(qd

x)wN

Q

1BA=(F

du+F

dw

+

Mdq)

(f)將式（e）第一項上下限代入，并考慮w

=w1

+w2，dw2

=qd

x

，得[FNBuB

+FQBwB

+

MBqB

]-[FNAuA

+FQAwA

+

MAqA]BA+(

pd

x)u+(qd

x)w1NQBA=(F

du+F

dw

+

Mdq)[FNBuB

+FQBwB

+

MBqB

]-[FNAuA

+FQAwA

+

MAqA]桿端力做的虛功分布力做的虛功截面內(nèi)力做的虛功虛功原理變形體的一組平衡外力在其協(xié)調(diào)的微小虛位移上做的虛功等于這組外力產(chǎn)生的內(nèi)力在虛變形上做的虛功。FR1FP1FP2FP3FP4FP5FR2FR3FP6FP1FP2FP3FP4FP5FP6FR1FR2FR3推廣支座反力做的

虛

功各桿端力做的虛功之和結點集中力做的虛功BA+(

pd

x)u+(qd

x)w[FNBuB

+FQBwB

+

MBqB

]-[FNAuA

+FQAwA

+

MAqA]N

Q

1BA=(F

du+F

dw

+

Mdq)將式（f）中的桿端力用結點集中力和支座反力代替，將其它項對各桿件求和，得FPiDi

+FRkck

+l

(

p

d

x)u

+(q

d

x)w=l

(FN

du

+

FQ

d

w1

+

M

dq)桿系結構的虛功方程FPiDi

+FRkck

+l

(

p

d

x)u

+(q

d

x)w=l

(FNe+

FQg0

+

Mk)d

x則若考慮d

u

=

ed

x

d

w1

=

g0

d

x

dq

=

k

d

x6-2-1荷載作用時的位移計算虛功原理的一般公式FPiDi

+FRkck

+l

(

p

d

x)u

+(q

d

x)w=l

(FNe+

FQg0

+

Mk)d

x6-2

變形體虛功原理的應用1位移計算公式的推導內(nèi)力虛功d

u

d

w1

dqFNP

FQP

MP外力虛功位移狀態(tài)△NQFF

M虛設單位力狀態(tài)1W

=

1

D

=

DWi

=

l

FN

d

u

+

FQ

d

w1

+

M

dq得單位荷載法求位移1FN

d

u

+

FQ

d

w+

M

dqlD

=對于線彈性材料QP1FEAd

u

=

FNP

d

x d

w

=GAEId

x dq

=

MP

d

xkFQ

FQP

MMP+

+

)

d

xGA

EI(lEAFN

FNPD

=位移公式變成：△的物理意義：單位力在位移△上所做的虛功，在數(shù)值上等于位移。FPFQPFNPMPrθMP

=

FP

r

sinqFQP

=

FP

cosqFNP

=

FP

sinqMP

=

r

sinqFQ

=

cosqFN

=

sinq0()

d

s

P

P

P

EI

GA

EAF

r

2

sin2

qkF

cos2

qF

sin2

qsD

BV=++p20p

F

r3(

P

P

P

EI

GA

EAF

r2sin2

qkF

cos2

qF

sin2

q)r

dqF

r F

r

P

+

k

P

+

P

4

EIGA

EA

=++=FPrrB例解h2A

=

12Ik

=1.2對于矩形截面（b×h）let

G

=

0.4E

thenBV4EIp

F

r

3

1

h

2

D =

P

1

+3

r

與彎曲變形相比，剪切和軸向變形對位移的影響,可以忽略不計討論各類結構的計算公式簡化剛架、梁：只考慮彎曲變形引起的位移d

xPlMMEID

=對于桁架：只有軸力N

NPN

NPlF

FF

F

lEA

EAd

x

=D

=對于拱：通常只有彎曲一項。當拱軸與壓力曲線相近 時，需考慮彎曲和軸向變形兩項。FN

FN

PPd

x

+d

xlMMEAEID

=FP

a=

(fi

)EADCH(1+

2

2FP

a

(fl)DCVEA=【例】已知：各桿EA相同，求：D

CH

、D

CVFPaaABCDNPF-

2FPFPFPN1F1ABCD1N

2F-

21【解】AB1CDP12M

=

-12=

1

q

(l

-

x)2解

MM

=

l

-

x例

桿件EI=常數(shù)。試求

D

AV、qA(

)

(

)PlM

M

d

x020ql

4=

(fl)8EI1EI1l

1l

-

x

l

-

x

d

xEI

2AVqD

==qlAx11(-1)

d

x)0ql3=

-

(6EI1EI

2l

1

q

(l

-

x)2Aq

=M1

=

0M

2

=

-1BC

:2qx2M

P

=

2

qa2AB

:

M

P

=M1

=

-x1M

2

=

-12例

各桿EI為常數(shù)。求

DCH、qC解aaABCqqa2/2MP圖x1x21aM1圖1M

2圖(-1)

d

x1

+(

)P

1

1M

P

M

2

d

x22qa3001

l

qx2

2

EI

23EI(-1)

d

x2

=

-CABBCEIEI1

l

qa2EI

2=

1M

M

d

x

+

1q=P

1

1M

P

M1

d

x21

l

qa2=

EI

0

2qa4(-x1

)

d

x1

=

-

4EI

(fi

)=

1CHABBCEIEIM

M

d

x

+

1DM1

=

0M

2

=

-1BC

:2qx2M

P

=

2

qa2AB

:

M

P

=M1

=

-x1M

2

=

-122圖乘法（1）

圖乘法基本公式Pd

xBAM

MEID

=PP1d

x

=BAABM M

d

xM

MEIEIM

=

x

tgaPPM M

d

x

=M

x

tga

d

xBBAAP=

tgax

M

d

xBA00=

tgax

d

A

=

tgaBAx A

=

y

Aayy0MP圖M

圖dxABxx0dAMP條件：1各桿EI為常數(shù)；2桿軸為直線；3MP、M

中至少有一個為直線圖形。P0M M

d

x

=

y

ABA積分等于曲線圖形的面積乘以其形心對應的直線圖形的縱坐標。ayy0MP圖M

圖dxABxx0dAMP已知：EI為常數(shù)。求：qBF

l

2P(

F

l l

)

11

1EI

22EI=

P

Bq

=解MP、M圖均為直線，縱坐標可從任意圖形中選。MP圖FPlFlPBAM圖11(l

1)1

BF

l2EI

1

F

l

2=

P

2

PEI

q

=2PPF

a

()2B

5

8EIq

=-

1(F

a

a)

1

-

1

1F

a

a

1

=

-P

4EI

EI2

解“-”說明實際的轉(zhuǎn)角方向與所設的單位力方向相反已知：EI=常數(shù)。求B點的轉(zhuǎn)角。aFPa4EIEIAEIBFPaMP圖M圖11（2）圖形的面積和形心ql2/8×ab3a/83A

=

2

abb×aa/413A

=

ab圖形的形心與面積一定要與荷載對應（3）圖形的分解按圖形分解y1y2-A1

y1

+

A2

y2-A1

y1

+

A2

y2-A1

y1

+

A2

y2A1××A2×A2+×

A1×A2+A1

×y1y2y1y2按荷載分解y1y3y2A1y1

-

A2

y2

-

A3

y3M1

M2M2M1M2M1＋

×

A1A2

×＋×A3折線要分段y1y2A1

y1

+

A2

y2A1

××A2解l

l

5FP

l

2

2

65F

l

31

1EI

248EI=

P

(fl

)CVD

=PF

l

3EI

2

31

1

F

l

l

1

l

2

=

P

(fl

)12EI★取面積的范圍內(nèi)，另外一個圖形必須是直線。CVD

=已知：EI=常數(shù)。求△CVFPBAl/2l/2CFPlMP圖l/21M圖1

1

ql

2

2

1

ql

2

3

DBV

=

EI

27ql

42l

3

l

+

32l

4

l

24EI=解已知：EI=常數(shù)。求:△BVql/2qlABl1M圖ql2MP圖MP圖按荷載分解ql2/2+ql2/2

2

2

ql

221

1

1

=

qlEI

27ql

4l

3

l

-

38l

2

l

24EIDBV=MP圖按疊加法分解l1M圖ql2MP圖ql2+ql2/8l已知：EI=常數(shù)。求:△CVqlBAC解MP圖按整個桿件的疊加法分解MP圖按半個桿件的疊加法分解2ql2ql2ql2/2+2ql2=2ql22ql2ql2/8ql2/2+=l1M圖2ql2MP圖MP圖按半個桿件的荷載分解l1M圖2ql2MP圖qlql2/2ql2/2ql2/2+ql2+1

1

ql

2

3

12

2

ql

2

1DCV=

·l

·

·l

+

·l

·

ql

·l

+

l

·

·l

EI

3

2

4

2

3

2

2

17ql

424EI

=2mC3

EIq

=

1

-

1

·

8

·

5

·

2

·1

+

1

·

5

·

5

·

1

=

-

85

(rad)EI

2

2

2

已知：EI=常數(shù)。求：qC解1kN/m5kN3m4mA2mBC58MP圖(kNm)1M圖(kNm)解內(nèi)力功

Wi

=

MP

·

M

P

8

EIC

-

Dl

F

llP

1

1

1EI

2

4D==★求兩點的相對位移：

F

l

3

在兩點的連線上加一對兒等值反向的單位力已知：EI=常數(shù)。求：D

C

-D外力功

W

=

1

DC

+

1

D

D

=

DC

+

D

D

=

DC

-DlM圖11ll/2l/2FPl3相對位移計算△C

△DMP圖FPFPl/4解已知：各桿EI=常數(shù)。求：A、B兩點之間的相對轉(zhuǎn)角。1

12332A-BEIEIq

=1

2·32

·8

·

+

1

64·8·8

··1

=

rad(

)-

1kNm8m8mABCD328MP圖(kNm)11M圖11pF

a256EIC

-Cq

=

-已知：EI=常數(shù)。求：qC

-C1M圖aaFPaFPa/2MP圖FPFPa/2解CaFPABFNP

圖a解外力功

W

=

FP

D

A

+

FP

D

BFP

=1ABABqD

+

D1ABW

=

q如果FP

D

A

+

FP

D

B

=

qAB那么即2F

P

EAABF

F

NP

N

EAl

=q

=求：q

ABD

A

+

D

BABABl=D

+

D1AB=

lP-

2FPFPF-FPa2FP1

a-1

aFP=1/

aABFP=1/

aFN圖求qAB-CBaaaFPABCED3m3mABC4kN3m

3m2kNMP、FNP圖6kNm4

組合結構位移計算已知：EI、EA

。求：圖示結構中C截面兩側的相對轉(zhuǎn)角qC

-C(

)213

2

·

1

·

6

CEI

2

3

2

EA

=30

+

4E

I

E

A解

q

=

1

·

6

·

3

·

2

·

1

+

1

·

6

·

3

·

1

+M

=111/3M、FN圖錯題已知：E

=2.1·104

kN/cm2

，I

=3200

cm4

，A

=16

cm2

.求：DBV、qC

-C3m2m1M1、FN圖MP、FNP圖20kNm90kNm1BVD =

1

1

·20·2

·

3

·2

+

1

·20·4

·

2

·2

-

2

·20·4

·

1

·2EI

3

4

2

3

3

2

+2·

1

·90·3·

2

·3

+

1

75·

5

·5

=

155

+

937.5

=

0.0259m4EI

EA

EI

EA

2

3

2

2m10kN/mD3m3m4mAB4EIC

EI錯題？20kNmMP、FNP圖90kNm2m10kN/mD3m3m4mAB4EIEI1M2、FN圖C

-Cq

=

1

-

1

·

20

·

4

1

·

90

·

3

·

2

21

2

1

1

·

3

+

3

·

20

·

4

·

+EI

2

4EI

2

3

EIEA+

1

75

·

5

·

5

=

35.83

+

156.25

=

0.0058

radEA

12

解PEI

3e

=

1 2

F

a3P2a3F

=

3EIe已知位移求荷載（6）其它FP兩個懸臂剛架，在懸臂端插入一個長度為e的墊塊，問需要多大的兩個力。eEIFP

aM

P圖FPFPFPaFPaaM圖FP

=

1FP

=

1aa已知：各桿EI相同。由于D點下垂過大，要加固一段長為a的區(qū)段。問加固哪一段效果顯著。F

a3

F

a32EI

3EI=

0

+

P

+

P

DVD解加固第二跨FPFPaa

aaaFPFP

=

1a已知：梁端點A被拉降低δ=0.05a。求跨中C點的豎向位移。F

1EI

2解

0.05a

=

P

3EI

25a

5a

·

15a

+

2

325F

a35a

8a

·5a

=

P

3

2

3P=

0.03EIF65a2F

1=

-

P

PEI

2CVEI5a

20a38a

2a

·=

-

F

=

-0.0092a

(?)

2

DA5a4a4aBCFP5FPa5FPaPF

=

1M1圖FP

=

12aM2圖6-2-2溫度變化時位移的計算溫度改變時：1）由于纖維的伸長或縮短引起軸向變形d

u由于伸長或縮短不一致，引起彎曲變形dq溫度改變不引起剪切變形d

w1d

xd

xhd

udqa

t2

d

xa

t1

d

x1

201d

u

=

(a

t1

d

x

)2d

x

+

a

t2a

d

x

=

t

a

d

x2t

+

t=dq

=

a

(t2

-

t1

)

d

x

=

aDt

d

xh

hD

=

l

FN

d

u

+

FQ

d

w1

+

M

dq一般公式D

=

l

FN

d

u

+

FQ

d

w1

+

M

dqd

x

+

a

Dt

lF=

a

t0

l

NN

0hM

d

xF

a

tM

a

Dt

d

x=

d

x

+

l

lh

AM=

a

t0

AFN

+a

Dt

hFNMFQ虛設的單位力狀態(tài)d

xd

xhd

udqa

t2

d

xa

t1

d

x實際的位移狀態(tài)符號：由溫度引起的變形方向與由單位力引起 的彎曲方向一致時，取“正”號。其余符號均取絕對值。溫度變化引起的位移計算公式-

5a

l

(?)0-15a

l

2MFND

=

a

DtA

+

a

t

Ahha

10

l l

h=

-

l l

+

2

-a

5

l

=圖示結構桿件一邊溫度升高100C。各桿截面相同為h，且與形心軸對稱。求：C點的豎向位移。解ll100C100C

ABC1M圖l1FN圖+

10a

l

(fi

)0a

10

l

2l

2

2

+

2

+

a

5

(l

+

l

)=10a

l

2MFND

=

a

DtA

+

a

t

Ahhh=圖示結構桿件一邊溫度升高100C。各桿截面相同為h，且對稱于形心。求：C點的水平位移。解ll100C100CAB

C1lM圖1FN圖111FN圖1E

H25a

l

2=

a

DtAM

+

a

t0

AFN-

20a

l

(?

)hhD=

-圖示結構溫度變化如圖。各桿截面高度相同為h，且對稱于形心。求：E點的水平位移。解-200C-200C

-200C200C100C-200ClllElM圖16-3剛體虛功原理的應用6-3-1靜定結構支座位移下的位移計算靜定結構在支座位移作用下，只有剛體位移，沒有變形，即d

u

=

d

w1

=

dq

=

0虛功原理N

Q

1R

i

i1

D

+

F

c

=

F

d

u

+

F

d

w

+

M

dql△位移狀態(tài)ci1FR2力狀態(tài)FR1故支座位移引起的位移公式D

=

-

FRi

ciF

R

ici

=

-qC

-Cah=

-C

Va

-

1

b）=

la

+

b2

4h

24hD =

-（-

l解已知支座位移。求qC

-C、DCVabhl/2l/211/h0M1圖1/2l/4hM

2圖1已知：AB桿做短了△lAB。求：安裝后，C點的豎向位移。解

位移狀態(tài)：只有剛體位移。d

u

=

d

w

=

dq

=

0力狀態(tài)：在求位移處加單位力、將有制造誤差的桿件去掉，畫出桿件的軸力。6-3-2靜定結構制造誤差下的結構位移計算ABCADlABDCV實際的位移狀態(tài)ABFN

AB1虛設的單位力狀態(tài)剛體虛功原理1

DCV

+

FNABDlAB

=

0DCV拉力×短的誤差壓力×短的誤差取“正”號若多個桿件有誤差D

=

-

FN

i

Dli注意：FN

AB=

-FN

AB

DlABDlAB

的符號ADlABDCV實際的位移狀態(tài)ABFN

AB1虛設的單位力狀態(tài)已知：下弦桿均做短了0.6cm。求：結點A的豎向位移。解6mA6×6m11/21/2111/21/22AVN

i

i

D

=

-

F

Dl

=

-

4

·

1

+

2

·1·

0.6

=

-2.4

cm6-3-3靜定結構的支反力和內(nèi)力計算P1

0yBF

1

+

-F3

=2

+

-2FP

4

F

6F=

P

+

P2

4P=

2FyBFFP

2FP2a2a2aaE

BACaD實際的力狀態(tài)FyBAFPBECD2FP虛設的單位位移狀態(tài)1/2AED1B3/4C求：B點的支反力;E點的彎矩。ME

=

0MEFP2FPBEACD1BACDaEa/2實際的力狀態(tài)虛設的單位位移狀態(tài)Q

B1=

-

20

· +10

·

1

=

-12.5

kN2

4

F

左20kNF

左Q

B10kN11/21/42m20kN10kN2m2m2m2m力狀態(tài)虛設的單位位移狀態(tài)Q

B2=

-(-10

·

1

)

=

5

kNFR力狀態(tài)虛設的單位位移狀態(tài)20kN10kNQ

BFR11/2MB

=

-(-10

·1)=

10

kN

m10kNM

B20kN11力狀