統(tǒng)計(jì)學(xué)--參數(shù)估計(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)-從典型案例到問(wèn)題和思想

經(jīng)濟(jì)管理類“十三五”規(guī)劃教材引言第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)第二節(jié)區(qū)間估計(jì)第六章

參數(shù)估計(jì)統(tǒng)計(jì)推斷的過(guò)程總體樣本樣本統(tǒng)計(jì)量例如：樣本均值、比例、方差總體均值、比例、方差等參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法描述統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)在統(tǒng)計(jì)方法中的地位

【引言】先看一個(gè)參數(shù)估計(jì)應(yīng)用的案例：二戰(zhàn)中蘇軍是如何破解了德軍坦克產(chǎn)量？二戰(zhàn)期間，希特勒單方撕毀《蘇德互不侵犯條約》，向前蘇聯(lián)的整個(gè)西線發(fā)動(dòng)了蓄謀已久的“閃電戰(zhàn)”侵略，戰(zhàn)場(chǎng)上德軍坦克戰(zhàn)斗力強(qiáng)，為了保家衛(wèi)國(guó)和打敗侵略者，蘇軍非常想知道：德軍總共生產(chǎn)了多少輛坦克？

第六章

參數(shù)估計(jì)

為解決此問(wèn)題，蘇軍了解到德國(guó)人在生產(chǎn)坦克方面是從1開始連續(xù)編號(hào)，即坦克編號(hào)服從均勻分布。在戰(zhàn)爭(zhēng)過(guò)程中，蘇軍繳獲了一些德軍坦克，并收集了它們的生產(chǎn)編號(hào)。蘇聯(lián)統(tǒng)計(jì)專家發(fā)現(xiàn)：德國(guó)坦克生產(chǎn)總數(shù)N用最大似然法無(wú)偏性后(費(fèi)歇爾，1925)的點(diǎn)估計(jì)結(jié)果較好，即N=(1+1÷n)×繳獲坦克的最大編號(hào)，n是繳獲的坦克數(shù)。

第六章

參數(shù)估計(jì)如繳獲了50輛坦克，它們的最大生產(chǎn)編號(hào)是3000，那么坦克生產(chǎn)總數(shù)的點(diǎn)估計(jì)是N=(1+1÷50)×3000=3060。以此類推，蘇軍知道了德軍飛機(jī)、大炮、槍支數(shù)量，并由此推知了德國(guó)軍事力量的規(guī)模。于是，蘇軍積蓄了充足的軍力，聯(lián)合盟軍一起打敗了二戰(zhàn)中瘋狂的德軍并占領(lǐng)了柏林。從戰(zhàn)后發(fā)現(xiàn)的德軍記錄來(lái)看，蘇軍的這些估計(jì)值非常接近真實(shí)值。第六章

參數(shù)估計(jì)

這就是統(tǒng)計(jì)學(xué)幫助了蘇軍并打敗德軍的典型案例，是軍事問(wèn)題、點(diǎn)估計(jì)相結(jié)合的成果！點(diǎn)估計(jì)迄今是統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要方法，本章主要介紹參數(shù)估計(jì)的基本的內(nèi)容。第六章

參數(shù)估計(jì)

一、什么是點(diǎn)估計(jì)？我們用樣本均值作為總體均值的估計(jì)，用樣本比例作為總體比例的估計(jì)，用樣本方差作為總體方差的估計(jì)等，這就是點(diǎn)估計(jì)。一般地，點(diǎn)估計(jì)是用對(duì)應(yīng)的估計(jì)量的某個(gè)取值直接作為相應(yīng)總體參數(shù)θ的估計(jì)值。第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)

估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的隨機(jī)變量如樣本均值，樣本比例、樣本方差等例如:樣本均值就是總體均值的一個(gè)估計(jì)量參數(shù)用表示，估計(jì)量用表示估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)量的具體值如果樣本均值x=80，則80就是的估計(jì)值估計(jì)量與估計(jì)值

點(diǎn)估計(jì)舉例：例如：對(duì)某大學(xué)一年級(jí)新生的平均月消費(fèi)μ進(jìn)行估計(jì)，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測(cè)得其平均月消費(fèi)

=1200元，用1200元作為該大學(xué)一年級(jí)新生的平均月消費(fèi)μ的一個(gè)估計(jì)值，即是點(diǎn)估計(jì)。再比如：若要估計(jì)一批產(chǎn)品的合格率，根據(jù)抽樣結(jié)果合格率為96%，將96%直接作為這批產(chǎn)品合格率的估計(jì)值，這也是一個(gè)點(diǎn)估計(jì)。

第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)

點(diǎn)估計(jì)的求解方法主要有

：矩估計(jì)法最大似然估計(jì)法

第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)

一、矩估計(jì)法矩估計(jì)法是一種常用的估計(jì)方法，其基本思想是，用樣本原點(diǎn)矩作為總體原點(diǎn)矩的估計(jì)。

第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)

設(shè)k個(gè)參數(shù)

，求k個(gè)參數(shù)

矩估計(jì)

需要建立k個(gè)方程，方法是：設(shè)總體的一個(gè)樣本觀測(cè)值是

，其l階原點(diǎn)矩

，總體觀測(cè)量X的l階原點(diǎn)矩，用樣本原點(diǎn)矩Al作為總體原點(diǎn)矩ml的估計(jì)，得出k個(gè)方程Al=ml(θ)(l=1,…,k)，解此方程組得出的

即為參數(shù)

的矩估計(jì)。

第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)

【例6-1】設(shè)總體

的均值

及方差

都存在但均未知，設(shè)來(lái)自總體

的一個(gè)樣本是

，求

，

的矩估計(jì)

，

。

第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)

解：是兩個(gè)參數(shù)，故需要建立兩個(gè)方程。因?yàn)?/p>

令

得

即即總體均值的矩估計(jì)是樣本均值，而總體方差（即總體的二階中心矩）矩估計(jì)是樣本二階中心矩。上述結(jié)果表明，求總體均值與方差的矩估計(jì)無(wú)需知道總體服從什么分布。

第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)

二、最大似然估計(jì)法最大似然方法的基本思想是，固定樣本觀測(cè)值

，在可能的取值中，挑選使似然函數(shù)達(dá)到最大（從而概率p達(dá)到最大）的

作為參數(shù)θ的估計(jì)。這樣得到的

稱之為參數(shù)θ的最大似然估計(jì)。因此，求參數(shù)θ的最大似然估計(jì)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求似然函數(shù)

的最大值問(wèn)題了。

第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)

【例6-2】設(shè)

，

，

未知，

是來(lái)自總體的一個(gè)樣本觀測(cè)值，求

，

的極大似然估計(jì)。解：是兩個(gè)參數(shù)，故需要建立兩個(gè)方程。所以似然函數(shù)為：

第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)

取對(duì)數(shù)后，分別對(duì)，求偏導(dǎo)數(shù)并令其為0，將取為，得兩個(gè)方程，解此方程組得的最大似然估計(jì)：上述結(jié)果表明，求總體均值與方差的最大似然估計(jì)需要知道總體分布。

第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)

二、估計(jì)量的優(yōu)良性標(biāo)準(zhǔn)對(duì)同一參數(shù)，用不同的估計(jì)方法，可以得到不同的估計(jì)量，如典型案例6中德國(guó)坦克生產(chǎn)總數(shù)N的矩估計(jì)量、最大似然估計(jì)量就不同。那么，那個(gè)估計(jì)方法更好呢？這里給出參數(shù)估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：無(wú)偏性、有效性和一致性，我們稱之為估計(jì)量的優(yōu)良性標(biāo)準(zhǔn)。

第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)

1．無(wú)偏性設(shè)

為總體參數(shù)，

為

的一個(gè)估計(jì)量，如果

，則稱

是

的無(wú)偏估計(jì)量。即

是

重心，

與

的距離最近。

第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)P(

)BA無(wú)偏有偏2．有效性設(shè)

為θ的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量，如果有：

，則稱

。即對(duì)于同一總體參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量來(lái)說(shuō)，方差越小的估計(jì)量越有效。

第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)AB的抽樣分布的抽樣分布P(

)3．一致性設(shè)

為

的一個(gè)估計(jì)量，若當(dāng)

時(shí)，

依概率收斂于

，則稱

為

的一致估計(jì)量。此即隨著樣本容量n的增大，點(diǎn)估計(jì)量

越來(lái)越接近被估總體參數(shù)

。

第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(

)

可以證明，估計(jì)量樣本平均

、樣本比例p、樣本方差

分別是總體平均

、總體比例π、總體方差

的無(wú)偏、有效、一致估計(jì)量。即滿足優(yōu)良性標(biāo)準(zhǔn)。

第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)

點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)潔明了，給出了具體的估計(jì)值；缺點(diǎn)是無(wú)法提供估計(jì)的精度和估計(jì)的可靠程度，因此，不能完全依賴于一個(gè)點(diǎn)估計(jì)值，而是圍繞點(diǎn)估計(jì)值構(gòu)造總體參數(shù)的一個(gè)區(qū)間，這就是區(qū)間估計(jì)。

第二節(jié)區(qū)間估計(jì)

一、區(qū)間估計(jì)的概念

區(qū)間估計(jì)就是總體參數(shù)θ落在區(qū)間估計(jì)量?jī)?nèi)的概率為1-α，即

。稱區(qū)間

為總體參數(shù)θ的置信度為的置信區(qū)間。第二節(jié)區(qū)間估計(jì)

對(duì)于給定的抽樣方法，不同的抽樣，就有不同的估計(jì)區(qū)間在用同樣方法構(gòu)造的總體參數(shù)的多個(gè)估計(jì)區(qū)間中，包含總體參數(shù)真值的區(qū)間所占的比例稱為置信水平，表示為(1-。2.為是未包含總體參數(shù)的區(qū)間所占的比例。常用的置信水平值有99%,95%,90%相應(yīng)的為0.01，0.05，0.10置信度（置信水平）

置信區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱為置信區(qū)間。其中區(qū)間的最小值稱為置信下限，最大值稱為置信上限。統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間。用一個(gè)具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的區(qū)間，我們無(wú)法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值。

構(gòu)造參數(shù)的區(qū)間估計(jì)時(shí)，要權(quán)衡以下兩個(gè)方面，一是估計(jì)量的精度要求，二是估計(jì)量的可靠性程度。所謂精度要求就是要把估計(jì)誤差控制在一定的范圍內(nèi)，我們用極限誤差來(lái)反映?！髟叫?，表示估計(jì)的精度越高；△越大，表示估計(jì)的精度越低。所謂可靠性是指區(qū)間估計(jì)結(jié)果正確的概率保證。用置信度來(lái)反映。第二節(jié)區(qū)間估計(jì)

在其它條件不變的情況下，置信度與精度二者呈反方向變化，要想提高置信度，置信區(qū)間就會(huì)增大，精度就會(huì)下降；要想提高精度，置信度就會(huì)下降。在實(shí)際中，通常根據(jù)實(shí)際問(wèn)題和研究的需要，選擇合適的置信度和精度。第二節(jié)區(qū)間估計(jì)

總體參數(shù)符號(hào)表示樣本統(tǒng)計(jì)量均值比例方差一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)二、總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)是本章的重點(diǎn)，我們分以下四種情況來(lái)討論。第二節(jié)區(qū)間估計(jì)

1．總體服從正態(tài)分布，總體方差

已知根據(jù)正態(tài)分布再生定理，樣本均值

，將

標(biāo)準(zhǔn)化，記

。對(duì)于概率可靠程度，有：

第二節(jié)區(qū)間估計(jì)

將

代入上式，經(jīng)過(guò)不等式的等價(jià)變形，得：總體均值在置信度

下的置信區(qū)間為：

(6.3)其中：為抽樣極限誤差。第二節(jié)區(qū)間估計(jì)

影響極限誤差的因素1. 總體數(shù)據(jù)的離散程度，用來(lái)測(cè)度樣本容量，置信水平(1-)，影響z的大小

常用置信水平的值置信水平90%95%95.45%99%0.100.050.04550.010.050.0250.022750.0051.6451.9622.58

亦可查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到。【例6-4】假定某地區(qū)企業(yè)總經(jīng)理的年收入服從正態(tài)分布，隨機(jī)抽取n=25個(gè)企業(yè)，得到25個(gè)企業(yè)總經(jīng)理的年平均收入

=135000元。已知總體的標(biāo)準(zhǔn)差為

=55000元，試求該地區(qū)企業(yè)總經(jīng)理的年平均收入

在置信度

=95%的置信區(qū)間。第二節(jié)區(qū)間估計(jì)

解：總體服從正態(tài)分布，且方差

已知，因此，總體均值

在置信度95%下的置信區(qū)間為：=。即在95%的概率可靠程度下，此次抽樣得該地區(qū)企業(yè)總經(jīng)理的年平均收入的置信區(qū)間為（113440，156560）元。

第二節(jié)區(qū)間估計(jì)2.對(duì)于總體分布未知，大樣本（

），根據(jù)中心極限定理，樣本均值近似服從

，因而同樣可以用式(6.3)得出估計(jì)區(qū)間。

第二節(jié)區(qū)間估計(jì)

3．總體分布未知，方差

未知，大樣本此時(shí)，我們用總體方差

的無(wú)偏估計(jì)量

代替，運(yùn)用中心極限定理，與式(6.3)的證法同理有：總體均值

在置信度

下的置信區(qū)間為：

第二節(jié)區(qū)間估計(jì)【例6-5】在一項(xiàng)對(duì)大學(xué)生資助貸款的研究中，從全國(guó)各地隨機(jī)抽取n=100名貸款的大學(xué)生作為樣本，得到畢業(yè)前的平均欠款余額

=20000元，標(biāo)準(zhǔn)差s=3000元。試求貸款學(xué)生總體中平均欠款額μ的

95%的置信區(qū)間。

第二節(jié)區(qū)間估計(jì)解：該題為總體分布未知，方差

未知，大樣本情形，因此，總體均值μ

在置信度

95%下的置信區(qū)間為：=即在置信度95%下，此次抽樣得全國(guó)貸款學(xué)生平均欠款額的置信區(qū)間為（19412，20588）元。

第二節(jié)區(qū)間估計(jì)4．總體服從正態(tài)分布，總體方差

未知，小樣本情況下，總體均值

在置信度下的置信區(qū)間見(jiàn)式（6.2）。

第二節(jié)區(qū)間估計(jì)【例6-3】已知某企業(yè)生產(chǎn)的燈管壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一大批燈管中隨機(jī)抽取n=16只，分別測(cè)得壽命（單位：小時(shí)）如下：3510345034803460352034963490346034643526353034703516352034943470在概率可靠程度1-α=95%下，求這批燈管平均壽命μ的區(qū)間估計(jì)。第二節(jié)區(qū)間估計(jì)

解：可算得總體均值點(diǎn)估計(jì)：且

查t分布表得：

總體均值

在概率

=95%下的區(qū)間估計(jì)：=（3476.8,3503.2）即在概率可靠程度95%下，此次抽樣得該批燈管平均壽命的區(qū)間估計(jì)為（3476.8,3503.2）小時(shí)之間。第二節(jié)區(qū)間估計(jì)

三、總體比例的區(qū)間估計(jì)總體比例，是指總體中，具有某種特征的單位個(gè)數(shù)與全部單位數(shù)之比，記為

?，F(xiàn)實(shí)中，這種問(wèn)題很多。比如，產(chǎn)品的合格率問(wèn)題、考試及格率、市場(chǎng)占有率問(wèn)題等。樣本比例，是指樣本中，具有某種特征的單位個(gè)數(shù)與樣本容量之比，記為

。

總體比例是一種特殊的總體均值

第二節(jié)區(qū)間估計(jì)當(dāng)樣本量

充分大（

）時(shí)，

近似服從正態(tài)分布，將

標(biāo)準(zhǔn)化后有：

與式(6.3)的證法同理有：總體比例

在置信度

下的置信區(qū)間為：

(6.4)

第二節(jié)區(qū)間估計(jì)總體比例是未知的，通常用