人教A版（2019）選擇性必修第三冊6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理一、單選題1．某省專家組為評審某市是否達(dá)到“生態(tài)園林城市”的標(biāo)準(zhǔn)，從包含甲、乙兩位專家在內(nèi)的8人中選出4人組成評審委員會，若甲、乙兩位專家已經(jīng)被邀請，則組成該評審委員會的不同方式共有（

）A．30種 B．15種 C．20種 D．25種2．從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持主題班會，則不同的選法種數(shù)為（

）A．6 B．5 C．3 D．23．有3名防控新冠肺炎疫情的志愿者，每人從2個不同的社區(qū)中選擇1個進(jìn)行服務(wù)，則不同的選擇方法共有（

）A．12種 B．9種 C．8種 D．6種4．某學(xué)生在書店發(fā)現(xiàn)3本好書，決定至少買其中的1本，則購買方法有（

）A．3種 B．6種 C．7種 D．9種5．某夜市的一排攤位上共有9個鋪位，現(xiàn)有6家小吃類店鋪，3家飲料類店鋪打算入駐，若要排出一個攤位規(guī)劃，要求飲料類店鋪不能相鄰，則可以排出的攤位規(guī)劃總個數(shù)為（

）A． B． C． D．6．四個學(xué)生，隨機(jī)分配到三個車間去勞動，不同的分配方法數(shù)是（

）A．12 B．64 C．81 D．247．已知，則可表示不同的值的個數(shù)為（

）A．10 B．6C．8 D．98．今年我國中醫(yī)藥選出的“三藥三方”對治療新冠肺炎均有顯著效果，功不可沒．“三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必清注射液；“三方”分別為清肺排毒湯、化濕敗毒方、宜肺敗毒方，若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機(jī)選出2種，則恰好選出1藥1方的方法種數(shù)為（

）A．15 B．30 C．6 D．99．某學(xué)校有東、南、西、北四個校門，受新冠肺炎疫情的影響，學(xué)校對進(jìn)入四個校門做出如下規(guī)定：學(xué)生只能從東門或西門進(jìn)入校園，教師只能從南門或北門進(jìn)入校園.現(xiàn)有2名教師和3名學(xué)生要進(jìn)入校園（不分先后順序），請問進(jìn)入校園的方式共有（

）A．6種 B．12種 C．24種 D．32種10．由0，1，2，3，4，5共6個不同數(shù)字組成的6位數(shù)，要求0不能在個位數(shù)，奇數(shù)恰好有2個相鄰，則組成這樣不同的6位數(shù)的個數(shù)是（

）A．144 B．216 C．288 D．43211．甲、乙、丙共3人參加三項知識競賽，每項知識競賽第一名到第三名的分?jǐn)?shù)依次為10，5，3.競賽全部結(jié)束后，甲獲得其中兩項的第一名及總分第一名，則下列說法錯誤的是（

）A．第二名、第三名的總分之和為29分或31分B．第二名的總分可能超過18分C．第三名的總分共有3種情形D．第三名不可能獲得其中任何一場比賽的第一名12．過三棱柱中任意兩個頂點連線作直線，在所有這些直線連線中構(gòu)成異面直線的對數(shù)為（

）A．18 B．30 C．36 D．54二、填空題13．某學(xué)校有東、南、西、北四個校門．受新冠肺炎疫情的影響，學(xué)校對進(jìn)入四個校門做出如下規(guī)定：學(xué)生只能從東門或西門進(jìn)入校園，教師只能從南門或北門進(jìn)入校園．現(xiàn)有3名教師和4名學(xué)生要進(jìn)入校園（不分先后順序），請問進(jìn)入校園的方式共有_________種．（用數(shù)字作答）14．有紅、黃、藍(lán)旗各3面，每次升1面、2面或3面旗縱向排列在某一旗桿上表示不同的信號，順序不同也表示不同的信號，共可以組成______種不同的信號．15．2020年是我國脫貧攻堅決戰(zhàn)決勝之年，某縣農(nóng)業(yè)局為支持該縣的扶貧工作，決定派出8名農(nóng)技人員（5男3女），并分成兩組，分配到2個貧困村進(jìn)行扶貧工作，若每組至少3人，且每組都有男農(nóng)技人員，則不同的分配方案共有______種（用數(shù)字填寫答案）．16．某醫(yī)療隊有6名醫(yī)生，其中只會外科的醫(yī)生1名，只會內(nèi)科的醫(yī)生3名，既會外科又會內(nèi)科的醫(yī)生2名.現(xiàn)在要從醫(yī)療隊中抽取3名醫(yī)生支援3個不同的村莊，每個村莊1人，要求3名醫(yī)生中至少有一名會內(nèi)科，至少有一名會外科，則共有___________種派遣方法.17．高三年級畢業(yè)成人禮活動中，要求，，三個班級各出三人，組成小方陣，則來自同一班級的同學(xué)既不在同一行，也不在同一列的概率為__.三、解答題18．（1）如果，那么在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，集合中有多少個不同的點？（2）如果，，那么在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程所表示的不同的直線共有多少條？19．甲?乙?丙三位教師指導(dǎo)五名學(xué)生參加全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，每位教師至少指導(dǎo)一名學(xué)生.(1)若每位教師至多指導(dǎo)其中一名學(xué)生，求共有多少種分配方案；(2)若教師甲只指導(dǎo)其中一名學(xué)生，求共有多少種分配方案.20．如圖，用紅、黃、藍(lán)三種顏色涂圖中標(biāo)號分別為1，2，3，…，9的9個小正方形，使得任意相鄰（有公共邊）的小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號為1，5，9的3個小正方形涂相同的顏色，則符合條件的涂法共有多少種？21．某藝術(shù)小組有9人，每人至少會鋼琴和小號中的一種樂器，其中7人會鋼琴，3人會小號，從中選出會鋼琴與會小號的各1人，有多少種不同的選法？參考答案：1．B根據(jù)題意只需再從除甲、乙兩位專家外的6人中選2人即可.【詳解】解：由題意知，甲、乙已經(jīng)被邀請，相當(dāng)于只需再從6人中選2人，則有種不同的組成方式.故選：B．2．B利用分類加法原理求解即可.【詳解】選女同學(xué)有3種選法，選男同學(xué)有2種選法，所以共有5種選法.故選：B.本題考查分類加法原理，是基礎(chǔ)題.3．C根據(jù)分步計數(shù)原理可求.【詳解】每名防控新冠肺炎疫情的志愿者都有2種不同的選擇方法，根據(jù)分步計數(shù)原理可知，不同的選擇方法共有（種）．故選：C．4．C根據(jù)分類加法計數(shù)原理即可求解.【詳解】分3類，買1本書，買2本書，買3本書，各類的方法依次為3種，3種，1種，故購買方法有3＋3＋1＝7(種).故選：C5．D不相鄰問題用插空法，先排好小吃類店鋪，然后將飲料類店鋪進(jìn)行插空即可.【詳解】先將6個小吃類店鋪進(jìn)行全排列，有種排法，再從這6個小吃類店鋪形成的7個空中選3個進(jìn)行排列，有種排法，故排出的攤位規(guī)劃總個數(shù)為．故選：D6．C根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，即可求解.【詳解】先安排一位同學(xué)分配到三個車間去勞動，有3種安排方法，同理，再安排一位同學(xué)分配到三個車間去勞動，也有3種安排方法，依次類推，因此，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有種分配方法.故選：C本題主要考查了利用分步乘法計數(shù)原理解決實際問題，屬于容易題.7．D采用分步乘法計數(shù)原理進(jìn)行分析，第一步先從集合中取一個值，得到對應(yīng)的情況數(shù)，第二步再從集合中取一個值，得到對應(yīng)的情況數(shù)，兩次的情況數(shù)相乘并分析結(jié)果，由此可知可表示不同的值的個數(shù).【詳解】解析：因為從集合中任取一個值共有個不同的值，從集合中任取一個值共有個不同的值，故可表示個不同的乘法計算，且經(jīng)檢驗計算結(jié)果均不相同，所以可表示不同的值有個．故選：D.8．D根據(jù)題意，分析“1藥”和“1方”的取法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機(jī)選出2種，恰好選出1藥1方，則1藥的取法有3種，1方的取法也有3種，則恰好選出1藥1方的方法種數(shù)為；故選：．本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．D先分別確定學(xué)生進(jìn)入校園的方式和教師進(jìn)入校園的方式；再用分步乘法原理求得答案.【詳解】因為學(xué)生只能從東門或西門進(jìn)入校園，所以3名學(xué)生進(jìn)入校園的方式共種.因為教師只可以從南門或北門進(jìn)入校園，所以2名教師進(jìn)入校園的方式共有種.所以2名教師和3名學(xué)生要進(jìn)入校園的方式共有種情況.故選：D10．C先從3個奇數(shù)中選2個奇數(shù)捆綁看成一個整體，然后將它們分別安置在5個位置上，其中根據(jù)這個整體與剩下的一個奇數(shù)不相鄰，以及0不在首位，也不在最后一個位置，利用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】先從3個奇數(shù)中選2個奇數(shù)捆綁看成一個整體，然后將它們分別安置在5個位置上，分別記為①②③④⑤，其中這個整體與剩下的一個奇數(shù)不相鄰，以及0不在①號位置，也不在⑤號位置．（1）若奇數(shù)排在①③號位置，則排法總數(shù)為；（2）若奇數(shù)排在①④號位置，則排法總數(shù)為；（3）若奇數(shù)排在①⑤號位置，則排法總數(shù)為；（4）若奇數(shù)排在②④號位置，則排法總數(shù)為；（5）若奇數(shù)排在②⑤號位置，則排法總數(shù)為；（6）若奇數(shù)排在③⑤號位置，則排法總數(shù)為；根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，排法總數(shù)為．故選：C．方法點睛：（1）對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進(jìn)行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法．（2）對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法．11．C根據(jù)給定條件按甲的得分情況分類，再求出第二名、第三名的得分即可判斷作答.【詳解】依題意，甲的得分情況有兩種：10，10，5和10，10，3，顯然3人的總得分為54分，甲得分為10，10，5時，第二名、第三名的總分之和為29分，甲得分為10，10，3時，第二名、第三名的總分之和為31分，A正確；甲得分為10，10，5時，第二名得分有三種情況：5，5，10；5，3，10；3，3，10，總分分別為20分，18分，16分，第三名得分對應(yīng)有三種情況：3，3，3；3，5，3；5，5，3，總分分別為9分，11分，13分，甲得分為10，10，3時，第二名得分有三種情況：5，5，10；5，3，10；3，3，10，總分分別為20分，18分，16分，第三名得分對應(yīng)有三種情況：3，3，5；3，5，5；5，5，5，總分分別為11分，13分，15分，選項B，D正確，第三名總分有4種情況，C不正確.故選：C12．C根據(jù)題意，分棱柱側(cè)棱與底面邊、棱柱側(cè)棱與側(cè)面對角線、底面邊與側(cè)面對角線、底面邊與底面邊、側(cè)面對角線與側(cè)面對角線五類依次計數(shù)即可得答案.【詳解】解：如圖，分以下幾類：棱柱側(cè)棱與底面邊之間所構(gòu)成的異面直線有：對；棱柱側(cè)棱與側(cè)面對角線之間所構(gòu)成的異面直線有：對；底面邊與側(cè)面對角線之間所構(gòu)成的異面直線有：對；底面邊與底面邊之間所構(gòu)成的異面直線有：對；側(cè)面對角線與側(cè)面對角線之間所構(gòu)成的異面直線有：對；所以共有對.故選：C.本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，異面直線的判斷，分類加法計數(shù)原理，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意合理分類，做到不重不漏，進(jìn)而解決，是難題.13．128根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可求出．【詳解】∵學(xué)生只能從東門或西門進(jìn)入校園，∴4名學(xué)生進(jìn)入校園的方式共=16種．∵教師只可以從南門或北門進(jìn)入校園，∴3名教師進(jìn)入校園的方式共有種．∴3名教師和4名學(xué)生要進(jìn)入校園的方式共有種情況．故答案為：128．14．39根據(jù)給定條件分成每次升1面、升2面、升3面旗3類，求出各類表示的信號數(shù)，再將各類信號數(shù)相加即得.【詳解】每次升1面旗可組成3種不同的信號；每次升2面旗可組成種不同的信號；每次升3面旗可組成種不同的信號，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共可組成種不同的信號．故答案為：3915．180分為兩類：第一類是一組3人，另一組5人，第二類是兩組均為4人，然后根據(jù)人數(shù)分組，再進(jìn)行排列即可.【詳解】分配的方案有兩類，第一類：一組3人，另一組5人，有種；第二類：兩組均為4人，有種，所以共有種不同的分配方案．故填：180本題考查了分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理以及排列組合數(shù)的計算，屬于中檔題目，解題中需要注意分組的條件要充分考慮到，防止重復(fù)和遺漏.16．114根據(jù)醫(yī)生的情況，分從只會外科的人中選1人和從只會外科的人中選0人兩類求解.【詳解】由題知，有2名醫(yī)生既會外科，也會內(nèi)科，只會外科的1名，5名會內(nèi)科，以選出只會外科的人數(shù)進(jìn)行分類：從只會外科的人中選1人：，從只會外科的人中選0人：，所以共114種.故答案為：11417．.根據(jù)題意，由排列、組合數(shù)公式計算“三個班級各出三人，組成小方陣”和“來自同一班級的同學(xué)既不在同一行，也不在同一列”的排法，由古典概型公式計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，，，三個班級各出三人，組成小方陣，有種安排方法，若來自同一班級的同學(xué)既不在同一行，也不在同一列，則第一行隊伍的排法有種，第二行隊伍的排法有2種；第三行隊伍的排法有1種；第一行的每個位置的人員安排方法有種，第二行的每個位置的人員安排有種，第三行的每個位置的人員安排有種，則自同一班級的同學(xué)既不在同一行，也不在同一列的概率；故答案為：.本題主要考查古典概型的概率求法以及排列組合的應(yīng)用，還考查了分析求解問題的能力，屬于中檔題.18．（1）36；（2）16（1）利用分步相乘計數(shù)原理即可得解；（2）利用分步相乘計數(shù)原理即可得解.【詳解】（1）根據(jù)題意，確定集合中的點，需分兩步完成：第1步，確定有6種方法；第2步，確定有6種方法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)為.所以集合中共有36個不同的點.（2）根據(jù)題意，確定方程所表示的直線，需分兩步完成：第1步，確定斜率有4種方法；第2步，確定截距有4種方法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)為.所以方程所表示的不同的直線共有16條.19．(1)(2)（1）甲?乙?丙三位教師各指導(dǎo)了一名學(xué)生，進(jìn)而根據(jù)排列求解即可；（2）先分一名學(xué)生給甲老師，剩余學(xué)生按要求分兩組并分給另兩名老師.(1)解：因為每位教師至少指導(dǎo)一名學(xué)生，且每位教師至多指導(dǎo)其中一名學(xué)生，所以甲?乙?丙三位教師各指導(dǎo)了一名學(xué)生，所以甲?乙?丙三位教師各有5種選擇，故有種.所以，滿足條件的分配方案有種.(2)解：從5名學(xué)生任選1名學(xué)生分配給甲教師指導(dǎo)，有種，乙?丙兩位教師各有種選擇，所以，根據(jù)分步乘法原理，分配方案共有種.所以，滿足條件的分配方案有種.20．108（種）分三步：首先看圖形中