第三章行波法與積分變換法

2020/12/171ppt課件行波法(求解無界區(qū)域內波動方程定解問題)積分變換法(無界或有界區(qū)域)2020/12/172ppt課件精品資料你怎么稱呼老師？如果老師最后沒有總結一節(jié)課的重點的難點，你是否會認為老師的教學方法需要改進？你所經歷的課堂，是講座式還是討論式？教師的教鞭“不怕太陽曬，也不怕那風雨狂，只怕先生罵我笨，沒有學問無顏見爹娘……”“太陽當空照，花兒對我笑，小鳥說早早早……”3.1一維波動方程的達朗貝爾公式2020/12/175ppt課件3.1一維波動方程的達朗貝爾公式考慮代換利用復合函數(shù)求導法則得2020/12/176ppt課件3.1一維波動方程的達朗貝爾公式同理有:代入方程，得到2020/12/177ppt課件在上式中對積分,得(是的任意可微函數(shù))3.1一維波動方程的達朗貝爾公式再將此式對積分,其中

都是任意二次連續(xù)可微函數(shù).2020/12/178ppt課件利用初始條件，確定兩個函數(shù)的具體形式。由第二式得……………②……………①.............③其中3.1一維波動方程的達朗貝爾公式2020/12/179ppt課件由①,③解得代入通解表達式，得—達朗貝爾(D’Alembert)公式.3.1一維波動方程的達朗貝爾公式2020/12/1710ppt課件圖3-1u2xt=0u2xu2xt=1/2u2xt=1t=2考慮的物理意義隨著時間t的推移u2的圖形以速度a

向x軸正向移動.3.1一維波動方程的達朗貝爾公式2020/12/1711ppt課件物理意義:隨著時間t

的推移,的圖形以速度a

向x軸正方向移動,也就是說,它表示一個以速度a向x軸正方向行進的波,稱為右行波.同樣道理,以速度a向x軸負方向傳播的行波,稱為左行波.3.1一維波動方程的達朗貝爾公式2020/12/1712ppt課件在平面上斜率為的兩族直線

,對一維波動方程的研究起到重要作用,稱這兩族直線為一維波動方程的特征線,變換稱為特征變換,行波法也叫特征線法.3.1一維波動方程的達朗貝爾公式2020/12/1713ppt課件的積分曲線,這個常微分方程稱為它的特征方程

.一維波動方程的兩族特征線恰好是常微分方程3.1一維波動方程的達朗貝爾公式2020/12/1714ppt課件一般的二階線性偏微分方程它的特征方程為(*)這個常微分方程的積分曲線稱為偏微分方程(*)的特征曲線.記稱其為二階線性偏微分方程的判別式雙曲型方程橢圓型方程拋物型方程3.1一維波動方程的達朗貝爾公式2020/12/1715ppt課件可以證明，當時，有兩條相異的實特征線因此特征線法對雙曲型方程都是有效的，沿著特征線做自變量替換總可以把雙曲型方程化為

從而得到方程的通解3.1一維波動方程的達朗貝爾公式2020/12/1716ppt課件例求下面問題的解:(3.1)解:特征方程兩族積分曲線為做特征變換3.1一維波動方程的達朗貝爾公式2020/12/1717ppt課件3.1一維波動方程的達朗貝爾公式2020/12/1718ppt課件代入方程化簡得:3.1一維波動方程的達朗貝爾公式2020/12/1719ppt課件它的通解為其中,是兩個二次連續(xù)可微函數(shù).于是原方程的通解為代入初始條件,，得第二式的兩端得關于積分得解得所求問題的解為3.1一維波動方程的達朗貝爾公式2020/12/1720ppt課件解特征方程為特征曲線為例求方程的一般解.3.1一維波動方程的達朗貝爾公式2020/12/1721ppt課件所以，做變換則原方程可以變?yōu)?/p>

其中,是任意的二次連續(xù)可微函數(shù).于是，方程的通解為3.1一維波動方程的達朗貝爾公式2020/12/1722ppt課件3.2三維波動方程的泊松公式2020/12/1723ppt課件研究波在空間傳播問題.三維波動方程的初值問題3.2三維波動方程的泊松公式2020/12/1724ppt課件一、球對稱情形球坐標系3.2三維波動方程的泊松公式若僅是r的函數(shù),則是r和t的函數(shù),此時稱定解問題是球對稱的。2020/12/1725ppt課件球對稱波動方程進一步有3.2三維波動方程的泊松公式對球對稱問題2020/12/1726ppt課件球對稱情形下，三維波動方程邊值問題可化為3.2三維波動方程的泊松公式這個問題我熟悉！2020/12/1727ppt課件由達朗貝爾公式3.2三維波動方程的泊松公式2020/12/1728ppt課件二.一般情況令表示在球面上的平均值。其中M=M(x,y,z),是球面上的點,

3.2三維波動方程的泊松公式2020/12/1729ppt課件二.一般情況令3.2三維波動方程的泊松公式表示以M為中心的單位球面，表示上的面積元素，表示單位球面上的面積元素，2020/12/1730ppt課件即而3.2三維波動方程的泊松公式以下推導所滿足方程及初始條件。2020/12/1731ppt課件3.2三維波動方程的泊松公式2020/12/1732ppt課件進一步有：兩邊關于r求導，得得由3.2三維波動方程的泊松公式2020/12/1733ppt課件即可得：由3.2三維波動方程的泊松公式2020/12/1734ppt課件由初值條件和的表達式，有：其中分別是函數(shù)在上的球平均值。

滿足如下定解問題：3.2三維波動方程的泊松公式2020/12/1735ppt課件方程的通解為利用初始條件有其中是兩個二次連續(xù)可微的任意函數(shù)3.2三維波動方程的泊松公式2020/12/1736ppt課件所以解方程組得3.2三維波動方程的泊松公式2020/12/1737ppt課件將延拓到r<0的范圍內。并且同理也是偶函數(shù)利用3.2三維波動方程的泊松公式2020/12/1738ppt課件所以3.2三維波動方程的泊松公式2020/12/1739ppt課件由于，只考慮的情形利用洛必達法則3.2三維波動方程的泊松公式2020/12/1740ppt課件即簡記成3.2三維波動方程的泊松公式三維波動方程的泊松公式2020/12/1741ppt課件三、泊松公式的物理意義從泊松公式出發(fā)，解釋波在三維空間的傳播現(xiàn)象.設且，

1.在任一固定點的振動情況設，由沿以M為中心，at為半徑的球面的曲面積分所決定。

3.2三維波動方程的泊松公式2020/12/1742ppt課件M點處于靜止狀態(tài)，說明T的振動尚未達到M點。①當時，為空集，所以②當時，不為空集，所以M點處于振動狀態(tài),表明T的振動已傳到M點。③當時，為空集，說明振動已傳過M點，M點仍回復到靜止狀態(tài)。

3.2三維波動方程的泊松公式2020/12/1743ppt課件2.在某固定時刻，初始時刻的振動所傳播的范圍設，T

是半徑為R

的球體。由Poisson公式，只有與M相距為的點上的初始擾動能夠影響的值，故P點的初始擾動，在時刻只影響到以P為球心，以為半徑的球面當P在T內移動時，球面族的包絡面所圍成的區(qū)域即為T內各點的振動在時刻所傳播的區(qū)域，稱為T在時刻的影響區(qū)域。3.2三維波動方程的泊松公式2020/12/1744ppt課件總之，三維空間中有限區(qū)域T上的初始振動，有著清晰的前陣面和后陣面，對空間的任一點，振動傳過后，仍回復到平衡狀態(tài)，這種只在有限時間內引起振動的現(xiàn)象稱為Huygens原理。

在足夠大時，包絡面以T的心o(T)為心，分別以和為半徑的球面所夾部分。故時刻的影響區(qū)域為

的球殼，球面是振動到來的前峰，稱為波的前陣面,球面是振動傳過后的后沿，稱為波的后陣面。3.2三維波動方程的泊松公式2020/12/1745ppt課件R3.2三維波動方程的泊松公式2020/12/1746ppt課件[解]

例.設已知三維波動問題中的初位移，初速度分別為：,求解相應的Cauchy問題。3.2三維波動方程的泊松公式2020/12/1747ppt課件三.降維法及二維波動方程考慮二維波動方程的初值問題設解為,令，則3.2三維波動方程的泊松公式2020/12/1748ppt課件由泊松公式球面在平面上投影為

設其上面積微元為，則由投影關系有：其中v表示dS的單位法向量與之夾角，3.2三維波動方程的泊松公式又上、下兩球面的投影有對稱關系，故柱面波2020/12/1749ppt課件3.3積分變換法2020/12/1750ppt課件3.3積分變換法

常見的兩種積分變換---傅立葉變換---拉普拉斯變換.

2020/12/1751ppt課件如果滿足上面的條件，我們可以定義傅立葉逆變換為:如果函數(shù)在上絕對可積，它的傅立葉變換定義如下有時把記為。一.傅立葉變換反演公式3.3積分變換法2020/12/1752ppt課件傅立葉變換的性質:1）線性性質設f,g是絕對可積函數(shù)，是任意復常數(shù)，則2）微分性質設f,絕對可積函數(shù)，則3）乘多項式設f,

xf絕對可積，則3.3積分變換法2020/12/1753ppt課件4）伸縮性質設f(x)

絕對可積，則6）卷積性質設f,g

是絕對可積函數(shù)，令則5）平移性質設f(x)

絕對可積，則3.3積分變換法2020/12/1754ppt課件例用積分變換法解方程：解：作關于x

的傅立葉變換,方程可變?yōu)樵O3.3積分變換法2020/12/1755ppt課件可解得由于即則3.3積分變換法2020/12/1756ppt課件從而方程的解3.3積分變換法2020/12/1757ppt課件例用積分變換法解方程解：作關于的傅立葉變換。設方程變?yōu)?.3積分變換法用常數(shù)變易法可解得而則2020/12/1758ppt課件3.3積分變換法利用反演公式有2020/12/1759ppt課件3.3積分變換法2020/12/1760ppt課件例用積分變換法求解初值問題：解：作關于x

的傅立葉變換。設3.3積分變換法2020/12/1761ppt課件于是原方程變?yōu)闈M足初始條件3.3積分變換法2020/12/1762ppt課件齊次方程的解設非齊次方程的解為3.3積分變換法2020/12/1763ppt課件令則3.3積分變換法2020/12/1764ppt課件代入方程得3.3積分變換法2020/12/1765ppt課件積分3.3積分變換法方程通解為由初始條件取傅立葉逆變換，得其中的傅立葉變換.是而所以取傅立葉逆變換，得2020/12/1766ppt課件3.3積分變換法2020/12/1767ppt課件傅立葉逆變換是一種把分析運算化為代數(shù)運算的有效方法,但1.傅立葉變換要求原象函數(shù)在R上絕對可積,大部分函數(shù)不能作傅立葉變換2.傅立葉變換要求函數(shù)在整個數(shù)軸上有定義,研究混合問題時失效.3.3積分變換法2020/12/1768ppt課件二.拉普拉斯變換定義:f(t)定義在上，若其滿足下列條件f(t)分段光滑；存在常數(shù)M和使得則稱f(t)為初始函數(shù),稱為f(t)的增長指數(shù).反例3.3積分變換法2020/12/1769ppt課件定理:設f(t)是一以為增長指數(shù)的初始函數(shù),則經變換得到的函數(shù)F(p)是上的解析函數(shù).上述變換稱為拉普拉斯變換3.3積分變換法2020/12/1770ppt課件例

3.3積分變換法2020/12/1771ppt課件反演公式：在f(t)

的每一個連續(xù)點均有其中，3.3積分變換法2020/12/1772ppt課件基本性質:1）線性性質設f,g

的拉普拉斯變換分別為L(

f),L(g

),是任意復常數(shù)，則

2）微分性質假設,則3.3積分變換法2020/12/1773ppt課件6）卷積性質定義4）延遲性質5）伸縮性質則3）積分性質3.3積分變換法2020/12/1774ppt課件例設求解常微分方程的初值問題解對進行拉普拉斯變換,設,則3.3積分變換法2020/12/1775ppt課件于是原方程變?yōu)橛缮鲜降?對進行拉普拉斯逆變換,得3.3積分變換法2020/12/1776ppt課件解問題歸結為求解下列定解問題:例一條半無限長的桿，端點溫度變化已知，桿的初始溫度為0，求桿上溫度分布規(guī)律。3.3積分變換法對t進行拉普拉斯變換怎么變換？為什么？知道的值了2020/12/1777ppt課件方程通解為表示溫度，當時，一定有