2021-2022學(xué)年浙江省寧波市星海中學(xué)高二數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.等差數(shù)列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，=33，則n的值為(

)．A．50 B．49 C．48 D．47參考答案：A2.在等差數(shù)列中，若，則的值為（

）A．20

B．22

C．24

D．28參考答案：C3.459和357的最大公約數(shù)（）A．3 B．9 C．17 D．51參考答案：D【考點(diǎn)】輾轉(zhuǎn)相除法；最大公因數(shù)．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】用大數(shù)除以小數(shù)，得到商和余數(shù)，再用上面的除數(shù)除以余數(shù)，有得到商和余數(shù)，繼續(xù)做下去，知道剛好能夠整除為止，得到兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公約數(shù)是51，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查輾轉(zhuǎn)相除法，這是一個(gè)算法案例，還有一個(gè)求最大公約數(shù)的方法是更相減損法，這種題目出現(xiàn)的比較少，但是要掌握題目的解法．本題也可以驗(yàn)證得到結(jié)果．4.運(yùn)行如圖所示的程序框圖，若輸出的n的值為71，則判斷框中可以填（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由已知中的程序語(yǔ)句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量n的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【詳解】模擬程序的運(yùn)行，可得n＝10，i=1，不滿(mǎn)足n是3的倍數(shù)，n=21,i=2,不滿(mǎn)足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，滿(mǎn)足n是3的倍數(shù)，n＝17，i=3，不滿(mǎn)足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，不滿(mǎn)足n是3的倍數(shù)，n=35,i=4,不滿(mǎn)足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，不滿(mǎn)足n是3的倍數(shù)，n＝71，i=5，此時(shí)，滿(mǎn)足判斷框內(nèi)的條件，退出循環(huán)，輸出n的值為71，觀察各個(gè)選項(xiàng)可得判斷框內(nèi)的條件是i>4？故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．5.從6名學(xué)生中，選出4人分別從事A、B、C、D四項(xiàng)不同的工作，若其中，甲、乙兩人不能從事工作A，則不同的選派方案共有（

）

A．96種

B．180種

C．240種

D．280種參考答案：C6.已知?jiǎng)t（

）條件A、充分不必要

B、必要不充分

C、充要條件

D、既不充分也不必要

參考答案：A7.P是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)，離心率e=，則∠F1PF2的最大值是（

）（A）60°

（B）90°

（C）120°

（D）135°參考答案：A8.已知等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則該數(shù)列的公比是（

）A.

B.9

C.

D.3參考答案：D9.在極坐標(biāo)系中與圓相切的一條直線(xiàn)的方程為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B10.“x2﹣1=0”是“x=1”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合集合的包含關(guān)系判斷即可．【解答】解：由x2﹣1=0，解得：x=±1，故x2﹣1=0”是“x=1”的必要不充分條件，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分必要條件，考查集合的包含關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若在集合{1，2，3，4}和集合{5，6，7}中各隨機(jī)取一個(gè)數(shù)相加，則和為奇數(shù)的概率為

．參考答案：考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式．專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：求出所有基本事件，兩數(shù)和為奇數(shù)，則兩數(shù)中一個(gè)為奇數(shù)一個(gè)為偶數(shù)，求出滿(mǎn)足條件的基本事件，根據(jù)概率公式計(jì)算即可．解答： 解：從集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7}中各取一個(gè)數(shù)，基本事件共有4×3=12個(gè)，∵兩數(shù)和為奇數(shù)，∴兩數(shù)中一個(gè)為奇數(shù)一個(gè)為偶數(shù)，∴故基本事件共有2×1+2×2=6個(gè)，∴和為奇數(shù)的概率為=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定基本事件的個(gè)數(shù)是關(guān)鍵12.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都是2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則頂點(diǎn)B1的坐標(biāo)是__________．參考答案：（，1，2）13.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為

。參考答案：略14.在中，三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)_______參考答案：115.過(guò)三點(diǎn)A（﹣4，0），B（0，2）和原點(diǎn)O（0，0）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．參考答案：（x+2）2+（y﹣1）2=5【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】由條件利用圓的弦的性質(zhì)求出圓心的坐標(biāo)，可得圓的半徑，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：由于所求的圓經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A（﹣4，0），B（0，2）和原點(diǎn)O（0，0），故圓心在直線(xiàn)x=﹣2上，又在y=1上，故圓心的坐標(biāo)為M（﹣2，1），半徑為MO=，故要求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）2+（y﹣1）2=5，故答案：（x+2）2+（y﹣1）2=5．16.在區(qū)間（0，4）內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則使不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【專(zhuān)題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】先利用不等式求出滿(mǎn)足不等式成立的x的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式求解．【解答】解：由題意知0＜x＜4．由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，所以由幾何概型的概率公式可得使不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的概率為=，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何概型，要求熟練掌握幾何概型的概率求法．17.函數(shù)f（x）=ax3+ax2+x+1有極值的充要條件是

．參考答案：a＜0或a＞1【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】通過(guò)f（x）有零點(diǎn)可知f′（x）=ax2+2ax+1=0有解，分a=0、a≠0兩種情況討論即可．【解答】解：因?yàn)閒（x）=ax3+ax2+x+1，x∈R，所以f′（x）=ax2+2ax+1，因?yàn)閒（x）=ax3+ax2+x+1有極值，所以f′（x）=0有解，即ax2+2ax+1=0有解．（1）當(dāng)a=0時(shí)，顯然不滿(mǎn)足題意；（2）當(dāng)a≠0時(shí)，要使一元二次方程ax2+2ax+1=0有解，只需△=4a2﹣4a≥0，即a≤0或a≥1．又因?yàn)楫?dāng)a=0或a=1時(shí)f（x）=ax3+ax2+x+1沒(méi)有極值，所以函數(shù)f（x）=ax3+ax2+x+1有極值的充要條件是a＜0或a＞1，故答案為：a＜0或a＞1．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，底面是正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中點(diǎn)，AA1=AB=2．（Ⅰ）求證：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求直線(xiàn)A1D與平面AB1D所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MI：直線(xiàn)與平面所成的角；LS：直線(xiàn)與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）連結(jié)AB1，BA1，交于點(diǎn)O，連結(jié)OD推導(dǎo)出OD∥A1C，由此能證明A1C∥平面AB1D．（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，過(guò)A作DC的平行線(xiàn)為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線(xiàn)A1D與平面AB1D所成角的正弦值．【解答】證明：（Ⅰ）連結(jié)AB1，BA1，交于點(diǎn)O，連結(jié)OD，∵D是BC中點(diǎn)，底面是正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四邊形ABB1A1是正方形，∴O是A1B的中點(diǎn)，∴OD∥A1C，∵OD?平面AB1D，∴A1C?平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D；解：（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，過(guò)A作DC的平行線(xiàn)為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，A1（0，0，2），D（），A（0，0，0），B1（，﹣1，2），C（，1，0），=（，0，﹣2），=（），=（），設(shè)平面AB1D的法向量=（x，y，z），則，取z=1，得=（0，2，1），設(shè)直線(xiàn)A1D與平面AB1D所成角為θ，則sinθ===．∴直線(xiàn)A1D與平面AB1D所成角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線(xiàn)面平行的證明，考查線(xiàn)面角的正弦值的求法，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．19.已知f（x）=（a2﹣a﹣1）xa（a是常數(shù)）為冪函數(shù)，且在第一象限單調(diào)遞增．（1）求f（x）的表達(dá)式；（2）討論函數(shù)g（x）=在（﹣，+∞）上的單調(diào)性，并證之．參考答案：【考點(diǎn)】3E：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；4U：冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【分析】（1）由f（x）為冪函數(shù)，且在第一象限單調(diào)遞增，列出方程組，能求出f（x）的表達(dá)式．（2）推導(dǎo)出g（x）=x++3，利用定義法和分類(lèi)討論思想能求出結(jié)果．【解答】解：（1）∵f（x）=（a2﹣a﹣1）xa（a是常數(shù)）為冪函數(shù)，且在第一象限單調(diào)遞增．∴由題意得：，解得a=2，∴f（x）=x2．（2）g（x）===x++3，任取x1，x2∈（﹣），且x1＜x2，則g（x1）﹣g（x2）=（）﹣（+3）=（x1﹣x2）+（）=，①當(dāng)﹣＜0時(shí)，x1x2﹣2＜0，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），∴g（x）在（﹣，0）上單調(diào)遞減．②當(dāng)0＜時(shí)，x1x2﹣2＜0，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），∴g（x）在（0，）上單調(diào)遞減．③當(dāng)時(shí)，x1x2﹣2＜0，x1﹣x2＜0，x1x2＜0，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），∴g（x）在[，+∞）上單調(diào)遞增．20.（本小題滿(mǎn)分12分）已知頂點(diǎn)為原點(diǎn)O的拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合,與在第一和第四象限的交點(diǎn)分別為A、B．(1)若△AOB是邊長(zhǎng)為的正三角形，求拋物線(xiàn)的方程；(2)若，求橢圓的離心率；參考答案：（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，依題意得拋物線(xiàn)的方程為∵△是邊長(zhǎng)為的正三角形，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，

代入拋物線(xiàn)的方程解得，故所求拋物線(xiàn)的方程為

（2）∵,∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)是代入橢圓方程解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)是

∵點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，∴，

將代入上式整理得：，即，解得

∵，故所求橢圓的離心率。21.如圖在長(zhǎng)方形ABCD中，已知AB=4,BC=2,M,N