2021年河南省南陽市育才中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知3sinα﹣cosα=0，7sinβ+cosβ=0，且0＜α＜＜β＜π，則2α﹣β的值為（）A． B．﹣ C． D．﹣π參考答案：D【考點】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】由3sinα﹣cosα=0，求出tanα的值，再由二倍角的正切公式求出tan2α的值，由7sinβ+cosβ=0，求出tanβ的值，根據(jù)角的范圍得到2α﹣β∈（﹣π，0），再由兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡代值得答案．【解答】解：∵3sinα﹣cosα=0，∴．．∵7sinβ+cosβ=0，∴．∵0＜α＜＜β＜π，∴2α∈（0，π），2α﹣β∈（﹣π，0），=．則2α﹣β的值為：．故選：D．2.在所在平面內(nèi)有一點O，滿足，則（

）A．

B.

C.3

D.參考答案：C略3.（5分）（2015?澄海區(qū)校級二模）對a、b∈R，運算“⊕”、“”定義為：a⊕b=，ab=，則下列各式其中不恒成立的是（）（1）ab+a⊕b=a+b（2）ab﹣a⊕b=a﹣b（3）[ab]?[a⊕b]=a?b（4）[ab]÷[a⊕b]=a÷b．A．（1）（3）B．（2）（4）C．（1）（2）（3）D．（1）（2）（3）（4）參考答案：【考點】：函數(shù)恒成立問題．【專題】：新定義．【分析】：根據(jù)運算分別討論a≥b或a＜b時結(jié)論是否成立即可．解：根據(jù)定義，若a≥b，則ab=a，a⊕b=b，此時（1）ab+a⊕b=a+b（2）ab﹣a⊕b=a﹣b

（3）[ab]?[a⊕b]=a?b

（4）[ab]÷[a⊕b]=a÷b．都成立．若a＜b時，ab=b，a⊕b=a，（1）ab+a⊕b=b+a=a+b成立．（2）此時ab﹣a⊕b=b﹣a∴此時（2）不成立．（3）[ab]?[a⊕b]=b?a=a?b，此時（3）成立．（4）若a＜b時，ab=b，a⊕b=a，此時[ab]÷[a⊕b]=b÷a，∴（4）不一定成立．故選：B．【點評】：本題主要新定義，根據(jù)a，b的大小關(guān)系進行討論即可，本題的實質(zhì)是考查加法和乘法滿足交換律，減法和除法不滿足交換律．4.已知集合，，則A∩B=（

）A.[－2,4] B.[1,+∞) C.(0,4] D.[－2,+∞)參考答案：C【分析】算出集合后可求.【詳解】，，故，故選C.【點睛】本題考查集合的交集，屬于基礎(chǔ)題，解題時注意對數(shù)不等式的等價轉(zhuǎn)化.5.“”是“成立”的（ )A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A6.設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（） A．

B.

C.

D.

參考答案：B7.已知命題，則命題的否定為

A.

B.

C.

D.參考答案：D命題p的否定書寫方法為：先變量詞，再否結(jié)論，對照各選項，只有D符合.8.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z=3+i，則z=（）A．1+2i B．2+2i C．2﹣i D．1+i參考答案：A【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、共軛復(fù)數(shù)的意義即可得出．【解答】解：∵（1﹣i）z=3+i，∴（1+i）（1﹣i）z=（3+i）（1+i），化為：2z=2+4i，即z=1+2i．故選：A．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、共軛復(fù)數(shù)的意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．9.已知實數(shù)x、y，滿足條件，則2x-y的最大值是A．2 B．5 C．6 D．8參考答案：C10.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是,則正視圖中的值是A.2

D.

3參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若方程＋(k－2)x＋2k－1＝0的兩根中，一根在0和1之間，另一根在1和2之間，則實數(shù)k的取值范圍是__________．參考答案：略12.下列說法正確的是 .(填序號)①命題“，”的否定是“，”；②“”是“”的必要不充分條件；③若，且，則至少有一個大于2；④已知命題：函數(shù)在上為增函數(shù)，命題：函數(shù)在上為減函數(shù)，則命題“”為假命題.參考答案：③④13.在北緯45°的緯線圈上有A、B兩地，A地在東經(jīng)110°處，B地在西經(jīng)160°處，設(shè)地球半徑為R，則A、B兩地的球面距離是

。參考答案：

答案：

14.已知單位向量_______.參考答案：3

解得15.定義：區(qū)間的長度為.已知函數(shù)定義域為，值域為，則區(qū)間的長度的最大值為

▲

.參考答案：16.已知直角梯形ABCD中，,,,P是腰CD上的動點，則的最小值為____________.參考答案：17.對于任意實數(shù)和b，不等式恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是________。參考答案：原不等式可化為恒成立，因此只要求的最小值。因為，所以，且當(dāng)時取到最小值為2.因此有，解得

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的普通方程是，曲線C1的參數(shù)方程是（為參數(shù)）。在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，曲線C2的極坐標(biāo)方程是。（1）求直線l及曲線C1的極坐標(biāo)方程；（2）已知直線l與曲線C1交于O，M兩點，直線l與曲線C2交于O，N兩點，求的最大值。參考答案：(1);.(2).【分析】（1）先寫出它們的直角坐標(biāo)方程，再寫出它們的極坐標(biāo)方程；（2）先求出，再求出及其最大值.【詳解】（1）將代入得，∴直線的極坐標(biāo)方程是，∵曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），∴曲線的普通方程是，即，∴曲線的極坐標(biāo)方程是；（2）將分別代入曲線和的極坐標(biāo)方程，則，∴，∵，∴當(dāng)，取最大值1，∴的最大值為.【點睛】本題主要考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)方程的互化，考查極坐標(biāo)下兩點間距離的最值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19.如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，ABCD是平行四邊形，，平面ABCD⊥平面CDEF，．（1）求證：；（2）若，，BF與平面ABCD所成角為45°，求該五面體的體積．參考答案：（1）證明見解析；（2）．（1）過作于，連接，∵平面平面，且交線為，∴平面，而平面，∴，又，∴，∴，而，∴，即，又，∴平面，而平面，∴．（2）由知平面，而平面平面，∴，由（1）知為等腰直角三角形，而，，∴，又由（1）知為與平面所成角，∴，而平面，平面，∴．20.（12分）已知命題p：關(guān)于x的方程x2﹣ax+4=0有實根；命題q：關(guān)于x的函數(shù)y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函數(shù)，若“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】：命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】：計算題．【分析】：由已知中，命題p：關(guān)于x的方程x2﹣ax+4=0有實根；命題q：關(guān)于x的函數(shù)y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函數(shù)，我們可以求出命題p與命題q為真或假時，實數(shù)a的取值范圍，又由“p或q”為真，“p且q”為假，構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，解不等式組即可得到實數(shù)a的取值范圍．解：若p真：則△=a2﹣4×4≥0∴a≤﹣4或a≥4（4分）若q真：，∴a≥﹣12（8分）由“p或q”是真命題，“p且q”是假命題得：p、q兩命題一真一假（10分）當(dāng)p真q假時：a＜﹣12；當(dāng)p假q真時：﹣4＜a＜4（12分）綜上，a的取值范圍為（﹣∞，﹣12）∪（﹣4，4）（14分）【點評】：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用，其中根據(jù)已知條件，求出命題p與命題q為真或假時，實數(shù)a的取值范圍，是解答本題的關(guān)鍵．21.已知二階矩陣M有特征值λ1=4及屬于特征值4的一個特征向量并有特征值λ2=-1及屬于特征值-1的一個特征向量(1)求矩陣M.(2)求M5α.參考答案：(1)設(shè)M=則∴①ks5u又∴②由①②可得a=1,b=2,c=3,d=2，∴M=

…………4分(2)易知∴…………7分22.設(shè)函數(shù)，其中a為常數(shù).（1）當(dāng)，求a的值；（2）當(dāng)時，關(guān)于x的不等式恒成立，求a的取值范圍.參考答案：（1）;(2)實數(shù)a的取值范圍為.試