上海市呂巷中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．[﹣3，3] B．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．[﹣1，1]參考答案：D【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合不等式之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分條件，∴（﹣1，4）?（2m2﹣3，+∞），∴2m2﹣3≤﹣1，解得﹣1≤m≤1，故選：D．2.在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD是（

）A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形參考答案：A【分析】根據(jù)向量相等可知四邊形ABCD為平行四邊形；由數(shù)量積為零可知，從而得到四邊形為矩形.【詳解】，可知且

四邊形為平行四邊形由可知：

四邊形為矩形本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查相等向量、垂直關(guān)系的向量表示，屬于基礎(chǔ)題.3.已知兩座燈塔A、B與C的距離都是a，燈塔A在C的北偏東20°，燈塔B在C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為

(

)A．a(chǎn)B.

C. D．2a參考答案：B略4.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：D【分析】把復(fù)數(shù)的分母部分進(jìn)行實(shí)數(shù)化即可，，化簡(jiǎn)后即可得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，進(jìn)而得到答案.【詳解】，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限答案選D.5.已知，為常數(shù)，且的最大值為2，則＝A．2

B．4

C．

D．參考答案：C當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以，所以，選C.6.有3張獎(jiǎng)券，其中2張可中獎(jiǎng)，現(xiàn)3個(gè)人按順序依次從中抽一張，小明最后抽，則他抽到中獎(jiǎng)券的概率是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C7.由0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字且個(gè)位上的數(shù)字不能為1的3位數(shù)共有

A．28個(gè)

B．36個(gè)

C．39個(gè)

D．42個(gè)參考答案：C略8.下列有關(guān)命題的說法正確的是A．命題“若則”的逆否命題為真命題.B．函數(shù)的定義域?yàn)?C．命題“使得”的否定是：“均有”.

D．“”是“直線與垂直”的必要不充分條件.參考答案：A9.已知命題p：任意，都有；命題q：，則有．則下列命題為真命題的是（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】先分別判斷命題真假，再由復(fù)合命題的真假性，即可得出結(jié)論.【詳解】為真命題；命題是假命題，比如當(dāng),或時(shí)，則不成立.則，，均為假.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假性，判斷簡(jiǎn)單命題的真假是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10..已知函數(shù)（），若的圖象與的圖象重合，記的最小值為，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A.（） B.（）C.（） D.（）參考答案：D【分析】根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)周期性求得，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得的單調(diào)遞增區(qū)間?！驹斀狻扛鶕?jù)輔助角公式，將函數(shù)化簡(jiǎn)可得因?yàn)榈膱D象與的圖象重合所以即則，因?yàn)樗詣t因?yàn)橛嘞液瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為所以解得所以單調(diào)遞增區(qū)間為（）所以選D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，周期性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等差數(shù)列{an}中，若a1+a4+a7=15，a3+a6+a9=3，則S9=

．參考答案：27【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由題意可得a4=5，a6=1，進(jìn)而可得a5=3，而S9=9a5，計(jì)算可得．【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+a4+a7=3a4=15，a3+a6+a9=3a6=3，解之可得a4=5，a6=1，故a4+a6=6，即2a5=6，a5=3，故S9===27故答案為：27【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，屬中檔題．12.已知點(diǎn),,，設(shè)的平分線與相交于，如果，那么等于．參考答案：試題分析：由題意可知,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理，可知,根據(jù)等合比性質(zhì)，可知,根據(jù)兩個(gè)向量方向是相反的，所以考點(diǎn)：三角形的內(nèi)角平分線定理，向量共線的條件.13.四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面SAD是以SD為斜邊的等腰直角三角形，若四棱錐S-ABCD的體積取值范圍為，則該四棱錐外接球表面積的取值范圍是

．參考答案：

14.當(dāng)a時(shí)，關(guān)于x的不等式（ex﹣a）x﹣ex+2a＜0的解集中有且只有兩個(gè)整數(shù)值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（，）【考點(diǎn)】指、對(duì)數(shù)不等式的解法．【分析】關(guān)于x的不等式（ex﹣a）x﹣ex+2a＜0可化為（x﹣1）ex＜a（x﹣2）；設(shè)f（x）=（x﹣1）ex，g（x）=a（x﹣2），其中a＜；利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性、求出f（x）的最值，畫出f（x）、g（x）的圖象，結(jié)合圖象得出不等式的解集中有且只有兩個(gè)整數(shù)時(shí)a的取值范圍．【解答】解：當(dāng)a時(shí)，關(guān)于x的不等式（ex﹣a）x﹣ex+2a＜0可化為ex（x﹣1）﹣a（x﹣2）＜0，即（x﹣1）ex＜a（x﹣2）；設(shè)f（x）=（x﹣1）ex，g（x）=a（x﹣2），其中a＜；∴f′（x）=ex+（x﹣1）ex=xex，令f′（x）=0，解得x=0；∴x＞0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；x＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；∴x=0時(shí)f（x）取得最小值為f（0）=﹣1；g（x）=a（x﹣2）是過定點(diǎn)（2，0）的直線；畫出f（x）、g（x）的圖象如圖所示；要使不等式的解集中有且只有兩個(gè)整數(shù)值，∵a＜，當(dāng)x=0時(shí)y=﹣1，滿足條件，0是整數(shù)解；當(dāng)x=﹣1時(shí)，f（﹣1）=﹣2e﹣1；當(dāng)x=﹣2時(shí)，f（x）=﹣3e﹣2，此時(shí)=＞a，不等式有兩個(gè)整數(shù)解為﹣1和0，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，）．故答案為：（，）．15.已知命題p：?x∈R，ax2+2x+1≤0是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：a＞1【考點(diǎn)】特稱命題；命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】將條件轉(zhuǎn)化為ax2+2x+1＞0恒成立，檢驗(yàn)a=0是否滿足條件，當(dāng)a≠0時(shí)，必須

，從而解出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：命題p：?x∈R，ax2+2x+1≤0是假命題，即“ax2+2x+1＞0“是真命題①．當(dāng)a=0時(shí)，①不成立，當(dāng)a≠0時(shí)，要使①成立，必須，解得a＞1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＞1．故答案為：a＞1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次不等式的應(yīng)用，注意聯(lián)系對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象特征，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．16.已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角為________參考答案：4.

略17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的頂點(diǎn)和點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)為，則

．參考答案：由三角函數(shù)定義得，所以三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=x2+ax﹣lnx．（1）若a=1，試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）令g（x）=，若函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，求a的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性判斷單調(diào)性，從而求函數(shù)的極值；（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，化簡(jiǎn)構(gòu)造函數(shù)h（x），求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，討論函數(shù)h′（x）正負(fù)性，判斷h（x）的單調(diào)性，根據(jù)h（x）的正負(fù)性，判斷g（x）的單調(diào)性，從而求出參數(shù)a的取值范圍．解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x2+x﹣lnx，定義域?yàn)椋?，+∞），∴f′（x）=2x+1﹣==，∴當(dāng)0＜x＜，時(shí)f′（x）＜0，當(dāng)x＞時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，（2）g（x）==，定義域?yàn)椋?，+∞），g′（x）=，令h（x）=，則h′（x）=﹣2x++2﹣a，h″（x）=﹣2﹣﹣＜0，故h′（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，從而對(duì)（0，1]，h′（x）≥h′（1）=2﹣a①當(dāng)2﹣a≥0，即a≤2時(shí)，h′（x）≥0，∴y=h（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，∴h（x）≤h（1）=0，即F′（x）≤0，∴y=F（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，a≤2滿足題意；②當(dāng)2﹣a＜0，即a＞2時(shí)，由h′（1）＜0，h′（）=﹣+a2+2＞0，0＜＜1，且y=h′（x）在區(qū)間（0，1]的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，∴y=h′（x）在區(qū)間（0，1]有唯一零點(diǎn)，設(shè)為x0，∴h（x）在區(qū)間（0，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，1]上單調(diào)遞減，∴h（x0）＞h（1）=0，而h（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣ea+lne﹣a＜0，且y=h（x）在區(qū)間（0，1]的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，y=h（x）在區(qū)間（0，1）有唯一零點(diǎn)，設(shè)為x′，即y=F′（x）在區(qū)間（0，1）有唯一零點(diǎn)，設(shè)為x′，又F（x）在區(qū)間（0，x′）上單調(diào)遞減，在（x′，1）上單調(diào)遞增，矛盾，a＞2不合題意；綜上所得：a的取值范圍為（﹣∞，2]．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)考查了利用導(dǎo)數(shù)解決參數(shù)問題，利運(yùn)用了二次求導(dǎo)，是一道導(dǎo)數(shù)的綜合性問題．屬于難題．19.設(shè)橢圓的焦點(diǎn)分別為，直線交x軸于點(diǎn)A，且．（1）試求橢圓的方程；（2）過F1、F2分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點(diǎn)（如圖所示），試求四邊形DMEN面積的最大值和最小值．參考答案：（1）由題意， 為的中點(diǎn)

即：橢圓方程為…(５分)

（2）方法一：當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，，此時(shí)，四邊形的面積．同理當(dāng)與軸垂直時(shí)，也有四邊形的面積．當(dāng)直線，均與軸不垂直時(shí)，設(shè):，代入消去得：設(shè)所以，，所以，，同理所以四邊形的面積令因?yàn)楫?dāng)，且S是以u(píng)為自變量的增函數(shù)，所以． 綜上可知，．故四邊形面積的最大值為4，最小值為．…（12分）20.（本小題滿分14分）已知函數(shù)(1)若,求在點(diǎn)處的切線方程.（2）令，求證：在區(qū)間上，存在唯一極值點(diǎn).(3)令,定義數(shù)列:.當(dāng)且時(shí),求證:對(duì)于任意的,恒有.參考答案：,所以原命題得證.……8分(3),,,21.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2﹣x+b，其中a，b為常數(shù)．（1）當(dāng)a=﹣1時(shí)，若函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值為，求b的值；（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，+∞）上的單調(diào)性；（3）若曲線y=f（x）上存在一點(diǎn)P，使得曲線在點(diǎn)P處的切線與經(jīng)過點(diǎn)P的另一條切線互相垂直，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）當(dāng)a=﹣1時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，推出b的關(guān)系式，求解b即可．（2）利用導(dǎo)函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為x=﹣a，求出極值點(diǎn)兩個(gè)不等實(shí)根x1，2=，①當(dāng)方程f′（x）=0在區(qū)間（a，+∞）上無實(shí)根時(shí)，②當(dāng)方程f′（x）=0在區(qū)間（﹣∞，a]與（a，+∞）上各有一個(gè)實(shí)根時(shí)，③當(dāng)方程f′（x）=0在區(qū)間（a，+∞）上有兩個(gè)實(shí)根時(shí)，分別求解a的范圍即可．（3）設(shè)P（x1，f（x1）），則P點(diǎn)處的切線斜率m1=x12+2ax1﹣1，推出Q點(diǎn)處的切線方程，化簡(jiǎn)，得x1+2x2=﹣3a，通過兩條切線相互垂直，得到（4x22+8ax2+3a2﹣1）（x22+2ax2﹣1）=﹣1．求解x22+2ax2﹣1≥﹣（a2+1），然后推出a的范圍即可．【解答】解：（1）當(dāng)a=﹣1時(shí)，f′（x）=x2﹣2x﹣1，所以函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，…由f（1）=，即﹣1﹣1+b=，解得b=2．…（2）f′（x）=x2+2ax﹣1的圖象是開口向上的拋物線，其對(duì)稱軸為x=﹣a，因?yàn)椤?4a2+4＞0，f′（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，2=，…①當(dāng)方程f′（x）=0在區(qū)間（a，+∞）上無實(shí)根時(shí)，有解得．…②當(dāng)方程f′（x）=0在區(qū)間（﹣∞，a]與（a，+∞）上各有一個(gè)實(shí)根時(shí)，有：f′（a）＜0，或，解得．…③當(dāng)方程f′（x）=0在區(qū)間（a，+∞）上有兩個(gè)實(shí)根時(shí)，有，解得．綜上：當(dāng)時(shí)，f（x）在區(qū)間（a，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，f（x）在區(qū)間（a，）上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間（，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)當(dāng)時(shí)，f（x）在區(qū)間（a，），（，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間（，）上是單調(diào)減函數(shù)．…（10）（3）設(shè)P（x1，f（x1）），則P點(diǎn)處的切線斜率m1=x12+2ax1﹣1，又設(shè)過P點(diǎn)的切線與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)Q（x2，f（x2）），x1≠x2，則Q點(diǎn)處的切線方程為y﹣f（x2）=（x22+2ax2﹣1）（x﹣x2），所以f（x1）﹣f（x2）=（x22+2ax2﹣1）（x1﹣x2），化簡(jiǎn)，得x1+2x2=﹣3a