第九章拉普拉斯變換掌握拉氏變換定義及其基本性質(zhì)；牢記常用典型信號的拉氏變換；掌握運用拉氏變換分析LTI系統(tǒng)的方法；掌握系統(tǒng)的典型表示方法：H(s)、h(t)、微分方程、模擬框圖、信號流圖、零極點+收斂域圖，以及它們之間的轉(zhuǎn)換。掌握采用單邊拉氏變換對初始狀態(tài)非零系統(tǒng)的分析方法。能應(yīng)用拉氏變換分析具體電路。9.0引言連續(xù)時間對應(yīng)的復(fù)頻域是用直角坐標(biāo) 表示的復(fù)數(shù)平面，簡稱為S平面或連續(xù)時間復(fù)頻域（s域）.S平面上的每一個點s都代表一個復(fù)指數(shù)信號,整個S平面上所有的點代表了整個復(fù)指數(shù)信號集。S平面S平面上虛軸上的所有點代表整個周期復(fù)指數(shù)信號集9.1拉氏變換一個信號x(t)的拉氏變換定義如下：記作：或幾個典型信號的拉氏變換拉普拉斯變換的收斂域與零極點收斂域：一般把使積分收斂的s值的范圍稱之為拉普拉斯變換的收斂域，簡記為ROC。ReReS-planeS-planeImIm-a-a零極點只要x(t)是實指數(shù)或復(fù)指數(shù)信號的線性組合，X(s)就一定是有理的,具有如下形式：N(s)和D(s)分別為分子多項式和分母多項式。使N(s)=0的根為X(s)的零點，在s平面上用“O”表示。使D(s)=0的根為X(s)的極點，在s平面上用“×”表示。例ReIm12xx-1請問：x(t)的傅立葉變換存在嗎?9.2拉氏變換收斂域的性質(zhì)性質(zhì)1:拉氏變換收斂域的形狀：X(s)的ROC在s平面內(nèi)由平行于jω軸的帶狀區(qū)域所組成。S-planeReReReImImImRLLR××ReIms平面性質(zhì)2：對有理拉氏變換來說，ROC內(nèi)不包括任何極點。性質(zhì)3：如果x(t)是有限持續(xù)期，并且是絕對可積的，那么ROC就是整個s平面。ReIms平面性質(zhì)4：如果x(t)是右邊信號，而且如果這條線位于ROC內(nèi)，那么的全部s值都一定在ROC內(nèi)。ReIms平面性質(zhì)5：如果x(t)是左邊信號，而且如果這條線位于ROC內(nèi)，那么的全部s值都一定在ROC內(nèi)。x(t)T2te-0te-1tReIms平面性質(zhì)6：如果x(t)是雙邊信號，而且如果這條線位于ROC內(nèi)，那么ROC就一定是由s平面的一條帶狀區(qū)域所組成，直線位于帶中。S-planeReReReImImImRLLR性質(zhì)7：如果x(t)的拉氏變換X(s)是有理的，那么它的ROC是被極點所界定或延伸到無限遠。性質(zhì)8：如果x(t)的拉氏變換X(s)是有理的，若x(t)

是右邊信號，則其ROC在s平面上位于最右邊極點的右邊；若x(t)

是左邊信號，則其ROC在s平面上位于最左邊極點的左邊。例××ReIms平面-2-1求其可能有的所有的收斂域-2-1××ReIms平面××ReIms平面-2-1××ReIms平面-2-1××ReIms平面-2-1-2-1××ReIms平面時域信號x(t)的特點拉氏變換X(s)的ROC有限長整個S平面左邊時間信號某一左半平面右邊時間信號某一右半平面雙邊時間信號某一帶狀收斂域例：求其拉氏變換X(s)，并畫零極點圖以及收斂域。解：9.3拉氏反變換信號x(t)的拉氏變換為：利用傅立葉反變換：兩邊同乘以est即可從拉氏變換中恢復(fù)x(t)：拉氏反變換所有實信號x(t)可以表示成復(fù)指數(shù)信號est的加權(quán)。拉氏反變換公式表明：原函數(shù)x(t)可以由它們的像函數(shù)X(s)乘以復(fù)指數(shù)信號est后積分求得。拉氏反變換公式的積分路徑是：收斂域內(nèi)平行于虛軸的一條自下而上的直線。Im××Res平面一、求解拉氏反變換的方法

1、留數(shù)定理；（這里不討論）√2、由一些熟知的拉氏變換對，利用性質(zhì)，求得未知的拉氏變換，或它們的反變換?！?、對于有理形式拉氏變換，最常用的是部分分式展開法。二、部分分式展開法求解拉氏反變換思路：單個單邊復(fù)指數(shù)信號的拉氏變換是一些簡單的有理函數(shù)，其收斂域也是單純的。單邊實指數(shù)和復(fù)指數(shù)線性組合而成的信號，它們的拉氏變換一定是有理函數(shù)，其收斂域是每一項復(fù)指數(shù)分量相應(yīng)的收斂域的交集。部分分式展開的第一步是把分母N(s)進行因式分解，然后區(qū)分極點的類型，選擇求取待定系數(shù)的方法。一、假設(shè)信號x(t)的拉氏變換X(s)沒有多階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次（有理真分式），那么X(s)就可以展開成如下形式：例：對X(s)

進行部分分式展開：ReIm-1xx-2X(s)

的零極點圖和ROC如圖所示：分別對應(yīng)什么時間信號？例：對X(s)

進行部分分式展開：X(s)

的零極點圖和ROC如圖所示：ReIm-1xx-2設(shè)：對X(s)

進行部分分式展開：X(s)

的零極點圖和ROC如圖所示：ReIm-1xx-2例：求x(t)解：先轉(zhuǎn)換為真分式：故：例：已知：求x(t)將X(s)進行部分分式展開：二、二階和高階極點當(dāng)N(s)＝0有r重根，其余為單根的分解式為：例：已知：求x(t)將X(s)進行部分分式展開：故：則：9.4由零極點圖對傅立葉變換進行幾何求值目的：揭示信號和系統(tǒng)的復(fù)頻域表示與其頻域特性間的關(guān)系。對于系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)的因果穩(wěn)定LTI系統(tǒng)，其收斂域包括s平面虛軸，那么系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jω)如果有理系統(tǒng)函數(shù)H(s)表示為分別為零點和極點這類因果穩(wěn)定LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：根據(jù)復(fù)數(shù)的向量表示法，復(fù)數(shù)可用復(fù)平面上原點到該點的向量來表示。按照向量和差運算法則，兩個復(fù)數(shù)的差分別是s平面上點指向點jω的向量。零點指向點jω的向量為零點向量，記作極點指向點jω的向量為極點向量，記作幅頻響應(yīng)H(jω)：例：求其幅頻特性與性與相頻特性曲線9.5拉氏變換的性質(zhì)一、線性則ROC但有時候會擴大例：已知：求：X(s)解：二、時移性質(zhì)例：求：X(s)解：三、S域平移例：求：X(s)解：已知則同理：四、時域尺度變換五、共軛注：若x(t)為實函數(shù)，如果X(s)有一個極點或零點為復(fù)數(shù)在s=s0處，那么X(s)也一定有一個復(fù)數(shù)共軛的極點或零點，且對于X(s)的部分分式展開式中的系數(shù)也互為共軛。六、卷積性質(zhì)那么七、時域微分但ROC有可能擴大八、s域微分九、時域積分例：求的拉氏變換解：故：推廣：及：故：例：關(guān)于一個拉氏變換為X(s)的實信號x(t)給出下列條件：1、X(s)只有兩個極點；2、X(s)在有限s平面沒有零點；3、X(s)有一個零點在-1+j；4、e2tx(t)不是絕對可積；5、X(0)=8求X(s)解：由（1）由（2）由（3）由（4）不含jω軸由（5)得：十、初值和終值定理則若t<0，x(t)=0且在t=0不包括任何沖激或高階奇異函數(shù)，則初值定理所得到的初值都是x(t)在t=0+時刻的值，而不是在t=0或t=0-時刻的值。sX(s)的收斂域一定要包含jω軸例：求該信號的終值解：當(dāng)a<0時，收斂域包括jω，故：解：當(dāng)a>0時，收斂域不包括jω，故：不存在9.6常用拉氏變換對P499表9.2。9.7用拉氏變換分析與表征LTI系統(tǒng)利用卷積性質(zhì)，有：H(s)為系統(tǒng)函數(shù)或轉(zhuǎn)移函數(shù)。一、因果性一個因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的ROC是某個右半平面。對于一個具有有理系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的因果性就等效于ROC位于最右邊極點的右邊的右半平面。例

有一系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)為其系統(tǒng)函數(shù)和ROC為：系統(tǒng)函數(shù)是有理的，ROC是右半平面，所以系統(tǒng)是因果的。例

考慮下面系統(tǒng)函數(shù)請問該系統(tǒng)是因果的嗎？例

有一系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)為其系統(tǒng)函數(shù)和ROC為：ROC不是右半平面，不是因果的二、穩(wěn)定性定理一：當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)H(s)的ROC包括jω軸[即：Re{s}=0]時，一個LTI系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。ReImxs=jws-plane系統(tǒng)穩(wěn)定h(t)絕對可積H(jω)收斂例：考慮一LTI系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)ReIm-1xx2s=jws-planeReIm-1xx2s=jws-planeReIm-1xx2s=jws-planeReIm-1xx2s=jws-plane因果、不穩(wěn)定系統(tǒng)非因果、穩(wěn)定系統(tǒng)反因果、不穩(wěn)定系統(tǒng)定理二：一個具有有理系統(tǒng)函數(shù)H(s)的因果LTI系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)H(s)的全部極點都位于s平面的左半平面時，也即全部極點都有負的實部時，該系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。ReImxxs=jws-plane例：ReIm-1xx-2s=jws-plane收斂域包括虛軸，故該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例：已知一因果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如下問：討論該系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：該系統(tǒng)的零極點圖為：當(dāng)其收斂域位于時，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)其收斂域位于時，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。三、由線性常系數(shù)微分方程表征的LTI系統(tǒng)例：已知一因果LTI系統(tǒng)，其微分方程為：求（1）系統(tǒng)函數(shù)H(s)（2）若輸入信號x(t)為e-tu(t),求y(t)（3）若輸入信號x(t)為e2t,求y(t)解：（1）（2）(3)根據(jù)特征函數(shù)特征值的概念：9.8系統(tǒng)函數(shù)的方框圖與信流圖表示一、LTI系統(tǒng)互聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)H1(s)H2(s)xyw反饋互聯(lián)實際例子：控制飛機的副翼，使其沿著特定的軌跡飛行等。H2(s)H1(s)xyw+-+二、微分方程、有理系統(tǒng)函數(shù)、因果LTI系統(tǒng)的方框圖表示2系統(tǒng)的信號流圖表示對于比較大的系統(tǒng)，如果用方框圖的方式就比較麻煩，而由上面的討論可知，一個系統(tǒng)的特性完全由其子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)以及各個子系統(tǒng)之間的連接方式所決定。因此可以將方框圖簡化，用系統(tǒng)的信號流圖來表示。信號流圖中的一些術(shù)語：節(jié)點：表示系統(tǒng)中變量或信號的點：X(s)、Y(s)、x2源點：只有輸出支路的節(jié)點，其對應(yīng)的是輸入信號；阱點：只有輸入支路的節(jié)點，其對應(yīng)的是輸出信號；支路：連接兩個節(jié)點之間的定向線段，支路的增益即為其轉(zhuǎn)移函數(shù)。轉(zhuǎn)移函數(shù)：兩個節(jié)點之間的增益：b0、b1通路：沿支路箭頭方向通過各相連支路的途徑（注意：不允許有相反方向支路存在）前向通路：從源點到阱點方向的通路上，通過任何節(jié)點不多余一次的全部路徑；閉合通路：通路的終點為通路的起點，且與任何其它節(jié)點相交不多于一次，又稱為環(huán)路；前向通路增益：前向通路中，各支路轉(zhuǎn)移函數(shù)的乘積；環(huán)路增益：環(huán)路中各支路轉(zhuǎn)移函數(shù)的乘積；不接觸環(huán)路：兩環(huán)路之間無任何公共節(jié)點；信號流圖的性質(zhì)：1）

信號只能沿著支路上的箭頭方向通過；2）

節(jié)點可以將所有輸入支路的信號疊加，并把總和信號傳送到所有輸出支路；3）

具有輸入和輸出支路的混合節(jié)點，可通過增加一個具有單位傳輸函數(shù)的支路，將其變成輸出節(jié)點處理；4）

給定的系統(tǒng)，其流圖形式不唯一；5）

流圖轉(zhuǎn)置后，其轉(zhuǎn)移函數(shù)保持不變；3：信號流圖的簡化梅遜公式：gk：表示由源點到阱點之間第k條前向通路的增益；△k：稱為對于第k條前向通路特征行列式的余因子,是除去與第k條前向通路相接觸的環(huán)路外，余下的子圖行列式其中：△稱為流圖的特征行列式：k：表示由源點到阱點之間第k條前向通路的標(biāo)號；例：例：例：有一因果系統(tǒng)的微分方程為：求（1）系統(tǒng)函數(shù)H(s)（2）畫出信流圖。一、定義根據(jù)時間變量t取值范圍的不同，拉氏變換有雙邊拉氏變換和單邊拉氏變換之分。如果t的取值范圍是從-∞到+∞，則稱為雙邊拉氏變換；如果t的取值范圍是從0-到+∞，則稱為單邊拉氏變換，其定義式為:

9.9單邊拉普拉斯變換單邊拉氏變換的重要價值在于求解非零狀態(tài)下的系統(tǒng)響應(yīng)！雙邊拉氏變換和單邊拉氏變換的主要差別在于收斂域的不同因此，對于單邊拉氏變換，常常不標(biāo)出它的收斂域。此外，在某些性質(zhì)上兩者之間也略有差異。單邊拉氏變換的收斂域只有兩種可能：要么在最右邊極點右邊的s平面，要么是整個s平面。例

考慮信號x(t)這個信號的雙邊拉氏變換為：這個信號的單邊拉氏變換為：對于在t>0-具有相同函數(shù)表達式，而在t<0-時卻并不相同的任何信號，都有完全一樣的單邊拉氏變換，但他們的雙邊拉氏變換卻各不相同。對于任何因果時間函數(shù)，單邊拉氏變換起到了雙邊拉氏變換相同的作用。二、性質(zhì)P517表9.3。單邊拉氏變換不同于雙邊拉氏變換的性質(zhì)：時移性質(zhì)、時域微分和時域積分。1、時移性質(zhì)2、單邊拉氏變換的時域微分性質(zhì)例：已知一系統(tǒng)的微分方程為：

求分別輸入

時的輸出y(t)。解：解：(1)對方程兩邊同時進行單邊拉氏變換：（一）、元件的復(fù)頻域模型1、電阻三、應(yīng)用拉氏變換分析電路2、電容3、電感當(dāng)元件初始儲能為零時：（二）、線性電路的分析1、分析步驟計算及；將元件換為復(fù)頻域模型，繪運算電路據(jù)