s4.2留數(shù)在定積分計算上的應(yīng)用類型1,形如R(x如x)dx的積分,其中R(cosx,sinx)為cosx與sinx的有理函數(shù)令z=e,則dz=je/dx=izdxR(coSx,sinxdx=+1R、22f(zdz2iziz.=2mf(x)在單位圓x=內(nèi)各奇點留數(shù)之和類型二:∫f(x如果r(2)在上半平面有有限個奇點,則由留數(shù)定理f(z)dz=f(x)dx+f(z)dz2m內(nèi)上半平面內(nèi)各奇點留數(shù)之和}條件)f(z)在實軸上無奇點(2)f(z)在上半平面上存在有限個奇點外是解析的(3)當z→>0上半面和實軸(z)一致地→0如果f(x)是有理分式,上述條件意味著分母沒有實的零點且分母的次數(shù)至少高于分子兩次類型三:|F(x)cosmdx,G(x)Sinm積分區(qū)間F(x)為偶函數(shù)F(x)cosmrdx=3F(xkmt=/J(x)在上半平面的留數(shù)之和f(z)=F(z)e同理:G(x)為奇函數(shù)G)sinmdx-2人G(xm=rf(x)在上半平面的留數(shù)之和f(z=g(z)e類型四——實軸上有單極點函數(shù)的定積分:+oof(xx=2m∑Reyf(x)+m∑Resf(x)上半平面實軸上第五章傅里葉(Fourier)變換掌握Fourier級數(shù)的展開方法掌握Fourier積分與Fourier變換方法了解δ函數(shù)的基本性質(zhì)第五章傅里葉(Fourier)變換§5.1傅里葉級數(shù)周期函數(shù)的傅里葉展開在1759年拉格朗日(L.L.Lagrange)表示不可能用三角級數(shù)來表示一個具有間斷點的函數(shù),因此三角級數(shù)的應(yīng)用非常有限。正是在這種多少有些敵對和懷疑的處境下,傅里葉約于半個世紀后提出了他自己的想法。傅里葉很早就開始并一生堅持不渝地從事熱學(xué)研究,1807年他在向法國科學(xué)院呈交一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)問題的論文中宣布了任一函數(shù)部能夠展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。這篇論文經(jīng)JL拉格朗日,P-S.拉普拉斯,A.M勒讓德等著名數(shù)學(xué)家審查,由于文中初始溫度展開為三角級數(shù)的提法與拉格朗日關(guān)于三角級數(shù)的觀點相矛盾,而遭拒絕。由于拉格朗日的強烈反對,傅里葉的論文從未公開露面過。為了使他的研究成果能讓法蘭西研究院接受并發(fā)表在經(jīng)過了幾次其他的嘗試以后,傅里葉才把他的成果以另一種方式出現(xiàn)在"熱的分析理論"這本書中。這本書出版于1822年,也即比他首次在法蘭西研究院宣讀他的研究成果時晩晚十五年。這本書已成為數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性的文獻,其中基本上包括了他的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)成就。書中處理了各種邊界條件下的熱傳導(dǎo)問題,以系統(tǒng)地運用三角級數(shù)和三角積分而著稱,他的學(xué)生以后把它們稱為傅里葉級數(shù)和傅里葉積分,這個名稱一直沿用至今。傅里葉在書中斷言:“任意”函數(shù)(實際上要滿足一定的條件例如分段單調(diào))都可以展開成三角級數(shù),他列舉大量函數(shù)并運用圖形來說明函數(shù)的這種級數(shù)表示的普遍性,但是沒有給出明確的條件和完整的證明。傅里葉的創(chuàng)造性工作為偏微分方程的邊值問題提供了基本的求解方法-傅里葉級數(shù)法,從而極大地推動了微分方程理論的發(fā)展,特別是數(shù)學(xué)物理等應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展;其次,傅里葉級數(shù)拓廣了函數(shù)概念,從而極大地推動了函數(shù)論的研究,其影響還擴及純粹數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域傅里葉深信數(shù)學(xué)是解決實際問題的最卓越的工具,并且認為“對自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉。”這一見解已成為數(shù)學(xué)史上強調(diào)通過實際應(yīng)用發(fā)展數(shù)學(xué)的一種代表性的觀點。傅立葉的兩個最主要