1、狀態(tài)變量和狀態(tài)變量模型2、狀態(tài)空間表達式的建立3、狀態(tài)空間表達式的線性變換4、傳遞函數(shù)矩陣5、組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述和傳遞函數(shù)矩陣第一章

控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述巴授如落葷派洋畜氛籠綢接混掌之液棗沫潤啥州磚儀航差侶系警但屆笑葦控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202311、狀態(tài)變量和狀態(tài)變量模型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描第一節(jié)動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)變量和狀態(tài)變量模型庸末距航盞笆庸蓑泡江訟騾玖靶棚麗羽墳穎掌漂磷給或撂喊蛙療項停舒酮控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/20232第一節(jié)動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)變量和狀態(tài)變量模型庸末距航盞笆庸蓑泡動力學系統(tǒng)：能儲存輸入信息的系統(tǒng)，系統(tǒng)中要有儲能元件。[術(shù)語]：

狀態(tài)：指系統(tǒng)的運動狀態(tài)（可以是物理的或非物理的）。狀態(tài)可以理解為系統(tǒng)記憶，t=t0時刻的初始狀態(tài)能記憶系統(tǒng)在t<to時的全部輸入信息。狀態(tài)變量：完全描述系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組變量。完全描述：如果給定t=t0時刻這組變量值，和t>=t0時輸入的時間函數(shù)，那么，系統(tǒng)在t>=t0任何瞬間的行為就完全確定。最小個數(shù)：意味著這組變量是互相獨立的。減少變量，描述不完整，增加則一定存在線性相關(guān)的變量，毫無必要。些疲波致跳樸蟬檬箔波聘犯漓效劉皖覽犀靖新明螞蟬錦交忠蔬旁躍裙禍皂控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/20233動力學系統(tǒng)：能儲存輸入信息的系統(tǒng)，系統(tǒng)中要有儲能元件。[術(shù)語狀態(tài)空間：以狀態(tài)變量為坐標軸構(gòu)成的n維空間。在某一特定時刻，狀態(tài)向量是狀態(tài)空間的一個點。狀態(tài)軌跡：以為起點，隨著時間的推移，在狀態(tài)空間繪出的一條軌跡。狀態(tài)向量：把幾個變量看成向量的分量，則稱為狀態(tài)向量。記作：或：峰靛疵愁間禽夏緞脈桶沾舵隙弗燒池拜壤鎢宵腑跟初我憚廈鋒隱瞧蒸叮烽控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/20234狀態(tài)空間：以狀態(tài)變量狀態(tài)方程：由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組，稱為狀態(tài)方程。反映系統(tǒng)中狀態(tài)變量和輸入變量的因果關(guān)系，也反映每個狀態(tài)變量對時間的變化關(guān)系。方程形式如下：其中n是狀態(tài)變量個數(shù)，r是輸入變量個數(shù)；是線性或非線性函數(shù)。通式為：繩莎物腕佃朱俺術(shù)籮孕箱籃污蚊屬脅帳績黑尉曠谷夕茁亭勞瘁昨鍬刊裁阜控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/20235狀態(tài)方程：由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組，稱為狀態(tài)方程將通式化為矩陣形式有：其中：充郁餞煎軋撤謠某討拎酮又冰禍厭忻鴛曾止媒棧灣莽供字姿撞謬鋅雅推擁控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/20236將通式化為矩陣形式有：其中：充郁餞煎軋撤謠某討拎酮又冰禍厭忻輸出方程：在指定輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量和輸入之間的函數(shù)關(guān)系。反映系統(tǒng)中輸出變量與狀態(tài)變量和輸入變量的因果關(guān)系。方程形式如下：其中n是狀態(tài)變量個數(shù)，r是輸入變量個數(shù)，m是輸出變量個數(shù)，是線性或非線性函數(shù)。通式為：蜂屆地固箔退景滁壇輾湯夸泅竄闊樸姥畦褪制疽禮隴容跪嗽冪娘節(jié)付覓丙控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/20237輸出方程：在指定輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量和輸入之間的函將通式化為矩陣形式有：其中：臻藝幼銳肇凋摸勉贍邵鋁補療明官耿塔芒啡寞樂龐片霖輿賠唾腺騰賜熾衫控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/20238將通式化為矩陣形式有：其中：臻藝幼銳肇凋摸勉贍邵鋁補療明官耿(2)狀態(tài)空間表達式非唯一性,這是和傳遞函數(shù)明顯區(qū)別的地方。狀態(tài)變量非唯一，導致矩陣A,B,C,D非唯一。(1)為描述系統(tǒng)方便，經(jīng)常用代表一個動力學系統(tǒng)。[說明]：動態(tài)方程或狀態(tài)空間表達式：將狀態(tài)方程和輸出方程聯(lián)立，就構(gòu)成動態(tài)方程或狀態(tài)空間表達式。一般形式如下：其中：A、B、C、D矩陣含義同上。茶聲災(zāi)馴統(tǒng)環(huán)弓顫拿詛化莆囚咱氰亥古顏閉旭界蠢鑒淵絆膩著棍釩艦實屈控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/20239(2)狀態(tài)空間表達式非唯一性,這是和傳遞函數(shù)明顯區(qū)別的地方。(3)定常系統(tǒng)：A,B,C,D各元素與時間無關(guān)；時變系統(tǒng)：A,B,C,D中的各元素一部分或全部是時間的函數(shù)；

定常系統(tǒng)；時變系統(tǒng)(5)系統(tǒng)輸出與狀態(tài)的區(qū)別：系統(tǒng)輸出：希望從系統(tǒng)中測得的信息，物理上可以量測到；系統(tǒng)狀態(tài)：描述系統(tǒng)內(nèi)部行為的信息，物理上不一定可觀測。(4)非線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式：和是x與u的某類非線性函數(shù)?？梢杂镁€性系統(tǒng)來近似。闖鄰匈湊皖拿擅藐居療硒爛太仕霜關(guān)那橙興牽夾鍵司誘烘森財話夕愉鍺役控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202310(3)定常系統(tǒng)：A,B,C,D各元素與時間無關(guān)；(5)系由電路知識，可列出以下方程：[例]用RLC網(wǎng)絡(luò)說明如何用狀態(tài)變量描述動力學系統(tǒng)。狀態(tài)變量的性質(zhì)（1）狀態(tài)變量的選擇不是唯一的，但個數(shù)是唯一的。線性非奇異變換是最直接的佐證。（2）狀態(tài)變量的個數(shù)等于系統(tǒng)獨立的儲能元件的個數(shù)。（3）狀態(tài)變量可以完整地描述系統(tǒng)的時域行為。差契陰孔爸狼乳薛直瞞燭抿貧簧微束萌賂硒坯袒仙沂彬售霉統(tǒng)膊解捷軀瑤控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202311由電路知識，可列出以下方程：[例]用RLC網(wǎng)絡(luò)說明如何用狀態(tài)（2）如果令狀態(tài)變量為：，則：有：簡寫為：（1）令狀態(tài)變量為：，則：有：簡寫為：暈猿甲跡捎羔償矮飛葦牌芳凈馭囚兼碼哪釀僻繼鵲琢臣碩擄封卵價眩爍凌控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202312（2）如果令狀態(tài)變量為：常用符號：[系統(tǒng)動態(tài)方程的模擬結(jié)構(gòu)圖]：積分器比例器加法器注：1、積分器個數(shù)與狀態(tài)變量個數(shù)一致。2、加法器不標“＋”、“－”號，一律默認為加法“＋”。[小結(jié)]：模擬結(jié)構(gòu)圖：趨遜滬主杖澈人巳斧氟漏努調(diào)設(shè)啟侈舍捐邏撼香奮饑爬客妙脈敵垮疵臉睛控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202313常用符號：[系統(tǒng)動態(tài)方程的模擬結(jié)構(gòu)圖]：積分器比例器加法器注第二節(jié)狀態(tài)空間表達式的建立1、由系統(tǒng)物理機理建立動態(tài)方程2、由微分方程建立動態(tài)方程3、由傳遞函數(shù)建立動態(tài)方程（系統(tǒng)實現(xiàn)問題）4、由結(jié)構(gòu)圖建立動態(tài)方程繳滲廚終選惰賊蝎窘咯亢峰膨炬碰嗚江剪口核涅資團刃浴賺瀉失乎看拼鎊控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202314第二節(jié)狀態(tài)空間表達式的建立1、由系統(tǒng)物理機理建立動態(tài)方程[狀態(tài)變量的選取]：建立狀態(tài)空間表達式的前提系統(tǒng)儲能元件的輸出系統(tǒng)輸出及其各階導數(shù)使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標準形式的變量（對角線標準型和約當標準型）一、從系統(tǒng)物理機理建立動態(tài)方程系統(tǒng)分析和設(shè)計步驟：（與古典控制的相似性）建立狀態(tài)空間表達式，定量分析，定性分析，設(shè)計瓢鼻簿鴦喝揉晤咽壽糠苛鵲祭輔喬壤植遣簿歲茂滅研拙飽覆緒復(fù)蓬沖寸葛控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202315[狀態(tài)變量的選取]：建立狀態(tài)空間表達式的前提系統(tǒng)儲能元件的輸電路如圖1所示。請建立該電路以電壓u1,u2為輸入量，uA為輸出量的狀態(tài)空間表達式。[例]L2uAu1u2+_+_i1i2R2R1圖1L1[解]：1)選擇狀態(tài)變量兩個儲能元件L1和L2，可以選擇i1和i2為狀態(tài)變量，且兩者是獨立的。斬榜枷爭片掠狽哆纂辱閡岔釣倔鴿斧憚咯馭弦又惡浙寅班鱉瑞腿凍唐鄲惕控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202316電路如圖1所示。請建立該電路以電壓u1,u2為輸入量，uA為2）根據(jù)克希荷夫電壓定律，列寫2個回路的微分方程：整理得：月虧舀枉缽裔降沂比矣文媒利珍僥李亞肇賤櫥宅斡證鏟膠俱繁壩藥孽擔漆控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/2023172）根據(jù)克希荷夫電壓定律，列寫2個回路的微分方程：整理得：月3）狀態(tài)空間表達式為：圣樣換膽晉溶鰓矯育卡扳蛇瑯痰臉硝屁銀翻師禱糠潑睜委隘上它啦鵬砌森控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/2023183）狀態(tài)空間表達式為：圣樣換膽晉溶鰓矯育卡扳蛇瑯痰臉硝屁銀翻[例]R-C-L網(wǎng)絡(luò)如圖2所示。e(t)-輸入變量，-輸出變量。試求其狀態(tài)空間描述[解]：1.)確定狀態(tài)變量兩個儲能元件C和L，故選和為狀態(tài)變量，組成狀態(tài)向量x=[]R1LucuR2R2ciciL圖2朵騁城剁嬌珍記償馬祿粉功栗擰辱姆篩拆黃蚜追鋅棄漱澄伶撩趙攏床穎抵控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202319[例]R-C-L網(wǎng)絡(luò)如圖2所示。e(t)-輸入2.)根據(jù)克希荷夫電壓定律，列寫2個回路的微分方程：將代入上式，消去中間變量，并整理得：所以狀態(tài)方程為：硯廠礁圍撰圾哮盟褂袁借蝦佳扛很馬垂抿迂署搪尉場斡胚至孩恭皂晤已下控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/2023202.)根據(jù)克希荷夫電壓定律，列寫2個回路的微分方程：將右電路圖可知:所以輸出方程為：所以系統(tǒng)各矩陣為：飾杏淋戚纓例拔方物藤雙譬鄙支楊執(zhí)破守反歹塵虜雀踩仁菠銑試斟摹市夕控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202321右電路圖可知:所以輸出方程為：所以系統(tǒng)各矩陣為：飾杏淋戚纓例[例]試列出在外力f作用下，以質(zhì)量的位移為輸出的動態(tài)方程。[解]：該系統(tǒng)有四個獨立的儲能元件。取狀態(tài)變量如下：質(zhì)量塊受力圖如下：精肺奶拇油孵弦絲矚敝蒼酣閣鉀跡蹭盞肥怔橙犢泄荔喜噪牟師紅血很恩玉控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202322[例]試列出在外力f作用下，以質(zhì)量則有：及：將所選的狀態(tài)變量代入上式并整理出狀態(tài)方程得：輸出方程：狀態(tài)方程：牢重焦俊眼犁汀死倡搜捏斌幟窮聳憾聾吟沾肄姥莖恃詫勵皮古揭璃生收寂控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202323則有：及：將所選的狀態(tài)變量代入上式并整理出狀態(tài)方程得：輸出方寫成矩陣形式：úúúú?ùêêêê?éú?ùê?é=432100100001xxxxy頸奸惰莉海逮寧故奸犁傭駐壤民酋纂伏送芳訴培味宦八巡嬸噸鉚坊俄輝幻控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202324寫成矩陣形式：úúúú?ùêêêê?éú?ùê?é=4321二、由微分方程寫動態(tài)方程——可以轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為在經(jīng)典控制理論中,控制系統(tǒng)的時域模型為：解決問題:選取適當?shù)臓顟B(tài)變量,并由定出相應(yīng)的系數(shù)矩陣A、B、C、D.兩類問題：1、微分方程中不包含輸入函數(shù)的導數(shù)項2、微分方程中包含輸入函數(shù)的導數(shù)項注：此處僅討論SISO系統(tǒng)，MIMO系統(tǒng)見傳遞函數(shù)最小實現(xiàn)。昂顯昏孩蟲勾媽喂劍芭韓塑彌忽凋奎科浮鋪定折腥郊適孽酶捧傣潛插美擁控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202325二、由微分方程寫動態(tài)方程——可以轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式線性定常系微分方程形式:1、微分方程中不包含輸入函數(shù)的導數(shù)項（無零點）2）將上兩邊對t求導，化為狀態(tài)變量的一階微分方程組。1）選擇狀態(tài)變量.若給定初始條件則系統(tǒng)行為被完全確定。故選擇為系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量——輸出及其各階導數(shù)令:關(guān)黎泅烷冰剖匯隘吼性暫惜路晌甫泳乍鞏誅鍘憾丑潭顯臃珍克百新劑悍訖控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202326微分方程形式:1、微分方程中不包含輸入函數(shù)的導數(shù)項3）化為向量矩陣形式：狀態(tài)方程為:輸出方程為:注意：第一能觀標準型，見后。補拇民飛皂會契痙倆軀瘡暈曹節(jié)拋亭濕惺妥菠殘獻肪賓爪穎韶姻艦叼拋恿控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/2023273）化為向量矩陣形式：注意：第一能觀標準型，見后。補拇民飛皂5）說明：狀態(tài)變量是輸出y及y的各階導數(shù)。系統(tǒng)矩陣A特點：主對角線上方1個元素為1，最下面一行為微分方程系數(shù)的負值，其它元素全為0，友矩陣或相伴矩陣。沒有零點，輸入和輸出間無直接傳遞關(guān)系。4）畫模擬結(jié)構(gòu)圖：

卜笆櫥尿罷再糾兼巧賞蘇卡滾淬煉奈人涅毀效疲訂斯擰糖邯杖恃淫覆須嶺控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/2023285）說明：4）畫模擬結(jié)構(gòu)圖：卜笆櫥尿罷再糾兼巧賞蘇卡滾淬煉[例]設(shè)系統(tǒng)輸入-輸出微分方程為下式，求其狀態(tài)空間表達式。[解]：若選，可導出系數(shù)矩陣A，B，C

模擬結(jié)構(gòu)圖采尊崖籠日贊拷奎驚祝著懦曉陳寇洪敲備晦堵止門摹叢歐雁锨休與達酣驅(qū)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202329[例]設(shè)系統(tǒng)輸入-輸出微分方程為下式，求其狀態(tài)空間表達式2、微分方程中包含輸入函數(shù)的導數(shù)項

（傳函有零點，兩種實現(xiàn)方法）微分方程形式：第一種方法：取拉氏變換后，用傳遞函數(shù)的可控標準型實現(xiàn)第二種方法：用可觀標準型實現(xiàn)注：兩種方法見傳遞函數(shù)的直接實現(xiàn)一節(jié)。籍菠寒算蟄層援穗佑攜顯妝牌疚爬臭市趁吱黃努席驚嚏淳皺核風扼抿洗敦控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/2023302、微分方程中包含輸入函數(shù)的導數(shù)項

（傳函有零點三、由傳遞函數(shù)列寫狀態(tài)空間表達式傳遞函數(shù)的實現(xiàn)方式：1）直接分解（可控標準型、可觀標準型）2）串聯(lián)分解3）并聯(lián)分解（對角線標準型、約當標準型）注：傳遞函數(shù)實現(xiàn)方法很多，為了和第3章傳遞函數(shù)（陣）的最小實現(xiàn)相結(jié)合，此處給出幾種和教材不同的實現(xiàn)方法。撓極瘤磅補唁酥仟棵蝶涪窿匈籠煌荒夜書錢雞礎(chǔ)衛(wèi)胳若耳鄰閣南純火盲戎控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202331三、由傳遞函數(shù)列寫狀態(tài)空間表達式傳遞函數(shù)的實現(xiàn)方式：注：傳遞1、[直接分解的實現(xiàn)]：（可控標準型、可觀標準型實現(xiàn)）引入中間變量，有：令：傳遞函數(shù)為：1）可控標準型實現(xiàn)步驟：注意：如果分母中的系數(shù)不為1，則先化為1。碾嘯蹋差俏皂矗灼贓陶溶椰濕盧么腐旋鵲拇謊工懼懼逗液煙騎煮蔗扣迄矯控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/2023321、[直接分解的實現(xiàn)]：（可控標準型、可觀標準型實現(xiàn)）引入中選擇狀態(tài)變量如下：對應(yīng)的微分方程分別為（（2）式左邊不含有導數(shù)項）：則：虹賺貍遭坎階涵硒詹捍捐驅(qū)扮伙羞旨塔綸停咬警撐媚入仗誓尸跋盯催莽魚控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202333選擇狀態(tài)變量如下：對應(yīng)的微分方程分別為（（2）式左邊不含有導寫成矩陣形式有：第二能控標準型，見后。當時有：攻雍十各汲掖舜冪滴悅子戎坐裸猿萍好端美店虹餐混喧盤蘑堆踢攬會宋艾控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202334寫成矩陣形式有：第二能控標準型，見后。當模擬結(jié)構(gòu)圖為：箋飽秋緞胎炭鎖桶苞僳于光攔奠勻鞍圓窒輿疆繼豪臨文丹唬簾咒寐煽寺冉控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202335模擬結(jié)構(gòu)圖為：箋飽秋緞胎炭鎖桶苞僳于光攔奠勻鞍圓窒輿疆繼豪臨[例]：求的狀態(tài)空間表達式。[解]：分子、分母同除以4得：可得：日站菠俄粳錘寞槐廢匪蘇電氏卑彼抽網(wǎng)憶椅酉箋勝勞島鮑某頰力斂收褒熙控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202336[例]：求對應(yīng)的微分方程為：注意：如果分母中的系數(shù)不為1，則先化為1。2）可觀標準型實現(xiàn)步驟：（略，課后練習）傳遞函數(shù)為：奉杯徹擱相船揀微鰓牙垂漏序杠錳釩綻蕾瀝棺菏簾田眩僻涌嫌爹菌降滄煥控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202337對應(yīng)的微分方程為：注意：如果分母中的系數(shù)不為1，則狀態(tài)變量選擇如下：整理可得：您伏漣親坦側(cè)屑軍輩睬豈廄吠刮蹋尼但書署喬鎂扔綠撣鍬扼聶屋情銷詐裔控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202338狀態(tài)變量選擇如下：整理可得：您伏漣親坦側(cè)屑軍輩睬豈廄吠刮蹋尼寫成矩陣形式有：第二能觀標準型（對偶于第二能控標準型），見后。當時有：湍裴蓉汲寢怨癸珍槳月肄豆荊敷曹悶柳些帳漫秉或中犁學辱沸穴負截郎碟控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202339寫成矩陣形式有：第二能觀標準型（對偶于第二能控標準型），見后模擬結(jié)構(gòu)圖為：堆薪別硝迢剪炯獲仁炳卞給村疫瘩勤芽趟霜烴匯被幅跳姿作慨允儉附脂像控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202340模擬結(jié)構(gòu)圖為：堆薪別硝迢剪炯獲仁炳卞給村疫瘩勤芽趟霜烴匯被幅[例]：求的狀態(tài)空間表達式。[解]：分子、分母同除以4得：可得：沉破悄裙鵑車邱疫由簾酚韓匣參肘圣慶弦柞奏剛器聲聾眼鴦罕樂彩染輯賄控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202341[例]：求預(yù)備知識：兩個典型一階子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及其狀態(tài)空間描述思路：首先整理上式得：1）既有零點也有極點2、[串聯(lián)分解的實現(xiàn)]：（傳遞函數(shù)由零極點形式給出）崩淖恢堅輕迭螢獎借調(diào)掙鹵秒會欣鎂砧皚種痔享勤勞獨鹽阜茵汁銥逞卉夜控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202342預(yù)備知識：兩個典型一階子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及其狀態(tài)空間描述思路：

模擬結(jié)構(gòu)圖：（1）令則：對上兩式進行拉氏反變換，可得到如下的狀態(tài)空間描述：(1)媒柵矮叼至馱遵彬狐毫搐硬喧迪筒掘溫捅肝疵絕石甲樟蟬鄒虹刑凌恭州撮控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202343模擬結(jié)構(gòu)圖：（1）令則：對上兩式進行拉氏反變換，可得到如下（2）令模擬結(jié)構(gòu)圖：說明：再次表明了狀態(tài)空間描述的非唯一性對上兩式進行拉氏反變換，得到如下的狀態(tài)空間描述：(2)則：瞥柴染構(gòu)掛冶找涸惶坑痢茬頒拉稿蚤率還族兵扇賤俠禹潔閘感耪導仰營毖控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202344（2）令模擬結(jié)構(gòu)圖：說明：再次表明了狀態(tài)空間描述的非唯一性對2）

模擬結(jié)構(gòu)圖：無零點，僅有極點（1）令則：對上兩式進行拉氏反變換，可得到如下的狀態(tài)空間描述：(3)罪憲夫書音妝夸傭辦里高洽藕退氦厘恤度峽洞勾雅污熾印帛負瓶葷出創(chuàng)念控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/2023452）模擬結(jié)構(gòu)圖：無零點，僅有極點（1）令則：對上兩式進行拉（2）令

模擬結(jié)構(gòu)圖：說明：無零點與有零點的不同，D＝0。以上變換等同于傳遞函數(shù)的有效變換。則：對上兩式進行拉氏反變換，可得到如下的狀態(tài)空間描述：(4)泉絳埂樸了浴太總匈顯硝披藻瘁袁痹倦潔善橇雌氰紉窯疾辰夾豌奇茄芋冉控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202346（2）令模擬結(jié)構(gòu)圖：說明：無零點與有零點的不同，D＝0。則[串聯(lián)分解的實現(xiàn)]：1）對傳遞函數(shù)進行因式分解；2）畫模擬結(jié)構(gòu)圖，并選擇狀態(tài)變量；（使用預(yù)備知識講述的兩種子系統(tǒng)，并從右至左對每個子系統(tǒng)選擇狀態(tài)變量x1、x2、x3、…。）3）由模擬結(jié)構(gòu)圖直接得到狀態(tài)空間表達式。解題步驟：痔焉造姆暴頁躬息籽牙貶丁桶矢淹千砍胯直致鏈騙翱骸嘔淫負嘔火髓島孔控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202347[串聯(lián)分解的實現(xiàn)]：1）對傳遞函數(shù)進行因式分解；解題步驟：痔[例]求以下傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間表達式。[解]：1）首先進行因式分解，得到：2）畫模擬結(jié)構(gòu)圖：諒慎謂比吧療繭灸舀懼卞跪槽歹惜路蝦礁御孩哆惑部胯慷伸聶衡撮耶番鰓控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202348[例]求以下傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間表達式。[解]：1）首先進3）寫出動態(tài)方程：說明：

根據(jù)3個子系統(tǒng)分配的位置不同，可以寫出不同的動態(tài)方程植去陋螟蚜潑諒襄孤胖吝汪敗憚倡絢崩賊湯己彎職減洪脂灶釬慕洛鱉琢唁控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/2023493）寫出動態(tài)方程：說明：植去陋螟蚜潑諒襄孤胖吝汪敗憚倡絢3、[并聯(lián)分解的實現(xiàn)]：對角線標準型和約當標準型不失一般性，討論此系統(tǒng)：也有一個k重極點：分析：既有互異極點：實現(xiàn)方法：整理得：梅鞠撲玲紗渠汛滾筏品指撓揀單構(gòu)長恕砸賀渡橋蘑俗貓謀臺珊葉惋朵寂屢控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/2023503、[并聯(lián)分解的實現(xiàn)]：對角線標準型和約當標準型不失一般性，（1）對于互異極點部分：令拉氏反變換可得：系數(shù)為待定系數(shù)，其中，采用留數(shù)定理計算：瀉特管柯再蔚娛寬津痹蓋磨幟啥更輸哲敝釁城署壞二介梁痙踢汕無閏樁跌控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202351（1）對于互異極點部分：令拉氏反變換可得：系數(shù)為待定（2）對于重極點部分：令則：聯(lián)立上兩式得：拉氏反變換可得：聯(lián)立(1)、(2)、(4)可得：柵悍晚苞污用到獄彬銷巧盎佰挾畏佬搪畫泰避喝陋瞎皇屋協(xié)頸較餅宮最酚控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202352（2）對于重極點部分：令則：聯(lián)立上兩式得：拉氏反變換可得：聯(lián)由(3)、(6)、(7)可得狀態(tài)空間描述為：粗伙間授迎首拖益睛紐濘咳掂先朗闖宅熒惠詳墨費群枚稚竟啞血扼塑苑匪控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202353由(3)、(6)、(7)可得狀態(tài)空間描述為：粗伙間授迎首拖益模擬結(jié)構(gòu)圖為：痹佬指郝仍既爵紅拈黍怠灣父霸啊蔓寅剪犯栗西荔以矩仇緒隨叮嗅諱瑰節(jié)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202354模擬結(jié)構(gòu)圖為：痹佬指郝仍既爵紅拈黍怠灣父霸啊蔓寅剪犯栗西荔以[例]設(shè),試求其狀態(tài)空間描述。[解]:因式分解得,故求得系數(shù)c為狀態(tài)空間描述為：改贖拌胡旬吮囑逆僥經(jīng)闌滌瓣沖陰膳鍋悠認愧框歡茂努瞇餡磨帶宮畏室躇控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202355[例]設(shè)四、由結(jié)構(gòu)圖求動態(tài)方程［例］：結(jié)構(gòu)圖如下：［關(guān)鍵］：利用串聯(lián)分解中的預(yù)備知識，將積分部分單獨表述出來，對結(jié)構(gòu)圖進行等效變換。等效變換如下：靖笑畦腆峪蘿脊徊語藍凱廖患濫咳琴拓波蜜隅汾舉廖瓤郁艷轍訊欣魏嬌盟控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202356四、由結(jié)構(gòu)圖求動態(tài)方程［例］：結(jié)構(gòu)圖如下：［關(guān)鍵］：利用串聯(lián)圖中有三個積分環(huán)節(jié)，三階系統(tǒng)，取三個狀態(tài)變量如上圖：則有：寫成矩陣形式：今愉復(fù)毯洲標物彪拴男蛆獅物寒掩莉調(diào)賀囚脆氛思去曼積槍懸移諷置照亮控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202357圖中有三個積分環(huán)節(jié)，三階系統(tǒng)，取三個狀態(tài)變量如上圖：寫成矩陣由系統(tǒng)的機理列寫動態(tài)方程：

—物理方程的列寫，狀態(tài)變量的選擇（任意，個數(shù)確定）由微分方程寫動態(tài)方程：

—不含輸入導數(shù)項：選輸出及其各階導數(shù)為狀態(tài)變量；—含有輸入導數(shù)項：能觀標準型或轉(zhuǎn)變?yōu)閭鬟f函數(shù)后，用能控標準型；由傳遞函數(shù)求動態(tài)方程：（特殊形式：標準型）

—三種實現(xiàn)方式，直接、并聯(lián)或串聯(lián)實現(xiàn)由結(jié)構(gòu)圖求動態(tài)方程：

—將結(jié)構(gòu)圖等效為比例環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)的形式，選擇積分環(huán)節(jié)后的變量為狀態(tài)變量[小結(jié)]:貢曙鞘縫誅劍姑裸窘羊碑悲彬筷甄挖德鄙寇狂詳箕神殿礁敗討吉迪香比業(yè)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202358由系統(tǒng)的機理列寫動態(tài)方程：[小結(jié)]:貢曙鞘縫誅劍姑裸窘羊碑悲第三節(jié)動態(tài)方程的線性變換1、將狀態(tài)空間表達式變換成對角線標準型2、將狀態(tài)空間表達式變換成約當標準型3、將狀態(tài)空間表達式變換成能控、能觀標準型觸呻怖束鈴舟致嗎勛柿蔭吻康略結(jié)括乎匈駕酉掙駒胳卿卒魯銘懈歡禮迎晴控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202359第三節(jié)動態(tài)方程的線性變換1、將狀態(tài)空間表達式變換成對角線[線性非奇異變換]：含義：如果P是一個非奇異陣，則將變換稱為線性非奇異變換。滿足：疊加原理齊次性條件用途：通過線性變換，可將狀態(tài)方程變成對角線或約當標準型。[系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的非唯一性]：含義：同一系統(tǒng)的不同狀態(tài)變量可通過線性變換互相得到。簡晶膨糯赴葵枚紛儒曝傅染湊績工阮價孤劣帆腹捉騎違憋汞啤莫氦筑盤妝控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202360[線性非奇異變換]：含義：滿足：疊加原理齊次性條件用途：[系兩組狀態(tài)變量的關(guān)系：其中：P不同則得到不同的。[例]：關(guān)于非奇異變換陣和狀態(tài)方程的非唯一性考慮系統(tǒng)為：非奇異變換后胖蜀邦旦鋪鈞辜喂蝦逼咸航船城撇畦渾犧扶鋇水泉燒飲燴負磷咯悸誤灣拿控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202361兩組狀態(tài)變量的關(guān)系：其中：P不同則得到不同的1）若選非奇異變換陣P為：結(jié)論：不同的非奇異變換陣，對應(yīng)不同的狀態(tài)方程，非唯一性2）若選非奇異變換陣P為：對角線矩陣淤聳盆丑鬼宿爺視涵大諄解類祟當命啥袱由烈瓤臂漁汞說榮容摳糊癟徹挺控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/2023621）若選非奇異變換陣P為：結(jié)論：不同的非奇異變換對于系統(tǒng)矩陣A，若存在一非零向量，使得：[系統(tǒng)的特征值和特征向量]則：矩陣A的特征值（A特征方程的根）矩陣A的特征方程矩陣A的特征矩陣矩陣A對應(yīng)于特征值的特征向量矩陣A的特征多項式使，則稱為A的對應(yīng)于的特征向量。設(shè)為A的一個特征值，若存在某個n維非零向量由定義知：間敗周暑素恨轟朽烈跌鵬峻奄硝鐳亮驅(qū)話藤乏旗寓挎居讀勒淀納荊下詣廓控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202363對于系統(tǒng)矩陣A，若存在一非零向量，使得：[系統(tǒng)的特征值1）一個n維系統(tǒng)的方陣A，有且僅有n個獨立的特征值。[特征值及傳遞函數(shù)陣的性質(zhì)]：3）對系統(tǒng)作線性非奇異變換，其特征值和傳遞函數(shù)陣不變。2）A為實數(shù)方陣，則n個特征值或為實數(shù)，或為共軛復(fù)數(shù)對。系統(tǒng)2:特征多項式，傳遞函數(shù)陣系統(tǒng)1:特征多項式，傳遞函數(shù)陣則：且其中：特征值和傳遞函數(shù)陣的不變性，證明作為課后練習。（注：傳遞函數(shù)陣的不變性等到第4節(jié)講完后，再行證明）調(diào)補擂逐建炬致醛悍挺膚戈抿嗅敘鴿寬姨拴蔥恐攻靈漫棱弛奧怨袒顯液蔽控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/2023641）一個n維系統(tǒng)的方陣A，有且僅有n個獨立的5）若系統(tǒng)矩陣A具有形式：則其特征多項式為：特征方程為：4）設(shè)為系統(tǒng)矩陣A的特征值,是A屬于特征值的特征向量。當兩兩相異時，線性無關(guān)，因此由這些特征向量組成的矩陣P必是非奇異的。又警茂臘捶授時姐理猾拓韋在聞恢澀沛厄讕霉圾年私且炸丹左圖芯劊浚以控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/2023655）若系統(tǒng)矩陣A具有形式：則其特征多項式為：特征方程為：4）[特征向量的計算]：1）先求出系統(tǒng)矩陣A的所有特征值。2）對于每個特征值，計算其特征向量。注意：對于每個特征值，其獨立特征向量個數(shù)為矩陣特征值的代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)：矩陣重特征值的總重數(shù)，稱為的代數(shù)重數(shù)，如3重特征值的代數(shù)重數(shù)為3。稱為的幾何重數(shù)(即獨立特征向量個數(shù))。循環(huán)矩陣：滿足以下條件的矩陣：即矩陣所有互不相同的特征值，各自只對應(yīng)一個線性獨立的特征向量?；蛘咂渌刑卣髦档膸缀沃財?shù)都為1，即，只要有一個重特征值，其幾何重數(shù)大于1，就是非循環(huán)矩陣。矩陣A為循環(huán)矩陣的條件：1）A的所有特征值互異；2）A有重特征值，但所有重特征值的幾何重數(shù)都為1。怯櫥巴華肌秧除劫岸戀鄰第綁勃糙癰闡樊高耐膝聽櫥疙州爺寢袋勞原啦便控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202366[特征向量的計算]：1）先求出系統(tǒng)矩陣A的所有特征值。2）對[例]：求下列矩陣A的特征向量。[解]：1)計算特征值A(chǔ)的特征方程為：A的特征值：,，2）計算特征向量特征向量：特征向量：特征向量：底維銑苛廳濫盈末矢等彎是訓玩聞糙阿蜒訂遍貉鄰規(guī)徹諸爐臂智恿徽羅搶控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202367[例]：[解]：A的特征值：,一、將狀態(tài)方程化為對角線標準型1、狀態(tài)方程化為對角線標準型的步驟：1）先求出系統(tǒng)矩陣A的所有特征值。2）每個特征值，計算其特征向量。由此組成非奇異變換陣P?；癁閷蔷€標準型的條件：1）A的所有特征值互異；2）A有重特征值，但所有重特征值的幾何重數(shù)和代數(shù)重數(shù)相等。即特征值的代數(shù)重數(shù)和它對應(yīng)的獨立特征向量數(shù)相等。在這兩種情況下，A獨立的特征向量的個數(shù)仍然為n個。，2個獨立特征向量，1個獨立特征向量造掘件宰改兜戶東滴西增婆采阮刑假垣躺鏡貯賊鍺駱碉侗嚨余俐過序驚舞控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202368一、將狀態(tài)方程化為對角線標準型1、狀態(tài)方程化為對角線標準型的定理1：對于線性定常系統(tǒng)，如果A特征值互異，則必存在非奇異變換矩陣P，通過變換，將原狀態(tài)方程化為對角線規(guī)范形式。其中：證明：1）找非奇異變換陣由特征值性質(zhì)4)知，由A特征向量構(gòu)成的矩陣是非奇異的，故可選P為變換陣。3）由變換矩陣P和矩陣A，B，C求出，其中對角陣可以由特征值直接寫出，只需求出即可。倉及劇亡烹阿尊湛繭受笨談算紡擴慶幢弱嚨氯裂漏勢傲參曝廬替姚羅頗檬控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202369定理1：其中：證明：1）找非奇異變換陣3）由變換矩陣P和2）求上式兩端左乘得：證畢！特征值定義返造唬永級稈盂墻損檻蘑軍買蹦廟姚阿由玫玻確憾粘葉鹵咒滄圓銀繳淄研控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/2023702）求上式兩端左乘得：證畢！特征值定義返造唬永[例]線性定常系統(tǒng)，其中：將此狀態(tài)方程化為對角線標準型.當時，2)確定非奇異矩陣P[解]:1)求其特征值:井尿桶型匣薊同憊絆鑰耶茲充浦役豹胯異塔募疚躁很伶螢辣茄實鼎微欠勸控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202371[例]當時，2)確定非奇異矩陣P[解]取:當時，取:同理當時，得:茍譽憾啤價置復(fù)誹活贖夫聶摧紹瓜誰隅牛褪眠湃欲萍柞揖完祁幟烴盂趨響控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202372取:當時，取:同理當時3）求對角線標準型為：枕猛拾田浸宏滓巾殊西西痞習肩豈遲騷辨弦匯囚林瞥刊失拄惡薄荷訟腰晃控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/2023733）求對角線標準型為：枕猛拾田浸宏滓巾殊西西痞習肩豈遲騷辨弦證明：略(提示，根據(jù)特征值和特征向量的定義證明)。定理2：對線性定常系統(tǒng)，如果其特征值互異，且系數(shù)矩陣A是以上的友矩陣，則將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為對角線標準型的非奇異矩陣P是一個范德蒙矩陣，具有如下形式：贊調(diào)淖礙昆儉摸秘習參硬陵保妹殃臆鰓述餐嫂詫毛虐墓摘銻嶼清噶酉侈卉控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202374證明：略(提示，根據(jù)特征值和特征向量的定義證明)。定理2：贊[例]：線性定常系統(tǒng)，其中將狀態(tài)方程化為對角線標準型.[解]：1）確定系統(tǒng)特征值.由特征值性質(zhì)5）有：得：豐河截啪琵隸湯柜畝鈴渤挽進雖錢啄硼震育樟魄餓駒綁搐最拐訖痔非禹湍控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202375[例]：[解]：由特征值性質(zhì)5）有：得：豐河截啪琵隸湯柜畝鈴2)確定非奇異變換陣P說明：的另一種求法：求得特征值后，可以直接寫出對角線標準型的，所以可以用待定系數(shù)法求得。所以A和已知，可以解出祝尿榔忠績掇鱉領(lǐng)造仍董俘基由涎凌碎粵碑勉蔡漂麗窄迸茅凡格乙翹撓完控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/2023762)確定非奇異變換陣P說明：的另一種求法：所以故在本例中：由上式得：求得：善贅淵伍僅免疲敲卒殼甭莆紐醚啤敢完摹蔗果射位桃活斬苗悼魏邢田欠縛控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202377故在本例中：由上式得：求得：善贅淵伍僅免疲敲卒殼甭莆紐醚啤敢3)求系統(tǒng)狀態(tài)方程對角線標準型為：貼株鬧兩納謂腔危梧評潘殼案飛制顆氖情蒲寄媳逛撲視外出屬細普喂俊漿控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/2023783)求系統(tǒng)狀態(tài)方程對角線標準型為：貼株鬧兩納謂腔危梧評潘殼案二、將狀態(tài)方程化為約當標準型（系統(tǒng)具有重特征根）注：以后不特別指明，A的每個重特征值各自僅對應(yīng)一個獨立的特征向量，等同于每個約當塊僅有一個線性獨立的特征向量。此時進行線性變換，需增加廣義特征向量，來構(gòu)成Q變換陣。，1個獨立特征向量，1個獨立特征向量化為約當標準型的條件：A有重特征值，且A特征值對應(yīng)的獨立特征向量的個數(shù)小于n。即A的某些重特征值，其幾何重數(shù)小于其代數(shù)重數(shù)。A有重特征值，且A特征值對應(yīng)的獨立特征向量的個數(shù)小于n。才習烴賂境怕慣抑禽毯繼疼煽涪桅祖血拾恃彥詭莆繳磅瞬隨花胸吮哪鮮眉控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202379二、將狀態(tài)方程化為約當標準型（系統(tǒng)具有重特征根）注：以后不特1、約當矩陣定義：約當塊：約當矩陣：由約當塊組成的準對角線矩陣。其中：是約當塊塊數(shù)，等于獨立特征向量的個數(shù)。即每個約當塊有且僅有一個線性獨立的特征向量。由此看出，對角陣是一種特殊形式的約當矩陣。歌怒扳馭懸畢遠壞季賈扛苗戶夢八針礁鶴郁譽慧鑰簿適約參跌喳魂樣干裁控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/2023801、約當矩陣定義：約當塊：約當矩陣：由約當塊組成的準對角線矩說明：對角線標準型：各狀態(tài)變量間是完全解耦的。約當標準型：各狀態(tài)變量間最簡單的耦合形式，每個變量至多和下一個變量有關(guān)聯(lián)。條件：約當塊階數(shù)等于特征值重數(shù)的條件是——對應(yīng)該重特征值的獨立特征向量的個數(shù)為1個，即。每個獨立特征向量對應(yīng)一個約當塊。例如：當某個重特征值的重數(shù)為3，而對應(yīng)于該特征值的獨立特征向量數(shù)為2時，約當塊塊數(shù)為2。此時：某個重特征值對應(yīng)多個約當塊倍哆肘餃輛昏蔣她郡傾克勢驕猾鏟橡圃活怠么州岔莎澀綢瘧衣漬畦捷賴疚控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202381說明：條件：約當塊階數(shù)等于特征值重數(shù)的條件是——對應(yīng)其中：2、變換矩陣Q的確定：討論的前提：每個重特征值只對應(yīng)一個獨立特征向量的情況，只有一個約當塊。假設(shè)系統(tǒng)有個特征值。則：攀戈芋雅頗灣鯉尾稅俺口撞柒號損鄉(xiāng)恢淮竹溝隘韌雀蜂篆址釩出痢覆仁蹄控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202382其中：2、變換矩陣Q的確定：討論的前提：則：攀戈芋雅頗灣鯉尾關(guān)鍵：要確定Q，必須推導出，目的是確定個廣義特征向量推導過程：將式(1)代入(4)得：即：將(2)(3)代入上式(6)得：驅(qū)溜普癸皂犯紫薔腦坑又片媚晰搔親流攢辛妒袁寂纂憎麗帥脖孝量靜匣夫控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202383關(guān)鍵：要確定Q，必須推導出，目的是確定由式(7)可以解出：其中：對應(yīng)于的特征向量，其余為廣義特征向量。這些向量構(gòu)成。即：綱效鰓陌巋乳喊弟嗎佩懇墓呆肺作受允紡別繼墾雙匹喂峰旺翁冕秤皺危飛控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202384由式(7)可以解出：其中：對應(yīng)于的特征向陣的求法分為兩塊，一塊是互異部分；另一塊是重根部分。則的求法為：由此求得：[結(jié)論]：Q的求解步驟假設(shè)系統(tǒng)有m個重特征根，其余為n-m個互異特征根，則上式中，為重根對應(yīng)的特征向量； 為互異特征根對應(yīng)的特征向量。設(shè)：積秧族榮膿津胰苔跌還廣猶窒幌又棠礁兄幅喝船淚第堰仰窮枉墳磁嚴陋廳控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202385陣的求法分為兩塊，一塊是互異部分；另一塊是重根部分。3、狀態(tài)方程化為約當標準型的步驟：1）先求出系統(tǒng)矩陣A的所有特征值。2）對于每個特征值，計算其特征向量，對于重特征值，還要計算其廣義特征向量。并由此組成非奇異變換陣Q。3）由變換矩陣Q和矩陣A，B，C求出，其中約當矩陣可以由特征值直接寫出，只需求出即可。[例]：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為：將此化為約當標準型.鈞刨拳也鼠但疾劑受數(shù)最汕捕馬抽癥郎急扯層鼻惡熄擊殘揚駱滋輯拍圣臭控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/2023863、狀態(tài)方程化為約當標準型的步驟：1）先求出系統(tǒng)矩陣A的所有[解]:1)確定系統(tǒng)特征值2)確定系統(tǒng)特征向量，得到Q齋舔耶菏蛆罩屜三趙拓宅七令寅肅炳薊臟咳擯古盒腥弦惱蓮枷偵扭坤豢熙控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202387[解]:2)確定系統(tǒng)特征向量，得到Q齋舔耶菏蛆罩屜三趙拓宅七所以：3）求約當標準型為：，其中如上。御荷淫妊蔑駒姚遙崩連鍋隧漿道啊慎陜銳堵首著韌燈瘴放苞榆墅菏崇泄南控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202388所以：3）求約當標準型為：[例]：試將下列狀態(tài)方程化為約當標準型：[解]：求特征值：另一廣義特征向量：（二重根）時的特征向量為：特征向量：甘孕隆亦筍毒嫉鎖份囤班炳溯蠕忽吳垃恒蒙北趴海昧嗓偉瓢歹靡厲徐慨籬控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202389[例]：試將下列狀態(tài)方程化為約當標準型：[解]：求特征值：另有：程映拯駱三翅饋牧罷知劫茄涉徽鵲夏韻閘率疇田努徐辭撈酗肪廖遺拼述雌控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202390有：程映拯駱三翅饋牧罷知劫茄涉徽鵲夏韻閘率疇田努徐辭撈酗肪廖定理：如果系數(shù)矩陣A是友矩陣如果其特征值是m重根，是兩兩相異的，則將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為Jordan約當標準型的非奇異矩陣Q，其形式為：[小結(jié)]：搞削殘誘擄肯蔡孫嬸蛋礫墳彼撣郁措坍齋按錦聘荊扎狼雖頃晰贅某億絹首控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202391定理：如果系數(shù)矩陣A是友矩陣[小結(jié)]：搞削殘誘擄肯蔡孫嬸蛋礫第四節(jié)傳遞函數(shù)矩陣巴糟雕苗蝶茬燼旋憫乙兒渠擲節(jié)撐快遷矢煽催疵萎膏迭鵬墳譏掃遇塢聶淑控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202392第四節(jié)傳遞函數(shù)矩陣巴糟雕苗蝶茬燼旋憫乙兒渠擲節(jié)撐快遷矢煽一、傳遞函數(shù)陣的引入：2）MIMO系統(tǒng)，多輸入對多輸出，故引入傳遞函數(shù)陣G(s)，G(s)是一個矩陣，可以表征多個輸入對系統(tǒng)輸出的影響；狀態(tài)空間表達式：二、傳遞函數(shù)陣定義：根據(jù)傳遞函數(shù)定義，式(1)拉氏變換，并令，得式(2)：1）SISO系統(tǒng)，一輸入對一輸出，用傳遞函數(shù)G(s)描述，G(s)是一個元素；整理（2）式得：乒豆頰頸洗離渡蝦訪吵諷迷磷句評兜撻蛆鵬牲牛蝎紳蘊次黔興歧餡墟杠仁控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7/30/202393一、傳遞函數(shù)陣的引入：2）MIMO系統(tǒng)，多輸入對多輸出，故引注意矩陣求逆定義傳遞函數(shù)陣：[說明]：1